Гипотеза Каратеодори

В дифференциальной геометрии — гипотеза Каратеодори математическая гипотеза, приписываемая Константину Каратеодори Гансом Людвигом Гамбургером на сессии Берлинского математического общества в 1924 году. ^{[ 1 ]} Каратеодори опубликовал статью на соответствующую тему. ^{[ 2 ]} но так и не изложил свою гипотезу в письменной форме. В, ^{[ 3 ]} Джон Эденсор Литтлвуд упоминает эту гипотезу и вклад Гамбургера. ^{[ 4 ]} как пример математического утверждения, которое легко сформулировать, но трудно доказать. Дирк Струик описывает в ^{[ 5 ]} формальная аналогия гипотезы с теоремой четырех вершин для плоских кривых . Современные ссылки на гипотезу — это список задач Шинг-Тунг Яу , ^{[ 6 ]} книги Марселя Бергера , ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} а также книги. ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}

У этой гипотезы была непростая история с опубликованными доказательствами в аналитическом случае. ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]} которые содержали пробелы, ^{[ 15 ]} и требования доказательства в общем гладком случае ^{[ 16 ]} которые не были приняты к публикации.

Формулировка гипотезы

Гипотеза утверждает, что любая выпуклая, замкнутая и достаточно гладкая поверхность в трехмерном евклидовом пространстве должна иметь как минимум две омбилические точки . В смысле гипотезы сфероид только с двумя точками омбилика и сфера , все точки которой являются омбиликами, являются примерами поверхностей с минимальным и максимальным номером омбилика. Чтобы гипотеза была корректной или омбилические точки были четко определены, поверхность должна быть как минимум дважды дифференцируемой.

Случай реальных аналитических поверхностей

Приглашенное выступление Штефана Кон-Фоссена ^{[ 17 ]} на Международном конгрессе математиков 1928 года в Болонье была посвящена этой теме и в третьем томе Вильгельма Бляшке по дифференциальной геометрии 1929 года. ^{[ 18 ]} он заявляет:

Пока эта книга выходит в печать, г-ну Кон-Воссену удалось доказать, что замкнутые вещественно-аналитические поверхности не имеют омбилических точек с индексом > 2 (приглашенный доклад на ICM в Болонье, 1928 г.). Это доказывает гипотезу Каратеодори для таких поверхностей, а именно, что они должны иметь по крайней мере две пуповины.

Здесь индекс Бляшке в два раза превышает обычное определение индекса омбилической точки, а глобальная гипотеза следует из теоремы об индексе Пуанкаре – Хопфа . Ни один доклад Кон-Воссена не был представлен на рассмотрение Международного конгресса, а в более поздних изданиях книги Бляшке приведенные выше комментарии были удалены. Поэтому разумно предположить, что эта работа была безрезультатной.

Для аналитических поверхностей утвердительный ответ на эту гипотезу был дан в 1940 году Гансом Гамбургером в большой статье, опубликованной в трех частях. ^{[ 4 ]} Подход Гамбургера также заключался в оценке локального индекса для изолированных шлангокабелей, что, как он показал, подразумевает гипотезу в его более ранней работе. ^{[ 19 ]}^{[ 20 ]} В 1943 году более короткое доказательство было предложено Герритом Болом : ^{[ 13 ]} см. также, ^{[ 21 ]} но в 1959 году Тилла Клотц нашла и исправила пробел в доказательстве Бола. ^{[ 14 ]}^{[ 4 ]} Ее доказательство, в свою очередь, было объявлено неполным в диссертации Ханспетера Шербеля. ^{[ 15 ]} (результаты этой диссертации, связанные с гипотезой Каратеодори, не публиковались десятилетиями, по крайней мере, до июня 2009 г.). Среди других публикаций мы имеем в виду статьи. ^{[ 22 ]}^{[ 23 ]}^{[ 24 ]}

Все упомянутые выше доказательства основаны на сведении Гамбургером гипотезы Каратеодори к следующей гипотезе: индекс каждой изолированной омбилической точки никогда не превышает единицы . ^{[ 19 ]} Грубо говоря, основная трудность заключается в разрешении особенностей, порожденных точками контура. Все упомянутые авторы разрешали особенности индукцией по «степени вырождения» точки пупка, но ни один из них не смог ясно представить процесс индукции.

