Открытый набор

Пример: синий круг представляет набор точек ( x , y ), удовлетворяющих x ² + и ² = р ² . Красный диск представляет собой набор точек ( x , y ), удовлетворяющих x ² + и ² < р ² . Красное множество — открытое множество, синее — его граничное множество, а объединение красного и синего множеств — закрытое множество .

В математике — открытое множество это обобщение открытого интервала действительной прямой .

В метрическом пространстве ( множество с расстоянием, определенным между любыми двумя точками) открытое множество — это множество, которое вместе с каждой точкой P содержит все точки, достаточно близкие к P (то есть все точки, расстояние до которых до P меньше некоторой величины, зависящей от P ).

В более общем смысле, открытое множество — это член заданной коллекции подмножеств данного множества, коллекция , которая обладает свойством содержать каждое объединение своих членов, каждое конечное пересечение своих членов, пустое множество и само все множество. . Множество, в котором задан такой набор, называется топологическим пространством , а набор — топологией . Эти условия очень свободны и допускают огромную гибкость в выборе открытых наборов. Например, каждое подмножество может быть открытым ( дискретная топология ) или ни одно подмножество не может быть открытым, кроме самого пространства и пустого множества ( недискретная топология ).

На практике, однако, открытые множества обычно выбираются, чтобы обеспечить понятие близости, аналогичное понятию близости метрических пространств, без определения понятия расстояния. В частности, топология позволяет определять такие свойства, как непрерывность , связность и компактность , которые изначально определялись посредством расстояния.

Наиболее распространенным случаем топологии без какого-либо расстояния являются многообразия , которые представляют собой топологические пространства, которые вблизи каждой точки напоминают открытое множество евклидова пространства , но на которых вообще не определено расстояние. Менее интуитивные топологии используются в других областях математики; например, топология Зарисского , которая является фундаментальной в алгебраической геометрии и теории схем .

Мотивация

Интуитивно понятно, что открытое множество предоставляет метод различения двух точек . Например, если около одной из двух точек топологического пространства существует открытое множество, не содержащее другой (отличной) точки, эти две точки называются топологически различимыми . Таким образом, можно говорить о том, являются ли две точки или, в более общем смысле, два подмножества топологического пространства «близкими», без конкретного определения расстояния . Следовательно, топологические пространства можно рассматривать как обобщение пространств, снабженных понятием расстояния, которые называются метрическими пространствами .

В множестве всех действительных чисел имеется естественная евклидова метрика ; то есть функция, которая измеряет расстояние между двумя действительными числами: d ( x , y ) = | х - у | . Следовательно, учитывая действительное число x , можно говорить о множестве всех точек, близких к этому действительному числу; то есть в пределах ε от x . По сути, точки в пределах ε от x аппроксимируют x с точностью до степени ε . Обратите внимание, что ε > 0 всегда, но по мере того, как ε становится все меньше и меньше, получаются точки, аппроксимирующие x со все большей и большей степенью точности. Например, если x = 0 и ε = 1, точки внутри ε от x являются в точности точками интервала ( −1, 1); то есть набор всех действительных чисел от −1 до 1. Однако при ε = 0,5 точки внутри ε от x являются в точности точками (−0,5, 0,5). Очевидно, что эти точки аппроксимируют x с большей точностью, чем при ε = 1.

Предыдущее обсуждение показывает, что для случая x = 0 можно аппроксимировать x со все более высокой степенью точности, определяя ε все меньшим и меньшим. В частности, множества вида (− ε , ε ) дают нам много информации о точках, близких к x = 0. Таким образом, вместо того, чтобы говорить о конкретной евклидовой метрике, можно использовать множества для описания точек, близких к x . Эта новаторская идея имеет далеко идущие последствия; в частности, определяя различные наборы множеств, содержащих 0 (отличных от наборов (− ε , ε )), можно получить разные результаты относительно расстояния между 0 и другими действительными числами. Например, если бы мы определили R как единственный такой набор для «измерения расстояния», все точки были бы близки к 0, поскольку существует только одна возможная степень точности, которую можно достичь при аппроксимации 0: быть членом R . Таким образом, мы обнаруживаем, что в некотором смысле каждое действительное число находится на расстоянии 0 от 0. В этом случае может помочь представление о мере как о двоичном условии: все вещи в R одинаково близки к 0, в то время как любой элемент, который не в R не близко к 0.

