Рафаэль Бомбелли

L'Algebra от Рафаэля Бомбелли: Фронтиспис из издания Болонья 1579 года

Рафаэль Бомбелли ( крещен 20 января 1526 года; умер в 1572 году) был итальянский математик . Родился в Болонье , он является автором трактата по алгебре и является центральной фигурой в понимании воображаемых чисел .

Он был тем, кто наконец удалось решить проблему с воображаемыми числами. В своей книге 1572 года L'Algebra , Бомбелли решил уравнения, используя метод Del Ferro / Tartaglia . Он представил риторику, которая предшествовала репрезентативным символам + I и - I и описал, как они оба работали.

Жизнь

Рафаэль Бомбелли был крещен 20 января 1526 года В Болонье, папские состояния . Он родился у Антонио Маццоли, торговца шерстью и Diamante Scudieri, дочерью портной. Семья Маццоли когда -то была довольно мощной в Болонье. Когда папа Юлий II пришел к власти, в 1506 году он изгнал правящую семью, Bentivoglios . Семья Бентервоглио попыталась вернуть Болонье в 1508 году, но потерпела неудачу. Дедушка Рафаэля участвовал в попытке переворота и был захвачен и казнен. Позже Антонио смог вернуться в Болонье, изменив свою фамилию на Бомбелли, чтобы избежать репутации семьи Маццоли. Рафаэль был старшим из шести детей. Рафаэль не получил образования в колледже, но вместо этого его преподавал инженер-архитектор по имени Пир Франческо Клементи .

Бомбелли чувствовал, что ни одна из работ по алгебре со стороны ведущих математиков своего дня не предоставила тщательного и тщательного изложения предмета. Вместо другого запутанного трактата, который могли бы понять только математики, Рафаэль решил написать книгу о алгебре, которую можно было понять. Его текст был бы автономным и легко прочитанным теми, у кого нет высшего образования.

Бомбелли умер в 1572 году в Риме.

Бомбелли Алгебра

Алгебра , 1572

В книге, которая была опубликована в 1572 году под названием «Алгебра» , Бомбелли дал всесторонний отчет об алгебре, известной в то время. Он был первым европейцем, который записывал путь для выполнения вычислений с отрицательными числами. Ниже приведен отрывок из текста:

"Плюс раз плюс делает плюс
Минус времени минус делает плюс
Плюс раз минус делает минус
Минус плюс плюс делает минус
Плюс 8 раз плюс 8 делает плюс 64
Минус 5 раз минус 6 делает плюс 30
Минус 4 раза плюс 5 делает минус 20
Плюс 5 раз минус 4 делает минус 20 "

Как было предполагалось, Бомбелли использовал простой язык, как можно увидеть выше, чтобы любой мог его понять. Но в то же время он был тщательным.

Обозначение

Bombelli представил впервые в печатном тексте (в книге II его алгебры), формы индекса, в которой уравнение
$x^{3}=6x+40$
появился как
1U3 а. 6U1 с. 40
в котором он написал U3 в качестве поднятой формы чаши (как изогнутая часть заглавной буквы U) с номером 3 над ним. Полная символическая нотация была разработана вскоре после этого французским математиком Франсуа -Вите .

Комплексные числа

Возможно, что более важно, чем его работа с алгеброй, однако, книга также включает в себя монументальный вклад Бомбелли в теорию комплексов . Прежде чем он пишет о сложных числах, он указывает, что они встречаются в решениях уравнений формы $x^{3}=ax+b,$ при условии $(a/3)^{3}>(b/2)^{2},$ который является еще одним способом заявления о том, что дискриминант кубики является отрицательным. Решение такого рода уравнения требует приема корня куба из суммы одного числа и квадратного корня некоторого отрицательного числа.

До того, как Бомбелли практически придумывает воображаемые цифры, он входит в подробное объяснение свойств сложных чисел. Сразу же он дает понять, что правила арифметики для воображаемых чисел не такие, как для реальных чисел. Это было большое достижение, поскольку даже многочисленные последующие математики были чрезвычайно смущены по этой теме.

Бомбелли избегал путаницы, дав специальное имя квадратным корням негативных чисел, вместо того, чтобы просто пытаться справиться с ними как обычные радикалы, как и другие математики. Это дало понять, что эти цифры не были ни положительными, ни отрицательными. Этот вид системы избегает путаницы, с которой столкнулся Эйлер. Бомбелли назвал воображаемый номер I «плюс минус» и использовал «минус минус» для - i .