В 2002 году Владимир Иванов вернулся к работе Гамбургера по аналитическим поверхностям со следующей заявленной целью: ^{[ 25 ]}

«Во-первых, рассматривая аналитические поверхности, мы с полной ответственностью утверждаем, что Каратеодори был прав. Во-вторых, мы знаем, как это можно строго доказать. В-третьих, мы намерены представить здесь доказательство, которое, по нашему мнению, убедит всякого читателя, который действительно готов отправиться с нами в долгое и утомительное путешествие».

Сначала он следует пути, пройденному Герритом Болом и Тиллой Клотц , но позже он предлагает свой собственный путь разрешения сингулярностей, где решающая роль принадлежит комплексному анализу (точнее, методам, включающим аналитические неявные функции , подготовительную теорему Вейерштрасса , ряды Пюизо и циклические функции). корневая система ).

Общий гладкий случай

В 2008 году Гилфойл и Клингенберг объявили. ^{[ 16 ]} доказательство глобальной гипотезы о поверхностях гладкости $C^{3,\alpha }$ , который по состоянию на 2024 год остался неопубликованным. Их метод использует нейтральную кэлерову геометрию квадрики Клейна. ^{[ 26 ]} определить связанную краевую задачу Римана-Гильберта, а затем применить поток средней кривизны и теорему Сарда-Смейла о регулярных значениях операторов Фредгольма, чтобы доказать противоречие для поверхности с одной омбилической точкой.

В частности, краевая задача направлена на нахождение голоморфной кривой с границей, лежащей на лагранжевой поверхности в квадрике Клейна, определяемой нормальными линиями к поверхности в евклидовом 3-пространстве. Ранее было доказано, что количество изолированных омбилических точек, содержащихся на поверхности в $R^{3}$ определяет класс Келлера-Маслова граничной кривой ^{[ 27 ]} и, следовательно, когда задача регулярна по Фредгольму, определяет размерность пространства голоморфных дисков. ^{[ 16 ]} Все упомянутые геометрические величины определены относительно канонической нейтральной кэлеровой структуры, для которой поверхности могут быть как голоморфными, так и лагранжевыми. ^{[ 26 ]}

При рассмотрении глобальной гипотезы возникает вопрос: « Что такого особенного в гладкой замкнутой выпуклой поверхности в $R^{3}$ с одной пупочной точкой? На это отвечают Гилфойл и Клингенберг: ^{[ 28 ]} соответствующая краевая задача Римана-Гильберта будет регулярной по Фредгольму. Было доказано, что существования группы изометрий достаточного размера для фиксации точки достаточно, чтобы гарантировать это, таким образом определяя размер евклидовой группы изометрий $R^{3}$ как основную причину, почему гипотеза Каратеодори верна. Это подтверждается более поздним результатом ^{[ 29 ]} в котором объемлющие гладкие метрики (без симметрий), отличные, но сколь угодно близкие к евклидовой метрике на $R^{3}$ , допускают гладкие выпуклые поверхности, нарушающие как локальную, так и глобальную гипотезы.

Согласно регулярности Фредгольма, для общей выпуклой поверхности, близкой к предполагаемому контрпримеру глобальной гипотезы Каратеодори, соответствующая проблема Римана-Гильберта не будет иметь решений. Второй шаг доказательства — показать, что такие решения всегда существуют, тем самым сделав вывод об отсутствии контрпримера. Это делается с использованием потока средней кривизны коразмерности 2 с границей. Хотя полный второй этап доказательства не был опубликован по состоянию на январь 2022 года, необходимые внутренние оценки для более коразмерного потока средней кривизны в неопределенной геометрии появились в печати. ^{[ 30 ]} Заключительная часть — это установление достаточного граничного контроля при потоке средней кривизны для обеспечения слабой сходимости.