называют семейство множеств, содержащих 0, используемое для аппроксимации 0 В общем, в качестве базиса окрестности ; член этого базиса окрестности называется открытым множеством. Фактически, эти понятия можно обобщить на произвольное множество ( X ); а не просто реальные цифры. В этом случае, учитывая точку ( x ) этого набора, можно определить набор множеств «вокруг» (то есть содержащих) x , используемый для аппроксимации x . Конечно, эта коллекция должна удовлетворять определенным свойствам (известным как аксиомы ), иначе у нас может не быть четко определенного метода измерения расстояния. Например, каждая точка X должна аппроксимировать x с некоторой степенью точности. Таким образом, X должен быть в этой семье. Как только мы начинаем определять «меньшие» множества, содержащие x , мы стремимся аппроксимировать x с большей степенью точности. семейство множеств относительно x Принимая это во внимание, можно определить остальные аксиомы, которым должно удовлетворять .

Определения

Здесь дается несколько определений, расположенных в порядке возрастания формальности. Каждый из них является частным случаем следующего.

Евклидово пространство

Подмножество $U$ евклидова ​ n -пространства R ^н открыто , если для каждой точки x в $U$ ( существует положительное действительное число ε зависящее от x ) такое, что любая точка из R ^н которого евклидово расстояние от x меньше ε, принадлежит $U$. Эквивалентно, подмножество $U$ Р ​ ^н открыт, если каждая точка в $U$ является центром открытого шара, содержащегося в $U.$

Примером подмножества R неоткрытого является замкнутый интервал [0,1] , поскольку ни 0 - ε , ни 1 + ε не принадлежат [0,1] ни при каком ε > 0 , каким бы малым оно ни было.

Метрическое пространство

Подмножество U метрического пространства ( M , d ) называется открытым , если для любой точки x в U существует действительное число ε > 0 такое, что любая точка $y\in M$ удовлетворяющий d ( x , y ) < ε, принадлежит U . Эквивалентно, U является открытым, если каждая точка в U имеет окрестность, содержащуюся в U .

Это обобщает пример евклидова пространства, поскольку евклидово пространство с евклидовым расстоянием является метрическим пространством.

Топологическое пространство

Топология ​ $\tau$ на множестве X — это набор подмножеств X со свойствами, указанными ниже. Каждый член $\tau$ называется открытым множеством .

• $X\in \tau$ и $\varnothing \in \tau$
• Любое объединение множеств в $\tau$ принадлежать $\tau$: если $\left\{U_{i}:i\in I\right\}\subseteq \tau$ затем $$\bigcup _{i\in I}U_{i}\in \tau$$
• Любое конечное пересечение множеств в $\tau$ принадлежать $\tau$: если $U_{1},\ldots ,U_{n}\in \tau$ затем $$U_{1}\cap \cdots \cap U_{n}\in \tau$$

Х вместе с $\tau$ называется топологическим пространством .

Бесконечные пересечения открытых множеств не обязательно должны быть открытыми. Например, пересечение всех интервалов вида $\left(-1/n,1/n\right),$ где $n$ – целое положительное число, – множество $\{0\}$ который не открыт в реальной строке.

Метрическое пространство — это топологическое пространство, топология которого состоит из совокупности всех подмножеств, являющихся объединениями открытых шаров. Однако существуют топологические пространства, которые не являются метрическими пространствами.

Специальные типы открытых наборов

Закрытые наборы и незакрытые и/или незакрытые наборы

Набор может быть открытым, закрытым, обоими или ни одним. В частности, открытые и закрытые множества не являются взаимоисключающими, а это означает, что подмножество топологического пространства, как правило, может одновременно быть как открытым, так и закрытым подмножеством. Такие подмножества известны как замкнуто-открытые множества . Явно, подмножество $S$ топологического пространства $(X,\tau )$ называется закрыто-открытым, если оба $S$ и его дополнение $X\setminus S$ являются открытыми подмножествами $(X,\tau )$; или эквивалентно, если $S\in \tau$ и $X\setminus S\in \tau .$

В любом топологическом пространстве $(X,\tau ),$ пустой набор $\varnothing$ и набор $X$ сами по себе всегда закрыты. Эти два множества являются наиболее известными примерами открыто-замкнутых подмножеств и показывают, что открыто-замкнутые подмножества существуют в каждом топологическом пространстве. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что по определению топологии $X$ и $\varnothing$ оба открыты, и что они также закрыты, поскольку каждый является дополнением другого.

Открытые множества обычной евклидовой топологии вещественной прямой $\mathbb {R}$ пустое множество, открытые интервалы и каждое объединение открытых интервалов.

