Двойные круги
В геометрии двойные круги — это два особых круга, связанных с арбелосом .Арбелос определяется тремя коллинеарными точками A , B и C и представляет собой криволинейную треугольную область между тремя полукругами которых имеют AB , BC и AC , диаметры . Если арбелос разделен на две меньшие области отрезком, проходящим через средние точки A , B и C , перпендикулярно линии ABC , то каждый из двух двойных кругов лежит внутри одной из этих двух областей, касательных к двум его полукруглым частям. стороны и к разделяющемуся сегменту.
Эти круги впервые появились в Книге лемм , которая показала (Предложение V), что два круга конгруэнтны . [1] Сабит ибн Курра , переведший эту книгу на арабский язык, приписал ее греческому математику Архимеду . На основании этого утверждения двойные круги и несколько других кругов в Арбеле, конгруэнтных им, также были названы кругами Архимеда . Однако эта атрибуция была подвергнута сомнению более поздними исследованиями. [2]
Строительство
[ редактировать ]
Конкретно, пусть , , и три угла арбелоса, с между и . Позволять быть точкой, где больший полукруг пересекает линию перпендикулярную , через точку . Сегмент делит арбелос на две части. Двойные круги — это две окружности, вписанные в эти части, каждая из которых касается одного из двух меньших полукругов, отрезка , и до самого большого полукруга. [3]
Каждая из двух окружностей однозначно определяется тремя касаниями. Ее построение является частным случаем проблемы Аполлония .
Также были найдены альтернативные подходы к построению двух кругов, конгруэнтных кругам-близнецам. [4] [5] Эти круги еще называют архимедовыми кругами. К ним относятся круг Банкоффа , круг Шоха и круг Ву .
Характеристики
[ редактировать ]Пусть a и b — диаметры двух внутренних полукругов, так что внешний полукруг имеет диаметр a + b . Тогда диаметр каждого двойного круга равен [3]
Альтернативно, если внешний полукруг имеет единичный диаметр, а внутренние круги имеют диаметры и , диаметр каждого двойного круга равен [3]
Самый маленький круг, охватывающий оба круга-близнеца, имеет ту же площадь, что и арбелос. [3]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Томас Литтл Хит (1897), Работы Архимеда . Издательство Кембриджского университета. Предложение 5 в книге лемм . Цитата: « Пусть AB — диаметр полукруга, C — любая точка на AB, а CD перпендикулярен ей, и пусть полукруги описаны внутри первого полукруга и имеют диаметры AC, CB. Тогда, если нарисовать две окружности, касающиеся CD на разными сторонами и каждый из которых касается двух полукругов, нарисованные таким образом круги будут равны » .
- ^ Боас, Гарольд П. (2006). «Размышления об Арбелосах» . Американский математический ежемесячник . 113 (3): 241. дои : 10.1080/00029890.2006.11920301 . S2CID 14528513 .
Источником утверждения о том, что Архимед изучал и назвал арбелос, является Книга Лемм , также известная как Liber assumptorum от названия латинского перевода семнадцатого века арабского перевода девятого века утерянного греческого оригинала. Хотя этот сборник из пятнадцати положений включен в стандартные издания сочинений Архимеда, редакция признает, что автором «Книги лемм» был не Архимед, а какой-то анонимный более поздний компилятор, который действительно ссылается на Архимеда в третьем лице.
- ^ Перейти обратно: а б с д Вайсштейн, Эрик В. « Круги Архимеда». Из MathWorld — веб-ресурс Wolfram» . Проверено 10 апреля 2008 г.
- ^ Флор ван Ламоен (2014), Каталог более пятидесяти архимедовых кругов . Интернет-документ, доступ осуществлен 8 октября 2014 г.
- ^ Флор ван Ламоен (2014), Круги (A61a) и (A61b): пара Дао . Интернет-документ, доступ осуществлен 8 октября 2014 г.