Бомбелли имел предвидение, чтобы увидеть, что воображаемые числа были решающими и необходимы для решения квартирных и кубических уравнений . В то время люди заботились о сложных числах только как инструменты для решения практических уравнений. Таким образом, Бомбелли смог получить решения, используя правило Scipione del Ferro , даже в Casus irreducibilis , где другие математики, такие как Кардано .

В своей книге Бомбелли объясняет сложную арифметику следующим образом:

"Плюс плюс минус, делает плюс минус.
Минус плюс минус, делает минус минус.
Плюс минус минус, делает минус минус.
Минус минус минус, делает плюс минус.
Плюс минус плюс минус, делает минус.
Плюс минус за минусом минус, делает плюс.
Минус минус плюс минус, делает плюс.
Минус минус минус минус делает минус ".

После работы с умножением реальных и воображаемых чисел Бомбелли продолжает говорить о правилах сложения и вычитания. Он станет осторожным, чтобы отметить, что реальные части добавляют к реальным частям, а воображаемые детали добавляют к воображаемым частям.

Репутация

Бомбелли, как правило, рассматривается как изобретатель сложных чисел, поскольку никто до него не дал правила для работы с такими цифрами, и никто не полагал, что работа с воображаемыми числами будет иметь полезные результаты. Прочитав алгебру Бомбелли , Лейбниц похвалил Бомбелли как «... Выдающийся мастер аналитического искусства». Кроссли пишет в своей книге «Таким образом, у нас есть инженер, Бомбелли, который, возможно, придерживался комплексных чисел, возможно, потому что они дали ему полезные результаты, в то время как Кардан обнаружил квадратные корни негативных чисел бесполезны. Бомбелли первым дает лечение любого Комплексные числа

В честь своих достижений, лунный кратер был назван Бомбелли .

Метод расчета квадратных корней Бомбелли

Бомбелли использовал метод, связанный с продолжающимися фракциями для расчета квадратных корней . У него еще нет концепции продолжающейся фракции, и ниже находится алгоритм более поздней версии, данной Пьетро Катальди (1613).

Метод поиска ${\sqrt {n}}$ начинается с $n=(a\pm r)^{2}=a^{2}\pm 2ar+r^{2}\$ с $0<r<1\$, из которого можно показать, что $r={\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm r}}$Полем Повторное замену выражения на правой стороне $r$ в себя дает постоянную долю

$a\pm {\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm {\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm {\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm \cdots }}}}}}$

Для корня, но Бомбелли больше озабочен лучшими приближениями для $r$Полем Значение, выбранное для $a$ является одним из целых чисел, чьи квадраты $n$ лежит между. Метод дает следующие конвергенты для ${\sqrt {13}}\$ В то время как фактическое значение составляет 3,605551275 ...:

$3{\frac {2}{3}},\ 3{\frac {3}{5}},\ 3{\frac {20}{33}},\ 3{\frac {66}{109}},\ 3{\frac {109}{180}},\ 3{\frac {720}{1189}},\ \cdots$

Последний конвергент равна 3.605550883 .... Метод Бомбелли следует сравнить с формулами и результатами, используемыми героями и архимедами . Результат ${\frac {265}{153}}<{\sqrt {3}}<{\frac {1351}{780}}$ Используется Архимедес в его определении значения $\pi$ можно найти с помощью 1 и 0 для начальных значений $r$.

Ссылки

Источники

• Моррис Клайн , Математическая мысль от древних до современных времен , 1972, издательство Оксфордского университета, Нью -Йорк, ISBN   0-19-501496-0
• Дэвид Юджин Смит , исходная книга по математике , 1959, Dover Publications, Нью -Йорк, ISBN   0-486-64690-4
• Кроссли, Джон Н. (1987). Появление числа . Сингапур: World Scientific. doi : 10.1142/0462 . ISBN  978-9971-5-0413-7 .
• Даниэль Дж. Кертин и др., Рафаэль Бомбелли, L'Algebra , 1996,

https://www.people.iup.edu/gsstoudt/history/bombelli/bombelli.pdf

Внешние ссылки

• Алгебра, библиотека I, II, III , IV и V , первоначально тексты.
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон Эдмунд , MacTutor History of Mathematics Archive, Ф.
• Фон