• Интервал $I=(0,1)$ открыт в $\mathbb {R}$ по определению евклидовой топологии. Он не замкнут, поскольку его дополнение в $\mathbb {R}$ является $I^{\complement }=(-\infty ,0]\cup [1,\infty ),$ который не открыт; действительно, открытый интервал, содержащийся в $I^{\complement }$ не может содержать 1 , и отсюда следует, что $I^{\complement }$ не может быть объединением открытых интервалов. Следовательно, $I$ является примером множества, которое открыто, но не закрыто.
• По аналогичному рассуждению интервал $J=[0,1]$ является закрытым подмножеством, но не открытым подмножеством.
• Наконец, ни $K=[0,1)$ ни его дополнение $\mathbb {R} \setminus K=(-\infty ,0)\cup [1,\infty )$ открыты (поскольку их нельзя записать в виде объединения открытых интервалов); это означает, что $K$ не является ни открытым, ни закрытым.

Если топологическое пространство $X$ наделен дискретной топологией (так что по определению каждое подмножество $X$ открыто), то каждое подмножество $X$ является замкнуто-открытым подмножеством. Для более сложного примера, напоминающего дискретную топологию, предположим, что ${\mathcal {U}}$ является ультрафильтром на непустом множестве $X.$ Тогда союз $\tau :={\mathcal {U}}\cup \{\varnothing \}$ это топология на $X$ со свойством, что каждое непустое собственное подмножество $S$ из $X$ является либо открытым подмножеством, либо закрытым подмножеством, но никогда и тем, и другим; то есть, если $\varnothing \neq S\subsetneq X$ (где $S\neq X$), то верно ровно одно из следующих двух утверждений: либо (1) $S\in \tau$ или иначе, (2) $X\setminus S\in \tau .$ Иными словами, каждое подмножество является открытым или закрытым, но единственными подмножествами, которые являются обоими (т. е. замкнуто-закрытыми), являются $\varnothing$ и $X.$

Регулярные открытые наборы

Подмножество $S$ топологического пространства $X$ называется регулярным открытым множеством, если $\operatorname {Int} \left({\overline {S}}\right)=S$ или эквивалентно, если $\operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S$, где $\operatorname {Bd} S$, $\operatorname {Int} S$, и ${\overline {S}}$ обозначают соответственно топологическую границу , внутреннюю и замыкание часть $S$ в $X$. Топологическое пространство, для которого существует база , состоящая из регулярных открытых множеств, называется полурегулярным пространством . Подмножество $X$ является регулярным открытым множеством тогда и только тогда, когда его дополнение в $X$ — регулярное замкнутое множество, где по определению подмножество $S$ из $X$ называется регулярным замкнутым множеством, если ${\overline {\operatorname {Int} S}}=S$ или эквивалентно, если $\operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S.$ Каждое регулярное открытое множество (соответственно регулярное закрытое множество) является открытым подмножеством (соответственно замкнутым подмножеством), хотя в общем случае обратное неверно .

Характеристики

Объединение . любого числа открытых множеств или бесконечного числа открытых множеств является открытым Пересечение . конечного числа открытых множеств открыто

Дополнение открытого множества (относительно пространства , на котором определена топология) называется закрытым множеством . Множество может быть как открытым, так и закрытым ( закрытое множество ). Пустое множество и полное пространство являются примерами одновременно открытых и закрытых множеств.

Использование

Открытые множества имеют фундаментальное значение в топологии . Эта концепция необходима для определения и понимания топологического пространства и других топологических структур, которые имеют дело с понятиями близости и сходимости таких пространств, как метрические пространства и равномерные пространства .

Каждое подмножество A топологического пространства X содержит (возможно, пустое) открытое множество; называется внутренностью A максимальное (упорядоченное по включению) такое открытое множество . Его можно построить путем объединения всех открытых множеств, содержащихся в A .

Функция ​ $f:X\to Y$ между двумя топологическими пространствами $X$ и $Y$ непрерывно , если прообраз каждого открытого множества в $Y$ открыт в $X.$Функция $f:X\to Y$ называется открытым, если образ каждого открытого множества в $X$ открыт в $Y.$

Открытое множество на вещественной прямой обладает тем характерным свойством, что оно представляет собой счетное объединение непересекающихся открытых интервалов.

Примечания и предостережения

«Открытый» определяется относительно конкретной топологии.

