Неравенство Лумиса – Уитни

В математике неравенство Лумиса -Уитни является результатом геометрии , который в своей простейшей форме позволяет оценить «размер» $d$- размерный набор по размерам своего $(d-1)$-мерные проекции. Неравенство имеет приложения в геометрии инцидентности , изучении так называемых «решетчатых животных» и других областях.

Результат назван в честь американских математиков Линн Гарольда Лумиса и Хасслера Уитни и был опубликован в 1949 году.

Формулировка неравенства

Исправить размер $d\geq 2$ и рассмотрим прогнозы

$\pi _{j}:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d-1},$

$\pi _{j}:x=(x_{1},\dots ,x_{d})\mapsto {\hat {x}}_{j}=(x_{1},\dots ,x_{j-1},x_{j+1},\dots ,x_{d}).$

Для каждого 1 ≤ j ≤ d пусть

$g_{j}:\mathbb {R} ^{d-1}\to [0,+\infty ),$

$g_{j}\in L^{d-1}(\mathbb {R} ^{d-1}).$

Тогда справедливо неравенство Лумиса–Уитни :

$\left\|\prod _{j=1}^{d}g_{j}\circ \pi _{j}\right\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{d})}=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\prod _{j=1}^{d}g_{j}(\pi _{j}(x))\,\mathrm {d} x\leq \prod _{j=1}^{d}\|g_{j}\|_{L^{d-1}(\mathbb {R} ^{d-1})}.$

Эквивалентно, взяв $f_{j}(x)=g_{j}(x)^{d-1},$ у нас есть

$f_{j}:\mathbb {R} ^{d-1}\to [0,+\infty ),$

$f_{j}\in L^{1}(\mathbb {R} ^{d-1})$

подразумевая

$\int _{\mathbb {R} ^{d}}\prod _{j=1}^{d}f_{j}(\pi _{j}(x))^{1/(d-1)}\,\mathrm {d} x\leq \prod _{j=1}^{d}\left(\int _{\mathbb {R} ^{d-1}}f_{j}({\hat {x}}_{j})\,\mathrm {d} {\hat {x}}_{j}\right)^{1/(d-1)}.$

Особый случай

Неравенство Лумиса – Уитни можно использовать для связи меры Лебега подмножества евклидова пространства. $\mathbb {R} ^{d}$ его «средней ширине» в координатных направлениях. Фактически это оригинальная версия, опубликованная Лумисом и Уитни в 1949 году (вышеупомянутое является обобщением).

Пусть E — некоторое измеримое подмножество $\mathbb {R} ^{d}$ и пусть

$f_{j}=\mathbf {1} _{\pi _{j}(E)}$

– индикаторная функция проекции E на j -ю координатную гиперплоскость. Отсюда следует, что для любой точки x в E ,

$\prod _{j=1}^{d}f_{j}(\pi _{j}(x))^{1/(d-1)}=\prod _{j=1}^{d}1=1.$

Следовательно, по неравенству Лумиса–Уитни

$\int _{\mathbb {R} ^{d}}\mathbf {1} _{E}(x)\,\mathrm {d} x=|E|\leq \prod _{j=1}^{d}|\pi _{j}(E)|^{1/(d-1)},$

и, следовательно,

$|E|\geq \prod _{j=1}^{d}{\frac {|E|}{|\pi _{j}(E)|}}.$

Количество

${\frac {|E|}{|\pi _{j}(E)|}}$

можно рассматривать как среднюю ширину $E$ в $j$координатное направление. Эта интерпретация неравенства Лумиса–Уитни также верна, если мы рассмотрим конечное подмножество евклидова пространства и заменим меру Лебега считающей мерой .

Следующее доказательство является оригинальным.

Доказательство

Обзор: мы доказываем это для объединений единичных кубов в целочисленной сетке, а затем переходим к непрерывному пределу. Когда $d=1,2$, это очевидно. Теперь введите $d+1$. Единственный трюк — использовать неравенство Гельдера для подсчета мер.

Перечислите размеры $\mathbb {R} ^{d+1}$ как $0,1,...,d$.

Данный $N$ единичные кубы на целочисленной сетке в $\mathbb {R} ^{d+1}$, причем их союз $T$, проецируем их на 0-ю координату. Каждый единичный куб проецируется на целочисленный единичный интервал на $\mathbb {R}$. Теперь определите следующее:

• $I_{1},...,I_{k}$ перечислить все такие целочисленные единичные интервалы по 0-й координате.

