Грубое пространство (численный анализ)
- В данной статье рассматривается составляющая численных методов. Информацию о грубом пространстве в топологии см. в разделе « грубая структура» .
В анализе численном грубая задача — это вспомогательная система уравнений, используемая в итерационном методе решения заданной более крупной системы уравнений. Грубая задача — это, по сути, версия той же задачи с более низким разрешением, сохраняющая ее основные характеристики, но с меньшим количеством переменных. Целью грубой задачи является распространение информации по всей задаче в глобальном масштабе.
В многосеточных методах для уравнений в частных производных грубая задача обычно получается как дискретизация того же уравнения на более грубой сетке (обычно в методах конечных разностей ) или с помощью аппроксимации Галёркина на подпространстве , называемом грубым пространством . В методах конечных элементов обычно используется приближение Галеркина, при котором грубое пространство создается более крупными элементами в одной области . Обычно грубая задача соответствует сетке, которая в два или три раза крупнее.
Грубые пространства (грубая модель, суррогатная модель ) являются основой алгоритмов и методологий, использующих концепцию картографирования пространства для решения трудоемких задач инженерного моделирования и проектирования. [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] При картографировании пространства модель точной или высокой точности (высокое разрешение, требующая больших вычислительных ресурсов) используется для калибровки или повторной калибровки — или обновления на лету, как при агрессивном картографировании пространства — подходящей грубой модели. Обновленную грубую модель часто называют суррогатной моделью или отображенной грубой моделью. Это позволяет быстро, но более точно использовать базовую грубую модель при исследовании проектов или оптимизации проектов.
В методах декомпозиции области построение грубой задачи следует тем же принципам, что и в многосеточных методах, но более грубая задача имеет гораздо меньше неизвестных, обычно только одно или несколько неизвестных на подобласть или подструктуру, а грубое пространство может иметь совершенно другой тип, чем исходное пространство конечных элементов, например, кусочные константы с усреднением при разложении балансирующей области или построенные из минимальных по энергии функций в BDDC . Однако конструкция грубой задачи в FETI необычна тем, что она не получается как галеркинская аппроксимация исходной задачи.
В алгебраических многосеточных методах и в итерационных методах агрегирования в математической экономике и цепях Маркова грубая задача обычно получается с помощью приближения Галеркина на подпространстве. В математической экономике грубая задача может быть получена путем агрегирования продуктов или отраслей в грубое описание с меньшим количеством переменных. В цепях Маркова грубая цепь Маркова может быть получена путем агрегирования состояний.
Скорость сходимости многосеточных и доменных методов декомпозиции для эллиптических уравнений в частных производных без грубой задачи ухудшается с уменьшением шага сетки (или уменьшением размера элемента, или увеличением количества подобластей или подструктур), что делает грубую задачу необходимой для масштабируемого алгоритма.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Дж. В. Бэндлер, Р. М. Бирнаки, С. Х. Чен, П. А. Гробельный и Р. Х. Хеммерс, «Техника пространственного картирования для электромагнитной оптимизации», IEEE Trans. Теория микроволнового излучения. , том. 42, нет. 12, стр. 2536–2544, декабрь 1994 г.
- ^ Дж. В. Бэндлер, Р. М. Бирнаки, С. Х. Чен, Р. Х. Хеммерс и К. Мэдсен, «Электромагнитная оптимизация с использованием агрессивного космического картографирования», IEEE Trans. Теория микроволнового излучения. , том. 43, нет. 12, стр. 2874–2882, декабрь 1995 г.
- ^ А. Дж. Букер, Дж. Э. Деннис-младший, П. Д. Франк, Д. Б. Серафини, В. Торчон и М. В. Троссет, «Строгая основа для оптимизации дорогостоящих функций с помощью суррогатов», Структурная оптимизация , том. 17, нет. 1, стр. 1–13, февраль 1999 г.
- ^ Дж. В. Бэндлер, К. Ченг, С. А. Дакрури, А. С. Мохамед, М. Х. Бакр, К. Мэдсен и Дж. Сёндергаард, «Космическое картографирование: современное состояние», IEEE Trans. Теория микроволнового излучения. , том. 52, нет. 1, стр. 337–361, январь 2004 г.
- ^ Т. Д. Робинсон, М. С. Элдред, К. Э. Уиллкокс и Р. Хеймс, «Оптимизация на основе суррогатных данных с использованием моделей множественной точности с переменной параметризацией и исправленным отображением пространства», AIAA Journal , vol. 46, нет. 11 ноября 2008 г.
- ^ М. Редхе и Л. Нильссон, «Оптимизация нового Saab 9–3, подвергающегося ударной нагрузке, с использованием метода пространственного картирования», Структурная и междисциплинарная оптимизация, том. 27, нет. 5, стр. 411–420, июль 2004 г.
- ^ Дж. Э. Райас-Санчес, «Сила в простоте с ASM: отслеживание агрессивного алгоритма картографирования пространства на протяжении двух десятилетий разработок и инженерных приложений» , IEEE Microwave Magazine , vol. 17, нет. 4, стр. 64–76, апрель 2016 г.
- ^ Дж. В. Бэндлер и С. Козиел «Достижения в оптимизации конструкции на основе электромагнетизма» , IEEE MTT-S Int. Микроволновая печь. Дайджест (Сан-Франциско, Калифорния, 2016 г.).
- Ян Мандель и Бедржих Соуседик, «Грубое пространство на протяжении веков», Девятнадцатая Международная конференция по декомпозиции доменов , Springer-Verlag, представлено, 2009. arXiv:0911.5725
- Олоф Б. Видлунд , « Разработка грубых пространств для алгоритмов декомпозиции области », в: Методы декомпозиции области в науке и технике XVIII , Берковье, М. и Гандер, М.Дж. и Корнхубер, Р. и Видлунд, О. (ред.) , Конспекты лекций по вычислительной науке и технике 70, Springer-Verlag, 2009 г., Материалы 18-й Международной конференции по декомпозиции доменов, Иерусалим, Израиль, январь 2008 г., дои : 10.1007/978-3-642-02677-5_26 .