БИБО-стабильность

В обработке сигналов , в частности в теории управления , с ограниченным входом и ограниченным выходом ( BIBO ) стабильность — это форма стабильности сигналов , и систем которые принимают входные данные. Если система BIBO-стабильна, то выход будет ограничен для каждого входа в ограниченную систему.

Сигнал ограничен, если существует конечное значение $B>0$ так, чтобы величина сигнала никогда не превышала $B$, то есть

Для дискретного времени : сигналов $\exists B\forall n(\ |y[n]|\leq B)\quad n\in \mathbb {Z}$

Для непрерывных сигналов: $\exists B\forall t(\ |y(t)|\leq B)\quad t\in \mathbb {R}$

Условия временной области для линейных стационарных систем

Непрерывное необходимое и достаточное условие

Для непрерывной во времени линейно-инвариантной (LTI) системы условием стабильности BIBO является то, что импульсный отклик , $h(t)$ , быть абсолютно интегрируемым , т. е. его L ¹ норма существует.

$\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\,{\mathord {\operatorname {d} }}t=\|h\|_{1}\in \mathbb {R}$

Достаточное условие дискретного времени

Для системы LTI с дискретным временем условием устойчивости BIBO является то, чтобы импульсная характеристика была абсолютно суммируемой , т. е. ее $\ell ^{1}$ норма существует.

$\ \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|=\|h\|_{1}\in \mathbb {R}$

Доказательство достаточности

Дана дискретным система LTI с временем и импульсной характеристикой. $\ h[n]$ связь между входом $\ x[n]$ и вывод $\ y[n]$ является

$\ y[n]=h[n]*x[n]$

где $*$ обозначает свертку . Тогда по определению свертки следует

$\ y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[k]x[n-k]$

Позволять $\|x\|_{\infty }$ быть максимальным значением $\ |x[n]|$, то есть $L_{\infty }$-норма .

$\left|y[n]\right|=\left|\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[n-k]x[k]\right|$

$\leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[n-k]\right|\left|x[k]\right|$ (по неравенству треугольника )

${\begin{aligned}&\leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[n-k]\right|\|x\|_{\infty }\\&=\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[n-k]\right|\\&=\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[k]\right|\end{aligned}}$

Если $h[n]$ абсолютно суммируема, то $\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|h\|_{1}\in \mathbb {R}$ и

$\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[k]\right|=\|x\|_{\infty }\|h\|_{1}$

Итак, если $h[n]$ абсолютно суммируема и $\left|x[n]\right|$ ограничено, то $\left|y[n]\right|$ также ограничено, поскольку $\|x\|_{\infty }\|h\|_{1}\in \mathbb {R}$.

Доказательство для непрерывного времени следует тем же аргументам.

Условие частотной области для линейных стационарных систем

Непрерывные сигналы

Для рациональной с системы непрерывным временем условием устойчивости является то, что область сходимости (ROC) преобразования Лапласа включает воображаемую ось . Когда система является причинной , ROC представляет собой открытую область справа от вертикальной линии, абсцисса которой представляет собой действительную часть «самого большого полюса» или полюса , который имеет наибольшую действительную часть любого полюса в системе. Действительная часть крупнейшего полюса, определяющего РПЦ, называется абсциссой конвергенции . все полюса системы должны находиться в строго левой половине s-плоскости Следовательно, для устойчивости BIBO .

Это условие устойчивости может быть получено из приведенного выше условия во временной области следующим образом:

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\,dt&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\left|e^{-j\omega t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)(1\cdot e)^{-j\omega t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)(e^{\sigma +j\omega })^{-t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)e^{-st}\right|\,dt\end{aligned}}$

где $s=\sigma +j\omega$ и $\operatorname {Re} (s)=\sigma =0.$

Поэтому область схождения должна включать воображаемую ось .

Сигналы дискретного времени

Для системы с рациональным и дискретным временем условием устойчивости является то, что область сходимости (ROC) z-преобразования включает единичный круг . Когда система является причинной , ROC представляет собой открытую область за пределами круга, радиус которого равен величине полюса с наибольшей величиной. все полюса системы должны находиться внутри единичного круга в плоскости z Следовательно, для устойчивости BIBO .

Это условие устойчивости может быть получено аналогично выводу для непрерывного времени:

${\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]\right|&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]\right|\left|e^{-j\omega n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n](1\cdot e)^{-j\omega n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n](re^{j\omega })^{-n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]z^{-n}\right|\end{aligned}}$

где $z=re^{j\omega }$ и $r=|z|=1$.

Поэтому область сходимости должна включать единичный круг .

См. также

• Теория систем LTI
• Фильтр с конечной импульсной характеристикой (FIR)
• Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ)
• сюжет Найквиста
• Критерий устойчивости Рауса – Гурвица.
• График Боде
• Запас по фазе
• Метод корневого локуса
• Стабильность входа в состояние

Дальнейшее чтение

• Гордон Э. Карлсон Анализ сигналов и линейных систем с помощью Matlab, второе издание, Wiley, 1998, ISBN   0-471-12465-6
• Джон Г. Проакис и Димитрис Г. Манолакис «Основы цифровой обработки сигналов, алгоритмы и приложения», третье издание, Прентис Холл, 1996 г., ISBN   0-13-373762-4
• Д. Рональд Фэннин, Уильям Х. Трантер и Роджер Э. Цимер «Сигналы и системы, непрерывное и дискретное», четвертое издание, Прентис Холл, 1998 г., ISBN   0-13-496456-X
• Доказательство необходимых условий стабильности BIBO.
• Кристоф Бассо Проектирование контуров управления для линейных и импульсных источников питания: учебное пособие, первое издание, Artech House, 2012, 978-1608075577
• Майкл Унсер (2020). «Заметки о стабильности BIBO». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 68 : 5904–5913. arXiv : 2005.14428 . Бибкод : 2020ИТСП...68.5904У . дои : 10.1109/TSP.2020.3025029 .