S5 (модальная логика)

В логике и философии , S5 — одна из пяти систем модальной логики предложенных Кларенс Ирвинг Льюис и Купер Гарольд Лэнгфорд в своей книге «Символическая логика» 1932 года . Это обычная модальная логика и одна из старейших систем модальной логики любого рода. Он формируется с помощью формул исчисления высказываний и тавтологий , а также аппарата вывода с подстановкой и modus ponens расширяет синтаксис модальным оператором . , но обязательно $\Box$ и его двойное возможно $\Diamond$ . ^[1]^[2]

Аксиомы S5

Ниже используются модальные операторы. $\Box$ («обязательно») и $\Diamond$ ("возможно").

S5 характеризуется аксиомами:

К : $\Box (A\to B)\to (\Box A\to \Box B)$ ;
Т : $\Box A\to A$ ,

и либо:

5 : $\Diamond A\to \Box \Diamond A$ ;
или оба из следующих действий: ^[3]

4 : $\Box A\to \Box \Box A$ , и
Б : $A\to \Box \Diamond A$ .

Аксиома (5) ограничивает отношение достижимости $R$ системы Крипке быть евклидовой , т.е. $(wRv\land wRu)\implies vRu$ , тем самым смешивая необходимость с возможностью в условиях идемпотентности .

Семантика Крипке

С точки зрения семантики Крипке , S5 характеризуется фреймами, в которых отношение доступности является отношением эквивалентности : оно рефлексивно , транзитивно и симметрично .

Определение выполнимости формулы S5 является NP-полной задачей. Доказательство сложности тривиально, поскольку S5 включает в себя логику высказываний . Принадлежность доказывается, показывая, что любая выполнимая формула имеет модель Крипке, в которой количество миров не более чем линейно зависит от размера формулы.

Приложения

S5 полезен, поскольку позволяет избежать лишней итерации квалификаторов разных типов. Например, при S5, если X обязательно, возможно, обязательно, возможно истинно, то X возможно истинно. Невыделенные жирным шрифтом уточнения перед финальным словом «возможно» в S5 удалены. Хотя это полезно для того, чтобы предложения были достаточно краткими, это также может показаться нелогичным, поскольку в рамках S5, если что-то возможно, то это необходимо.

Элвин Плантинга утверждает, что эта особенность S5 на самом деле не противоречит здравому смыслу. Чтобы оправдать это, он рассуждает так: если X возможно необходимо , то оно необходимо по крайней мере в одном возможном мире ; следовательно, это необходимо во всех возможных мирах и, следовательно, верно во всех возможных мирах. Подобные рассуждения лежат в основе «модальных» формулировок онтологического аргумента .

S5 эквивалентно присоединению $\Diamond \dashv \Box$ . ^[4]

Лейбниц предложил онтологический аргумент существования Бога, используя эту аксиому. По его словам: «Если необходимое существо возможно, то, следовательно, оно действительно существует». ^[5]

S5 также является модальной системой метафизики святого Фомы Аквинского и, в частности, Пяти Путей . ^[6]

Однако эти приложения требуют, чтобы каждый оператор находился в последовательном расположении одной модальности. ^[7] В рамках мультимодальной логики , например, «X возможно (в эпистемической модальности, по нашим данным) необходимо (в алетической модальности)», из этого больше не следует, что необходимость X по крайней мере в одном эпистемически возможном мире означает, что он необходим во всех эпистемически возможных мирах. миры. Это согласуется с интуицией, согласно которой предложение определенной необходимой сущности не означает, что она реальна.

См. также

Ссылки

^ Челлас, Б.Ф. (1980) Модальная логика: Введение . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-22476-4
^ Хьюз, GE , и Крессвелл, MJ (1996) Новое введение в модальную логику . Рутледж. ISBN 0-415-12599-5
^ Крахт, Маркус (1999). Инструменты и методы модальной логики (1-е изд.). Эльзевир. п. 72. ИСБН 9780444500557 .
^ «Стив Аводи. Теория категорий. Глава 10. Монады. 10.4 Комонады и коалгебры» (PDF) .
^ Посмотрите, Брэндон К. (2020 г.), Залта, Эдвард Н. (редактор), «Готфрид Вильгельм Лейбниц» , Стэнфордская энциклопедия философии (изд. весны 2020 г.), Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет , получено 3 июня 2022 г.
^ Джанфранко Басти (2017). Логика III: философская Логика и формальная философия - Часть I: современное новое открытие формальной логики (на итальянском языке ] ( PDF) ). Рим. стр. 106, 108. Архивировано из оригинала (PPT) 7 октября 2022 г. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Уолтер Карниелли ; Клаудио Пицци (2008). Модальности и мультимодальности . Спрингер. ISBN 978-1-4020-8589-5 .

Внешние ссылки

http://home.utah.edu/~nahaj/logic/structures/systems/s5.html
Модальная логика в Стэнфордской энциклопедии философии

[1] Челлас, Б.Ф. (1980) Модальная логика: Введение . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-22476-4

[2] Хьюз, GE , и Крессвелл, MJ (1996) Новое введение в модальную логику . Рутледж. ISBN 0-415-12599-5

[3] Крахт, Маркус (1999). Инструменты и методы модальной логики (1-е изд.). Эльзевир. п. 72. ИСБН 9780444500557 .

[4] «Стив Аводи. Теория категорий. Глава 10. Монады. 10.4 Комонады и коалгебры» (PDF) .

[5] Посмотрите, Брэндон К. (2020 г.), Залта, Эдвард Н. (редактор), «Готфрид Вильгельм Лейбниц» , Стэнфордская энциклопедия философии (изд. весны 2020 г.), Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет , получено 3 июня 2022 г.

[6] Джанфранко Басти (2017). Логика III: философская Логика и формальная философия - Часть I: современное новое открытие формальной логики (на итальянском языке ] ( PDF) ). Рим. стр. 106, 108. Архивировано из оригинала (PPT) 7 октября 2022 г. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[7] Уолтер Карниелли ; Клаудио Пицци (2008). Модальности и мультимодальности . Спрингер. ISBN 978-1-4020-8589-5 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]