В 2012 году было объявлено о доказательстве более слабой версии гипотезы о локальном индексе для гладких поверхностей, а именно о том, что изолированная омбилика должна иметь индекс меньше или равный 3/2. ^{[ 31 ]} Доказательство следует доказательству глобальной гипотезы, но также использует больше топологических методов, в частности, замену гиперболических омбилических точек полностью вещественными кросс-шапочками на границе соответствующей проблемы Римана-Гильберта. Это оставляет открытой возможность плавного (нереального анализа Гамбургера) ^{[ 4 ]}) выпуклая поверхность с изолированной омбиликой индекса 3/2. О доказательстве аналогичными методами гипотезы Топоногова об омбилических точках на полных плоскостях было объявлено в 2020 году. ^{[ 32 ]} По состоянию на 2024 год ни один из этих результатов не был опубликован.

В 2012 году Мохаммад Гоми и Ральф Ховард показали, используя преобразование Мёбиуса , что глобальная гипотеза для поверхностей гладкости $C^{2}$ может быть переформулировано через число омбилических точек на графиках, подчиняющихся определенной асимптотике градиента. ^{[ 33 ]}^{[ 34 ]}

См. также

Ссылки

↑ Отчеты о заседании Берлинского математического общества , 210-е заседание 26 марта 1924 г., Dieterichsche Universitätsbuchdruckerei, Геттинген, 1924 г.
^ Простые замечания о кривых пупочной точки , в: Festschrift 25 лет Технического университета Бреслау в честь его 25-летия, 1910–1935, Verlag WG Korn, Бреслау, 1935, стр. 105–107, и в: Константин Каратеодори, Сборник математических изданий. Сочинения, Verlag CH Beck, Мюнхен, 1957, т. 5, 26-30
↑ Сборник математиков , Nabu Press (31 августа 2011 г.) ISBN 978-1179121512
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Х. Гамбургер , доказательство гипотезы Каратеодори. Я , Энн. Матем. (2) 41 , 63–86 (1940); Доказательство гипотезы Каратеодори. II , Acta Math. 73 , 175-228 (1941) и доказательство гипотезы Каратеодори. III , Acta Math. 73 , 229–332 (1941).
^ Струйк, диджей (1931). «Дифференциальная геометрия в целом» . Бык. амер. Математика. Соц. 37 (2): 49–62. дои : 10.1090/S0002-9904-1931-05094-1 .
^ С. Т. Яу , Раздел проблем, с. 684 , в: Семинар по дифференциальной геометрии, под ред. С. Т. Яу, Анналы математических исследований 102 , Принстон, 1982 г.
^ М. Бергер , Панорамный вид римановой геометрии , Springer, 2003 г. ISBN 3-540-65317-1
^ М. Бергер , Раскрытая геометрия: лестница Иакова к современной высшей геометрии , Springer 2010 ISBN 3-540-70996-7
^ И. Николаев, Слоения на поверхностях , Результаты математики и ее границы. 3. Эпизод А, Серия современных исследований по математике, Springer, 2001 г. ISBN 3-540-67524-8
^ DJ Струик , Лекции по классической дифференциальной геометрии , Дувр, 1978 г. ISBN 0-486-65609-8
^ В. А. Топоногов , Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей: краткое руководство , Биркхойзер, Бостон, 2006 г. ISBN 978-0-8176-4402-4
^ Р. В. Гамкрелидзе (ред.), Геометрия I: основные идеи и концепции дифференциальной геометрии , Энциклопедия математических наук, Springer 1991. ISBN 0-387-51999-8
^ Перейти обратно: ^а ^б Бол, Г. (1944). «О пупочных точках на поверхности яйца» . Математика З. 49 : 389–410. дои : 10.1007/bf01174209 . S2CID 120816230 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Клотц, Тилла (1959). «О доказательстве Дж. Болом гипотезы Каратеодори». Коммун. Чистое приложение. Математика. 12 (2): 277–311. дои : 10.1002/cpa.3160120207 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Щербель, Х. (1993). Новое доказательство теоремы Гамбургера об индексе точек пуповины . Диссертация №. 10281 (доктор философии). ETH Цюрих .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Гилфойл, Б.; Клингенберг, В. (2008). «Доказательство гипотезы Каратеодори». arXiv : 0808.0851 [ math.DG ].