• Позволять $T_{i}$ быть набором всех единичных кубов, которые проецируются на $I_{i}$.

• Позволять $N_{j}$ быть областью $\pi _{j}(T)$, с $j=0,1,...,d$.

• Позволять $a_{i}$ быть объёмом $T_{i}$. У нас есть $\sum _{i}a_{i}=N$, и $a_{i}\leq N_{0}$.

• Позволять $T_{ij}$ быть $\pi _{j}(T_{i})$ для всех $j=1,...,d$.

• Позволять $a_{ij}$ быть областью $T_{ij}$. У нас есть $\sum _{i}a_{ij}=N_{j}$.

Индукцией по каждому срезу $T_{i}$, у нас есть $a_{i}^{d-1}\leq \prod _{j=1}^{d}a_{ij}$

Умножение на $a_{i}\leq N_{0}$, у нас есть $a_{i}^{d}\leq N_{0}\prod _{j=1}^{d}a_{ij}$

Таким образом $$N=\sum _{i}a_{i}\leq \sum _{i}N_{0}^{1/d}\prod _{j=1}^{d}a_{ij}^{1/d}=N_{0}^{1/d}\sum _{i=1}^{k}\prod _{j=1}^{d}a_{ij}^{1/d}$$

Теперь сумму-продукт можно записать в виде интеграла по счетной мере, что позволяет нам выполнить неравенство Гёльдера: $$\sum _{i=1}^{k}\prod _{j=1}^{d}a_{ij}^{1/d}=\int _{i}\prod _{j=1}^{d}a_{ij}^{1/d}=\left\|\prod _{j=1}^{d}a_{\cdot ,j}^{1/d}\right\|_{1}\leq \prod _{j}\|a_{\cdot ,j}^{1/d}\|_{d}=\prod _{j=1}^{d}\left(\sum _{i=1}^{k}a_{ij}\right)^{1/d}$$

Подключение $\sum _{i}a_{ij}=N_{j}$, мы получаем $N^{d}\leq \prod _{j=0}^{d}N_{j}$

Следствие. С $2|\pi _{j}(E)|\leq |\partial E|$, мы получаем слабое изопериметрическое неравенство:

$$|E|^{d-1}\leq 2^{-d}|\partial E|^{d}$$Итерация теоремы дает $|E|\leq \prod _{1\leq j<k\leq d}|\pi _{j}\circ \pi _{k}(E)|^{{\binom {d-1}{2}}^{-1}}$ и вообще $$|E|\leq \prod _{j}|\pi _{j}(E)|^{{\binom {d-1}{k}}^{-1}}$$где $\pi _{j}$ перечисляет все проекции $\mathbb {R} ^{d}$ своему $d-k$ размерные подпространства.

Обобщения

Неравенство Лумиса-Уитни является частным случаем неравенства Браскампа-Либа , в котором проекции π _j, указанные выше, заменяются более общими линейными отображениями , не обязательно все отображения на пространства одной и той же размерности.

Источники

• Алон, Нога ; Спенсер, Джоэл Х. (2016). Вероятностный метод . Серия Уайли по дискретной математике и оптимизации (четвертое издание оригинального издания 1992 г.). Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  978-1-119-06195-3 . МР   3524748 . Збл   1333.05001 .
• Бушерон, Стефан; Лугоши, Габор; Массарт, Паскаль (2013). Неравенства концентрации. Неасимптотическая теория независимости . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета . doi : 10.1093/acprof:oso/9780199535255.001.0001 . ISBN  978-0-19-953525-5 . МР   3185193 . Збл   1279.60005 .
• Бураго, Ю. Д .; Залгаллер, В.А. (1988). Геометрические неравенства . Основные принципы математических наук. Том 285. Перевод Сосинского А.Б. Берлин: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-662-07441-1 . ISBN  3-540-13615-0 . МР   0936419 . Збл   0633.53002 .
• Хадвигер, Х. (1957). Лекции по содержанию, поверхности и изопериметрии . Основные принципы математических наук. Том 93. Берлин – Геттинген – Гейдельберг: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-642-94702-5 . ISBN  3-642-94702-6 . МР   0102775 . Збл   0078.35703 .
• Лумис, LH ; Уитни, Х. (1949). «Неравенство, связанное с изопериметрическим неравенством» . Бюллетень Американского математического общества . 55 (10): 961–962. дои : 10.1090/S0002-9904-1949-09320-5 . МР   0031538 . Збл   0035.38302 .