Теорема Квиллена – Суслина

Теорема Квиллена – Суслина
Поле	Коммутативная алгебра
Предполагается	Жан-Пьер Серр
Предполагается в	1955
Первое доказательство	Дэниел Куиллен ; Андрей Суслин
Первое доказательство в	1976

Теорема Квиллена-Суслина , также известная как проблема Серра или гипотеза Серра , представляет собой теорему , коммутативной алгебры касающуюся отношений между свободными модулями и проективными модулями над кольцами полиномов . С геометрической точки зрения это утверждение о тривиальности векторных расслоений в аффинном пространстве .

Теорема утверждает, что каждый порожденный проективный модуль над кольцом многочленов свободен конечно .

История

Фон

Геометрически конечно порожденные проективные модули над кольцом $R[x_{1},\dots ,x_{n}]$ соответствуют векторным расслоениям в аффинном пространстве $\mathbb {A} _{R}^{n}$ , где свободные модули соответствуют тривиальным векторным расслоениям. Это соответствие (от модулей к (алгебраическим) векторным расслоениям) задается функтором «глобализации» или «твиддлификации», отправляющим $M\to {\widetilde {M}}$ (Хартшорн II.5, стр. 110). Аффинное пространство топологически сжимаемо , поэтому оно не допускает нетривиальных топологических векторных расслоений. Простое рассуждение с использованием экспоненциальной точной последовательности и леммы Пуанкаре о d-стержне показывает, что она также не допускает нетривиальных голоморфных векторных расслоений .

Жан-Пьер Серр в своей статье 1955 года Faisceaux algébriques cohérents заметил, что соответствующий вопрос не был известен для алгебраических векторных расслоений: «Неизвестно, существуют ли проективные A -модули конечного типа, которые не являются свободными». ^[1] Здесь $A$ является кольцом полиномов над полем , т. е. $A$ = $k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ .

К разочарованию Серра, эта проблема быстро стала известна как гипотеза Серра. (Серр писал: «Я возражал так часто, как только мог [против этого имени]». ^[2]) Утверждение не следует непосредственно из доказательств, приведенных в топологическом или голоморфном случае. Эти случаи гарантируют только существование непрерывной или голоморфной тривиализации, но не алгебраической тривиализации.

Серр добился некоторого прогресса в поиске решения в 1957 году, когда доказал, что каждый конечно порожденный проективный модуль над кольцом многочленов над полем является стабильно свободным , то есть после формирования его прямой суммы с конечно порожденным свободным модулем он становится свободным. Проблема оставалась открытой до 1976 года, когда Дэниел Квиллен и Андрей Суслин независимо друг от друга доказали результат. Куиллен был награжден медалью Филдса в 1978 году отчасти за доказательство гипотезы Серра. Леонид Васерштейн позже дал более простое и гораздо более короткое доказательство теоремы, которое можно найти в » Сержа Ланга «Алгебре .

Обобщение

Обобщение, связывающее проективные модули над регулярными нётеровыми кольцами A и их кольцами многочленов, известно как гипотеза Басса–Квиллена .

Обратите внимание, что хотя $GL_{n}$ -расслоения в аффинном пространстве все тривиальны, это неверно для G -расслоений, где G — общая редуктивная алгебраическая группа .

Примечания

^ «Неизвестно, существуют ли проективные A несвободные -модули конечного типа». Серр, КВС , с. 243.
^ Лам, с. 1

Ссылки

Серр, Жан-Пьер (март 1955 г.), «Когерентные алгебраические пучки», Annals of Mathematics , Second Series, 61 (2): 197–278, doi : 10.2307/1969915 , JSTOR 1969915 , MR 0068874
Серр, Жан-Пьер (1958), «Проективные модули и расслоенные пространства с векторным слоем», Семинар П. Дюбрея, М.-Л. Дюбрей-Жакотен и К. Писо, 1957/58, Fasc. 2, Лекция 23 (на французском языке), MR 0177011
Квиллен, Дэниел (1976), «Проективные модули над полиномиальными кольцами», Inventiones Mathematicae , 36 (1): 167–171, doi : 10.1007/BF01390008 , MR 0427303
Суслин Андрей Алексеевич (1976), Проективные модули над кольцами многочленов свободны Проективные модули над кольцами полиномов свободны, Доклады Академии наук СССР , 229 (5): 1063–1066, МР 0469905 . Переведено на «Проективные модули над кольцами полиномов свободны», Советская математика , 17 (4): 1160–1164, 1976.
Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4 , МР 1878556

Отчет по этой теме предоставлен:

Лам, Цит Юэн (2006), Проблема Серра о проективных модулях , Монографии Springer по математике, Берлин; Нью-Йорк: Springer Science+Business Media , стр. 300 стр., ISBN. 978-3-540-23317-6 , МР 2235330

[1] «Неизвестно, существуют ли проективные A несвободные -модули конечного типа». Серр, КВС , с. 243.

[2] Лам, с. 1

[1]

[2]