^ С. Кон-Воссен , Индекс точки пуповины в сети линий кривизны , Труды Международного конгресса математиков , том II, Никола Заничелли Редактор, Болонья, 1929 г.
^ Блашке, В. (1929). Дифференциальная геометрия кругов и сфер, Лекции по дифференциальной геометрии, вып. 3 . Основные принципы математических наук. Том XXIX. Берлин: Springer Verlag .
^ Перейти обратно: ^а ^б Гамбургер, Х. (1922). «Теорема о сетях кривых на замкнутых поверхностях». Труды Прусской академии наук в Берлине . 21 :258-262.
^ Гамбургер, Х. (1924). «О кривых сетях с изолированными особенностями на съемочных поверхностях». Математика З. 19 : 50–66. дои : 10.1007/bf01181063 . S2CID 121237690 .
^ Блашке, В. (1942). «На пупках овалоида». Материалы конференции Матем. Рим . 1942 : 201–208.
^ Титус, CJ (1973). «Доказательство гипотезы Лёвнера и гипотезы Каратеодори о точках пуповины» . Акта Математика. 131 (1–2): 43–77. дои : 10.1007/BF02392036 . S2CID 119377800 .
^ Сотомайор, Дж.; Мелло, LF (1999). «Заметка о некоторых разработках гипотезы Каратеодори о точках пуповины». Экспозиционная математика . 17 (1): 49–58. ISSN 0723-0869 .
^ Гутьеррес, Дж.; Сотомайор, Дж. (1998). «Линии кривизны, точки пуповины и гипотеза Каратеодори». Недавний. Инст. Мэтт. Состояние. унив. Святой Павел . 3 (3): 291–322. ISSN 0104-3854 .
^ Иванов, В.В. (2002). «Аналитическая гипотеза Каратеодори». Сиб. Математика. Дж. 43 (2): 251–322. дои : 10.1023/А:1014797105633 . ISSN 0037-4474 . S2CID 117115329 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Гилфойл, Б.; Клингенберг, В. (2005). «Неопределенная метрика Кэлера в пространстве ориентированных прямых». Дж. Лондон Математика. Соц . 72 (2): 497–509. arXiv : math/0407490 . дои : 10.1112/S0024610705006605 . S2CID 14978450 .
^ Гилфойл, Б.; Клингенберг, В. (2004). «Обобщенные поверхности в $R^{3}$ ". Math. Proc. R. Ir. Acad . 104A (2): 199–209. doi : 10.1353/mpr.2004.0013 . S2CID 118128548 .
^ Гилфойл, Б.; Клингенберг, В. (2020). «Фредгольмова регулярность голоморфных дисков в плоских расслоениях над компактными поверхностями» . Энн. Фак. наук. Тулузская математика . Серия 6. 29 (3): 565–576. arXiv : 1812.00707 . дои : 10.5802/afst.1639 . S2CID 119659239 .
^ Гилфойл, Б. (2020). «Об изолированных пупочных точках». Комм. Анальный. Геом . 28 (8): 2005–2018. arXiv : 1812.03562 . дои : 10.4310/CAG.2020.v28.n8.a8 . S2CID 119158738 .
^ Гилфойл, Б.; Клингенберг, В. (2019). «Высший коразмерный поток средней кривизны компактных пространственноподобных подмногообразий» . Пер. амер. Математика. Соц . 372 (9): 6263–6281. arXiv : 1812.00710 . дои : 10.1090/tran/7766 . S2CID 119253397 .
^ Гилфойл, Б.; Клингенберг, В. (2012). «От глобального к локальному: индекс, ограничивающий омбилические точки на гладких выпуклых поверхностях». arXiv : 1207.5994 [ math.DG ].
^ Гилфойл, Б.; Клингенберг, В. (2020). «Доказательство гипотезы Топоногова на полных поверхностях». arXiv : 2002.12787 [ math.DG ].
^ Гоми, М.; Ховард, Р. (2012). «Нормальные кривизны асимптотически постоянных графов и гипотеза Каратеодори». Учеб. амер. Математика. Соц. 140 (12): 4323–4335. arXiv : 1101.3031 . дои : 10.1090/S0002-9939-2012-11420-0 . S2CID 12148752 .
^ Гоми, М. (2017). «Открытые задачи геометрии кривых и поверхностей» (PDF) .