Открытость множества зависит от топологии рассматриваемой . Отдав предпочтение большей краткости большей ясности , мы обратимся к множеству X , наделенному топологией $\tau$ как «топологическое пространство X », а не как «топологическое пространство $(X,\tau )$", несмотря на то, что все топологические данные содержатся в $\tau .$ Если в одном множестве есть две топологии, множество U , открытое в первой топологии, может не быть открытым во второй топологии. Например, если X — любое топологическое пространство, а Y — любое подмножество X , множеству Y может быть присвоена собственная топология (называемая «топологией подпространства»), определяемая следующим образом: «множество U открыто в топологии подпространства на Y, если и только если U является пересечением Y с открытым множеством исходной топологии на X ». Это потенциально вводит новые открытые множества: если V открыто в исходной топологии на X , но $V\cap Y$ не открыт в исходной топологии на X , то $V\cap Y$ открыто в топологии подпространства на Y .

В качестве конкретного примера: если U определяется как набор рациональных чисел в интервале $(0,1),$ тогда U — открытое подмножество рациональных чисел , но не действительных чисел . что когда окружающее пространство представляет собой рациональные числа, для каждой точки x в U существует положительное число a такое, что все рациональные точки на расстоянии a от x также находятся в U. Это связано с тем , С другой стороны, когда окружающее пространство является вещественным, то для каждой точки x в U существует не такого положительного a , что все действительные точки на расстоянии a от x находятся в U (поскольку U не содержит нерациональных чисел).

Обобщения открытых множеств

См. также: Почти открытая карта и Глоссарий топологии.

Через, $(X,\tau )$ будет топологическим пространством.

Подмножество $A\subseteq X$ топологического пространства $X$ называется:

• α-открыто, если $A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)\right)$, а дополнение такого множества называется α-замкнутым .
• preopen , почти open или локально плотный , если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
  1. $A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right).$
  2. Существуют подмножества $D,U\subseteq X$ такой, что $U$ открыт в $X,$ $D$ представляет собой подмножество плотное $X,$ и $A=U\cap D.$
  3. Существует открытый (в $X$) подмножество $U\subseteq X$ такой, что $A$ представляет собой плотное подмножество $U.$

  Дополнение предоткрытого множества называется предзакрытым .

• б-открыть, если $A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\cup ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)$. Дополнение к b-открытому множеству называется b-замкнутым .
• β-открытый или полупредоткрытый , если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
  1. $A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\right)$
  2. $\operatorname {cl} _{X}A$ является регулярным замкнутым подмножеством $X.$
  3. Существует предоткрытое подмножество $U$ из $X$ такой, что $U\subseteq A\subseteq \operatorname {cl} _{X}U.$

  Дополнение к β-открытому множеству называется β-замкнутым .

• последовательно открыт, если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
  1. Всякий раз, когда последовательность в $X$ сходится к некоторой точке $A,$ тогда эта последовательность в конечном итоге окажется в $A.$ В явном виде это означает, что если $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ представляет собой последовательность в $X$ и если существует какой-то $a\in A$ таков, что $x_{\bullet }\to x$ в $(X,\tau ),$ затем $x_{\bullet }$ в конце концов в $A$ (т.е. существует некоторое целое число $i$ такое, что если $j\geq i,$ затем $x_{j}\in A$).
  2. $A$ равна его последовательной внутренности в $X,$ которое по определению является множеством

     ${\begin{alignedat}{4}\operatorname {SeqInt} _{X}A:&=\{a\in A~:~{\text{ whenever a sequence in }}X{\text{ converges to }}a{\text{ in }}(X,\tau ),{\text{ then that sequence is eventually in }}A\}\\&=\{a\in A~:~{\text{ there does NOT exist a sequence in }}X\setminus A{\text{ that converges in }}(X,\tau ){\text{ to a point in }}A\}\\\end{alignedat}}$

  Дополнение секвенциально открытого множества называется секвенциально замкнутым . Подмножество $S\subseteq X$ последовательно закрывается в $X$ тогда и только тогда, когда $S$ равно его последовательному замыканию , которое по определению является множеством $\operatorname {SeqCl} _{X}S$ состоящий из всех $x\in X$ для которого существует последовательность в $S$ который сходится к $x$ (в $X$).

