Калиброванная геометрия

В математической области дифференциальной геометрии — калиброванное многообразие это риманово многообразие ( M , g ) размерности n, снабженное дифференциальной p -формой φ (для некоторых 0 ≤ p ≤ n ), которая является калибровкой, что означает, что:

• φ замкнуто: d φ = 0, где d — внешняя производная
• для любого x ∈ M и любого ориентированного p -мерного подпространства ξ в T _x M , φ | _ξ = λ vol _ξ, ≤ λ 1. Здесь vol _ξ — объемная форма ξ относительно g .

Установите G _x ( φ ) = { ξ , как указано выше: φ | _ξ = объем _ξ }. (Чтобы теория была нетривиальной, нам необходимо, чтобы G _x ( φ ) была непустой.) Пусть G ( φ ) — объединение G _x ( φ ) для x в M .

Теория калибровок принадлежит Р. Харви, Б. Лоусону и другим. Намного раньше (в 1966 году) Эдмон Бонан ввёл G ₂ -многообразия и Spin(7)-многообразия , построил все параллельные формы и показал, что эти многообразия Риччи-плоские. Кватернион-кэлеровы многообразия одновременно изучались в 1967 году Эдмондом Бонаном и Вивиан Йо Крейнс, и они построили параллельную 4-форму.

Калиброванные подмногообразия

p Σ -мерное подмногообразие Σ в M называется калиброванным подмногообразием относительно φ (или просто φ -калиброванным), если T лежит в G ( φ ).

Знаменитый однострочный аргумент показывает, что калиброванные p -подмногообразия минимизируют объем в пределах своего класса гомологии . Действительно, предположим, что Σ калибровано и Σ ′ — p -подмногообразие в том же классе гомологий. Затем

$\int _{\Sigma }\mathrm {vol} _{\Sigma }=\int _{\Sigma }\varphi =\int _{\Sigma '}\varphi \leq \int _{\Sigma '}\mathrm {vol} _{\Sigma '}$

где первое равенство выполняется, поскольку Σ калибруется, второе равенство представляет собой теорему Стокса (поскольку φ замкнуто), а неравенство выполняется, поскольку φ является калибровкой.

Примеры

• На кэлеровом многообразии надлежащим образом нормированные степени кэлеровой формы являются калибровками, а калиброванные подмногообразия являются комплексными подмногообразиями . Это следует из неравенства Виртингера .
• На многообразии Калаби-Яу действительная часть голоморфной формы объема (соответственно нормализованная) является калибровкой, а калиброванные подмногообразия являются специальными лагранжевыми подмногообразиями .
• На G ₂ -многообразии и 3-форма, и двойственная 4-форма Ходжа определяют калибровки. Соответствующие калиброванные подмногообразия называются ассоциативными и коассоциативными подмногообразиями.
• В Spin(7)-многообразии определяющая 4-форма, известная как форма Кэли, является калибровкой. Соответствующие калиброванные подмногообразия называются подмногообразиями Кэли.

Ссылки

• Бонан, Эдмонд (1965), «Почти четверичная структура на дифференцируемом многообразии», CR Acad. наук. Париж , 261 : 5445–5448 .
• Бонан, Эдмонд (1966), «О римановых многообразиях с группой голономии G2 или Spin (7)», CR Acad. наук. Париж , 262 : 127–129 .
• Бонан, Эдмонд (1982), «О внешней алгебре кватернионного почти эрмитова многообразия», CR Acad. наук. Париж , 295 : 115–118 .
• Бергер, М. (1970), «Некоторые проблемы римановой геометрии или две вариации компактных симметричных пространств ранга один», Enseignement Math. , 16 :73–96 .
• Бракке, Кеннет А. (1991), «Минимальные конусы на гиперкубах», J. Geom. Анальный. , 1 (4): 329–338 (§6.5), doi : 10.1007/BF02921309 , S2CID   119606624 .
• Бракке, Кеннет А. (1993), Многогранные минимальные конусы в R4 .
• де Рам, Жорж (1957–1958), О области сложных многообразий. Заметки к семинару по нескольким комплексным переменным , Институт перспективных исследований, Принстон, Нью-Джерси .
• Федерер, Герберт (1965), «Некоторые теоремы об интегральных токах», Труды Американского математического общества , 117 : 43–67, doi : 10.2307/1994196 , JSTOR   1994196 .
• Джойс, Доминик Д. (2007), Римановы группы голономии и калиброванная геометрия , Оксфордские тексты для выпускников по математике, Оксфорд: Oxford University Press, ISBN  978-0-19-921559-1 .
• Харви, Ф. Риз (1990), Спиноры и калибровки , Academic Press, ISBN  978-0-12-329650-4 .
• Крейнс, Вивиан Йо (1965), «Топология кватернионных многообразий», Bull. амер. Математика. Соц. , 71, 3, 1 (3): 526–527, doi : 10.1090/s0002-9904-1965-11316-7 .
• Лоулор, Гэри (1998), «Минимизация площади проверки путем направленного нарезки», Университет Индианы. Математика. J. , 47 (4): 1547–1592, номер документа : 10.1512/iumj.1998.47.1341 .
• Морган, Фрэнк, Лоулор, Гэри (1996), «Пышные срезы доказывают, что тройные соединения локально минимизируют площадь», J. Diff. Геом. , 44 : 514–528 {{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) .
• Морган, Франк, Лоулор, Гэри (1994), «Парные калибровки, применяемые к мыльным пленкам, несмешивающимся жидкостям и поверхностям или сетям, минимизирующие другие нормы», Pac. Дж. Математика. , 166 : 55–83, doi : 10.2140/pjm.1994.166.55 {{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) .
• Маклин, RC (1998), «Деформации калиброванных подмногообразий», Communications in Analysis and Geometry , 6 (4): 705–747, doi : 10.4310/CAG.1998.v6.n4.a4 .
• Морган, Франк (1988), «Поверхности, минимизирующие площадь, грани грассманианов и калибровки», Amer. Математика. Monthly , 95 (9): 813–822, doi : 10.2307/2322896 , JSTOR   2322896 .
• Морган, Франк (1990), «Калибровки и новые особенности в поверхностях, минимизирующих площадь: обзор в «Вариационных методах» (Proc. Conf. Paris, июнь 1988 г.), (Х. Берестицкий Ж.-М. Корон и И. Экеланд, ред.)", Прог. Нелинейный диф. Уравнения Applns , 4 : 329–342 .
• Морган, Фрэнк (2009), Геометрическая теория меры: руководство для начинающих (4-е изд.), Лондон: Academic Press .
• Ти, Дао Чонг (1977), "Минимальные действительные токи на компактных римановых многообразиях", Изв. Акад. Наук СССР сер. Мат , 41 (4): 807–820, Бибкод : 1977ИзМат..11..807С , doi : 10.1070/IM1977v011n04ABEH001746 .
• Ван, Ле Хонг (1990), «Относительные калибровки и проблема устойчивости минимальных поверхностей», Глобальный анализ - исследования и приложения, IV , Конспекты лекций по математике, том. 1453, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 245–262 .
• Виртингер, В. (1936), «Определяющее тождество и его применение к аналитическим объектам и эрмитовым измерениям», Monthly Books for Mathematics and Physics , 44 : 343–365 (§6.5), doi : 10.1007/BF01699328 , S2CID   121050865 .