[SBMG_1924-1] Отчеты о заседании Берлинского математического общества , 210-е заседание 26 марта 1924 г., Dieterichsche Universitätsbuchdruckerei, Геттинген, 1924 г.

[2] Простые замечания о кривых пупочной точки , в: Festschrift 25 лет Технического университета Бреслау в честь его 25-летия, 1910–1935, Verlag WG Korn, Бреслау, 1935, стр. 105–107, и в: Константин Каратеодори, Сборник математических изданий. Сочинения, Verlag CH Beck, Мюнхен, 1957, т. 5, 26-30

[3] Сборник математиков , Nabu Press (31 августа 2011 г.) ISBN 978-1179121512

[Hamburger_1940-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Х. Гамбургер , доказательство гипотезы Каратеодори. Я , Энн. Матем. (2) 41 , 63–86 (1940); Доказательство гипотезы Каратеодори. II , Acta Math. 73 , 175-228 (1941) и доказательство гипотезы Каратеодори. III , Acta Math. 73 , 229–332 (1941).

[5] Струйк, диджей (1931). «Дифференциальная геометрия в целом» . Бык. амер. Математика. Соц. 37 (2): 49–62. дои : 10.1090/S0002-9904-1931-05094-1 .

[6] С. Т. Яу , Раздел проблем, с. 684 , в: Семинар по дифференциальной геометрии, под ред. С. Т. Яу, Анналы математических исследований 102 , Принстон, 1982 г.

[7] М. Бергер , Панорамный вид римановой геометрии , Springer, 2003 г. ISBN 3-540-65317-1

[8] М. Бергер , Раскрытая геометрия: лестница Иакова к современной высшей геометрии , Springer 2010 ISBN 3-540-70996-7

[nikolaev-9] И. Николаев, Слоения на поверхностях , Результаты математики и ее границы. 3. Эпизод А, Серия современных исследований по математике, Springer, 2001 г. ISBN 3-540-67524-8

[10] DJ Струик , Лекции по классической дифференциальной геометрии , Дувр, 1978 г. ISBN 0-486-65609-8

[11] В. А. Топоногов , Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей: краткое руководство , Биркхойзер, Бостон, 2006 г. ISBN 978-0-8176-4402-4

[12] Р. В. Гамкрелидзе (ред.), Геометрия I: основные идеи и концепции дифференциальной геометрии , Энциклопедия математических наук, Springer 1991. ISBN 0-387-51999-8

[:0-13] Перейти обратно: ^а ^б Бол, Г. (1944). «О пупочных точках на поверхности яйца» . Математика З. 49 : 389–410. дои : 10.1007/bf01174209 . S2CID 120816230 .

[:1-14] Перейти обратно: ^а ^б Клотц, Тилла (1959). «О доказательстве Дж. Болом гипотезы Каратеодори». Коммун. Чистое приложение. Математика. 12 (2): 277–311. дои : 10.1002/cpa.3160120207 .

[:2-15] Перейти обратно: ^а ^б Щербель, Х. (1993). Новое доказательство теоремы Гамбургера об индексе точек пуповины . Диссертация №. 10281 (доктор философии). ETH Цюрих .

[GuilKling08-16] Перейти обратно: ^а ^б ^с Гилфойл, Б.; Клингенберг, В. (2008). «Доказательство гипотезы Каратеодори». arXiv : 0808.0851 [ math.DG ].

[17] С. Кон-Воссен , Индекс точки пуповины в сети линий кривизны , Труды Международного конгресса математиков , том II, Никола Заничелли Редактор, Болонья, 1929 г.

[18] Блашке, В. (1929). Дифференциальная геометрия кругов и сфер, Лекции по дифференциальной геометрии, вып. 3 . Основные принципы математических наук. Том XXIX. Берлин: Springer Verlag .

