Группа гомеоморфизмов

В математике , особенно в топологии , группа гомеоморфизмов топологического пространства — это группа, состоящая из всех гомеоморфизмов пространства в себя с функциональной композицией в качестве групповой операции . Они важны для теории топологических пространств, обычно являющихся образцами групп автоморфизмов и топологически инвариантных в смысле группового изоморфизма .

Свойства и примеры

Существует естественное групповое действие группы гомеоморфизмов пространства на этом пространстве. Позволять $X$ — топологическое пространство и обозначают группу гомеоморфизмов $X$ к $G$ . Действие определяется следующим образом:

${\begin{aligned}G\times X&\longrightarrow X\\(\varphi ,x)&\longmapsto \varphi (x)\end{aligned}}$

Это групповое действие, поскольку для всех $\varphi ,\psi \in G$ ,

$\varphi \cdot (\psi \cdot x)=\varphi (\psi (x))=(\varphi \circ \psi )(x)$

где $\cdot$ обозначает групповое действие, а элемент единичный $G$ (что является тождественной функцией на $X$ ) отправляет очки себе. Если это действие транзитивно , то пространство называется однородным .

Топология

Как и в случае с другими наборами отображений между топологическими пространствами, группе гомеоморфизмов может быть задана топология, например компактно-открытая топология .В случае регулярных локально компактных пространств групповое умножение непрерывно.

Если пространство компактно и хаусдорфово, то инверсия также непрерывна и $\operatorname {Homeo} (X)$ становится топологической группой .Если $X$ является Хаусдорфом, локально компактен и локально связен. Это также верно. ^[1] Существуют локально компактные сепарабельные метрические пространства, для которых отображение инверсии не является непрерывным и $\operatorname {Homeo} (X)$ следовательно, это не топологическая группа. ^[1]

Группа классов сопоставления

В частности, в геометрической топологии рассматривается факторгруппа, полученная факторизацией по изотопии , называемая группой классов отображений :

{\rm {MCG}}(X)={\rm {Homeo}}(X)/{\rm {Homeo}}_{0}(X)

MCG также можно интерпретировать как 0-ю гомотопическую группу . ${\rm {MCG}}(X)=\pi _{0}({\rm {Homeo}}(X))$ .Это дает короткую точную последовательность :

1\rightarrow {\rm {Homeo}}_{0}(X)\rightarrow {\rm {Homeo}}(X)\rightarrow {\rm {MCG}}(X)\rightarrow 1.

В некоторых приложениях, особенно на поверхностях, группа гомеоморфизмов изучается с помощью этой короткой точной последовательности, сначала изучая группу классов отображений и группу изотопически тривиальных гомеоморфизмов, а затем (иногда) расширение.

См. также

Группа классов сопоставления

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Дейкстра, Ян Дж. (2005), «О группах гомеоморфизмов и компактно-открытой топологии» (PDF) , American Mathematical Monthly , 112 (10): 910–912, doi : 10.2307/30037630 , MR 2186833

«группа гомеоморфизмов» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

[vu.nl-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Дейкстра, Ян Дж. (2005), «О группах гомеоморфизмов и компактно-открытой топологии» (PDF) , American Mathematical Monthly , 112 (10): 910–912, doi : 10.2307/30037630 , MR 2186833

[1]