Двойственность Тейта

В математике или двойственность Тейта двойственность Пуату-Тейта — это теорема двойственности для групп когомологий Галуа модулей над группой Галуа поля алгебраических чисел или локального поля , введенная Джоном Тейтом ( 1962 ) и Жоржем Пуату ( 1967 ).

Локальная двойственность Тейта

Для p -адического локального поля $k$ , локальная двойственность Тейта говорит, что существует идеальное спаривание конечных групп, возникающее из когомологий Галуа:

\displaystyle H^{r}(k,M)\times H^{2-r}(k,M')\rightarrow H^{2}(k,\mathbb {G} _{m})=\mathbb {Q} /\mathbb {Z}

где $M$ является конечной групповой схемой, $M'$ это двойной $\operatorname {Hom} (M,G_{m})$ , и $\mathbb {G} _{m}$ является мультипликативной группой .Для локального поля характеристики $p>0$ , утверждение аналогично, за исключением того, что спаривание принимает значения в $H^{2}(k,\mu )=\bigcup _{p\nmid n}{\tfrac {1}{n}}\mathbb {Z} /\mathbb {Z}$ . ^[1] Это утверждение справедливо и тогда, когда $k$ является архимедовым полем , хотя определение групп когомологий в этом случае выглядит несколько иначе.

Глобальная двойственность Тейта

Учитывая конечную групповую схему $M$ над глобальным полем $k$ , глобальная двойственность Тейта связывает когомологии $M$ с этим из $M'=\operatorname {Hom} (M,G_{m})$ используя локальные пары, построенные выше. Это делается с помощью карт локализации.

\alpha _{r,M}:H^{r}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{r}(k_{v},M),

где $v$ варьируется во всех местах $k$ , и где $\prod '$ обозначает ограниченное произведение относительно неразветвленных групп когомологий. Суммирование локальных пар дает каноническую идеальную пару.

{\prod _{v}}'H^{r}(k_{v},M)\times {\prod _{v}}'H^{2-r}(k_{v},M')\rightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .

Одна часть двойственности Пуату-Тейт утверждает, что в этом сочетании образ $H^{r}(k,M)$ имеет аннулятор, равный образу $H^{2-r}(k,M')$ для $r=0,1,2$ .

Карта $\alpha _{r,M}$ имеет конечное ядро для всех $r$ , а Тейт также строит каноническое совершенное спаривание

{\text{ker}}(\alpha _{1,M})\times \ker(\alpha _{2,M'})\rightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .

Эти двойственности часто представляются в виде точной последовательности из девяти членов.

0\rightarrow H^{0}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{0}(k_{v},M)\rightarrow H^{2}(k,M')^{*}

\rightarrow H^{1}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{1}(k_{v},M)\rightarrow H^{1}(k,M')^{*}

\rightarrow H^{2}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{2}(k_{v},M)\rightarrow H^{0}(k,M')^{*}\rightarrow 0.

Здесь звездочкой обозначена двойственная по Понтрягину данная локально компактная абелева группа.

Все эти утверждения были представлены Тейтом в более общем виде в зависимости от набора мест. $S$ из $k$ , причем приведенные выше утверждения являются формой его теорем для случая, когда $S$ содержит все места $k$ . Более общий результат см., например, Нойкирх, Шмидт и Вингберг (2000 , теорема 8.4.4).

Двойственность Пуату-Тейта

Среди других утверждений, двойственность Пуату-Тейта устанавливает идеальное спаривание между некоторыми группами Шафаревича . Учитывая глобальное поле $k$ , множество S простых чисел и максимальное расширение $k_{S}$ который неразветвлен вне S , группы Шафаревича захватывают, вообще говоря, эти элементы в когомологиях $\operatorname {Gal} (k_{S}/k)$ которые исчезают в когомологиях Галуа локальных полей, принадлежащих простым числам в S . ^[2]

Расширение случая, когда кольцо S -целых чисел ${\mathcal {O}}_{S}$ заменяется регулярной схемой конечного типа над $\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{S}$ было показано Geisser & Schmidt (2018) .

См. также

Ссылки

^ Нойкирх, Шмидт и Вингберг (2000 , теорема 7.2.6)
^ См Нойкирха, Шмидта и Вингберга (2000 , теорема 8.6.8). . точное утверждение

Гейссер, Томас Х.; Шмидт, Александр (2018), «Двойственность Пуату-Тейта для арифметических схем», Compositio Mathematica , 154 (9): 2020–2044, arXiv : 1709.06913 , Bibcode : 2017arXiv170906913G , doi : 10.1112/S0010437X 18007340 , S2CID 119735104
Хаберланд, Клаус (1978), когомологии Галуа полей алгебраических чисел , VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften , ISBN 9780685872048 , МР 0519872
Нойкирх, Юрген; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей , Springer, ISBN 3-540-66671-0 , МР 1737196
Пуату, Жорж (1967), «Глобальные свойства конечных модулей», когомологии Галуа конечных модулей , семинар Института математики Лилля под руководством Ж. Пуату. Математические труды и исследования, вып. 13, Париж: Дюно, стр. 255–277, МР 0219591
Тейт, Джон (1962), «Теоремы двойственности в когомологиях Галуа над числовыми полями» , Труды Международного конгресса математиков (Стокгольм, 1962) , Дюрсхольм: Inst. Миттаг-Леффлер, стр. 288–295, MR 0175892 , заархивировано из оригинала 17 июля 2011 г.

[1] Нойкирх, Шмидт и Вингберг (2000 , теорема 7.2.6)

[2] См Нойкирха, Шмидта и Вингберга (2000 , теорема 8.6.8). . точное утверждение

[1]

[2]