[Hamburger1922-19] Перейти обратно: ^а ^б Гамбургер, Х. (1922). «Теорема о сетях кривых на замкнутых поверхностях». Труды Прусской академии наук в Берлине . 21 :258-262.

[20] Гамбургер, Х. (1924). «О кривых сетях с изолированными особенностями на съемочных поверхностях». Математика З. 19 : 50–66. дои : 10.1007/bf01181063 . S2CID 121237690 .

[21] Блашке, В. (1942). «На пупках овалоида». Материалы конференции Матем. Рим . 1942 : 201–208.

[22] Титус, CJ (1973). «Доказательство гипотезы Лёвнера и гипотезы Каратеодори о точках пуповины» . Акта Математика. 131 (1–2): 43–77. дои : 10.1007/BF02392036 . S2CID 119377800 .

[23] Сотомайор, Дж.; Мелло, LF (1999). «Заметка о некоторых разработках гипотезы Каратеодори о точках пуповины». Экспозиционная математика . 17 (1): 49–58. ISSN 0723-0869 .

[24] Гутьеррес, Дж.; Сотомайор, Дж. (1998). «Линии кривизны, точки пуповины и гипотеза Каратеодори». Недавний. Инст. Мэтт. Состояние. унив. Святой Павел . 3 (3): 291–322. ISSN 0104-3854 .

[25] Иванов, В.В. (2002). «Аналитическая гипотеза Каратеодори». Сиб. Математика. Дж. 43 (2): 251–322. дои : 10.1023/А:1014797105633 . ISSN 0037-4474 . S2CID 117115329 .

[GuilKling05-26] Перейти обратно: ^а ^б Гилфойл, Б.; Клингенберг, В. (2005). «Неопределенная метрика Кэлера в пространстве ориентированных прямых». Дж. Лондон Математика. Соц . 72 (2): 497–509. arXiv : math/0407490 . дои : 10.1112/S0024610705006605 . S2CID 14978450 .

[GuilKling04-27] Гилфойл, Б.; Клингенберг, В. (2004). «Обобщенные поверхности в $R^{3}$ ". Math. Proc. R. Ir. Acad . 104A (2): 199–209. doi : 10.1353/mpr.2004.0013 . S2CID 118128548 .

[28] Гилфойл, Б.; Клингенберг, В. (2020). «Фредгольмова регулярность голоморфных дисков в плоских расслоениях над компактными поверхностями» . Энн. Фак. наук. Тулузская математика . Серия 6. 29 (3): 565–576. arXiv : 1812.00707 . дои : 10.5802/afst.1639 . S2CID 119659239 .

[29] Гилфойл, Б. (2020). «Об изолированных пупочных точках». Комм. Анальный. Геом . 28 (8): 2005–2018. arXiv : 1812.03562 . дои : 10.4310/CAG.2020.v28.n8.a8 . S2CID 119158738 .

[30] Гилфойл, Б.; Клингенберг, В. (2019). «Высший коразмерный поток средней кривизны компактных пространственноподобных подмногообразий» . Пер. амер. Математика. Соц . 372 (9): 6263–6281. arXiv : 1812.00710 . дои : 10.1090/tran/7766 . S2CID 119253397 .

[31] Гилфойл, Б.; Клингенберг, В. (2012). «От глобального к локальному: индекс, ограничивающий омбилические точки на гладких выпуклых поверхностях». arXiv : 1207.5994 [ math.DG ].

[32] Гилфойл, Б.; Клингенберг, В. (2020). «Доказательство гипотезы Топоногова на полных поверхностях». arXiv : 2002.12787 [ math.DG ].

[33] Гоми, М.; Ховард, Р. (2012). «Нормальные кривизны асимптотически постоянных графов и гипотеза Каратеодори». Учеб. амер. Математика. Соц. 140 (12): 4323–4335. arXiv : 1101.3031 . дои : 10.1090/S0002-9939-2012-11420-0 . S2CID 12148752 .

[34] Гоми, М. (2017). «Открытые задачи геометрии кривых и поверхностей» (PDF) .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]