• почти открыт и считается обладающим свойством Бэра , если существует открытое подмножество $U\subseteq X$ такой, что $A\bigtriangleup U$ является скудным подмножеством , где $\bigtriangleup$ обозначает симметричную разность .
  • Подмножество $A\subseteq X$ Говорят, что оно обладает свойством Бэра в узком смысле , если для любого подмножества $E$ из $X$ пересечение $A\cap E$ обладает свойством Бэра относительно $E$.
• полуоткрытый, если $A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)$ или, что то же самое, $\operatorname {cl} _{X}A=\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)$. Дополнение в $X$ полуоткрытого множества называется полузамкнутым множеством .
  • Полузакрытие в ( $X$) подмножества $A\subseteq X,$ обозначается $\operatorname {sCl} _{X}A,$ является пересечением всех полузамкнутых подмножеств $X$ которые содержат $A$ как подмножество.
• полу-θ-открытое, если для каждого $x\in A$ существует некоторое полуоткрытое подмножество $U$ из $X$ такой, что $x\in U\subseteq \operatorname {sCl} _{X}U\subseteq A.$
• θ-открыта (соответственно δ-открыта ), если ее дополнение в $X$ представляет собой θ-замкнутое (соответственно δ-замкнутое ) множество, где по определению подмножество $X$ называется θ-замкнутым (соответственно δ-замкнутым ), если оно равно множеству всех его точек θ-кластера (соответственно δ-точек кластера). точка $x\in X$ называется точкой θ-кластера (соответственно точкой δ-кластера ) подмножества $B\subseteq X$ если для каждой открытой окрестности $U$ из $x$ в $X,$ пересечение $B\cap \operatorname {cl} _{X}U$ не пусто (соответственно. $B\cap \operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}U\right)$ не пусто).

Используя тот факт, что

$A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}B$     и      $\operatorname {int} _{X}A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}B~\subseteq ~B$

всякий раз, когда два подмножества $A,B\subseteq X$ удовлетворить $A\subseteq B,$ можно вывести следующее:

• Каждое α-открытое подмножество является полуоткрытым, полупредоткрытым, предоткрытым и b-открытым.
• Каждое b-открытое множество полупредоткрыто (т.е. β-открыто).
• Каждое предоткрытое множество является b-открытым и полупредоткрытым.
• Каждое полуоткрытое множество является b-открытым и полупредоткрытым.

Более того, подмножество является регулярным открытым множеством тогда и только тогда, когда оно предоткрыто и полузакрыто. Пересечение α-открытого множества и полупредоткрытого (соответственно полуоткрытого, предоткрытого, b-открытого) множества представляет собой полупредоткрытое (соответственно полуоткрытое, предоткрытое, b-открытое) множество. Предварительно открытые множества не обязательно должны быть полуоткрытыми, а полуоткрытые множества не обязательно должны быть предоткрытыми.

Произвольные объединения предоткрытых (соответственно α-открытых, b-открытых, полупредоткрытых) множеств снова являются предоткрытыми (соответственно α-открытыми, b-открытыми, полупредоткрытыми). Однако конечные пересечения предоткрытых множеств не обязательно должны быть предоткрытыми. Множество всех α-открытых подмножеств пространства $(X,\tau )$ образует топологию на $X$ это лучше, чем $\tau .$

Топологическое пространство $X$ хаусдорфово каждое тогда и только тогда, когда компактное подпространство $X$ является θ-замкнутым. Пространство $X$ тогда полностью несвязно и только тогда, когда каждое регулярное замкнутое подмножество предоткрыто или, что то же самое, если каждое полуоткрытое подмножество предоткрыто. Более того, пространство полностью несвязно тогда и только тогда, когда замыкание каждого предоткрытого подмножества открыто.

См. также

• Почти открытая карта — карта, удовлетворяющая условию, аналогичному условию открытой карты.
• База (топология) - совокупность открытых наборов, используемых для определения топологии.
• Cloopen set - подмножество, которое одновременно открыто и закрыто.
• Закрытое множество - дополнение открытого подмножества.
• Область (математический анализ) - Связное открытое подмножество топологического пространства.
• Локальный гомеоморфизм - математическая функция, обратимая вблизи каждой точки.
• Открытая карта — функция, которая отправляет открытые (соответственно закрытые) подмножества в открытые (соответственно закрытые) подмножества. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Подбаза — совокупность подмножеств, генерирующих топологию.

Библиография

• Харт, Клаас (2004). Энциклопедия общей топологии . Амстердам Бостон: Эльзевир/Северная Голландия. ISBN  0-444-50355-2 . OCLC   162131277 .
• Харт, Класс Питер; Нагата, Джун-ин; Воган, Джерри Э. (2004). Энциклопедия общей топологии Эльзевир. ISBN  978-0-444-50355-8 .
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN  978-0-13-181629-9 . OCLC   42683260 .

Внешние ссылки

• «Открытое множество» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]