Слабое значение

В квантовой механике (и вычислениях ) слабая величина — это величина, связанная со сдвигом указателя измерительного устройства, когда обычно происходит предварительный и поствыбор . Его не следует путать со слабым измерением , которое часто определяют совместно. Слабое значение было впервые определено Якиром Аароновым , Дэвидом Альбертом и Львом Вайдманом , опубликованным в Physical Review Letters 1988: и связано с формализмом векторов двух состояний . Существует также способ получить слабые значения без постселекции.

и

Существует множество отличных обзорных статей о слабых ценностях (см., например, ) здесь мы кратко рассмотрим основы.

Определение

Обозначим начальное состояние системы как $|\psi _{i}\rangle$, а конечное состояние системы обозначается как $|\psi _{f}\rangle$. Мы будем называть начальное и конечное состояния системы квантовомеханическими состояниями до и после выбора. По отношению к этим состояниям слабое значение наблюдаемой $A$ определяется как: $$A_{w}={\frac {\langle \psi _{f}|A|\psi _{i}\rangle }{\langle \psi _{f}|\psi _{i}\rangle }}.$$

Обратите внимание, что если $|\psi _{f}\rangle =|\psi _{i}\rangle$ тогда слабое значение равно обычному ожидаемому значению в исходном состоянии $\langle \psi _{i}|A|\psi _{i}\rangle$ или конечное состояние $\langle \psi _{f}|A|\psi _{f}\rangle$. В общем, величина слабого значения представляет собой комплексное число . Слабое значение наблюдаемой становится большой, когда состояние после выбора $|\psi _{f}\rangle$, подходы ортогональны заранее выбранному состоянию, $|\psi _{i}\rangle$, то есть $|\langle \psi _{f}|\psi _{i}\rangle |\ll 1$. Если $A_{w}$ больше, чем наибольшее собственное значение $A$ или меньше наименьшего собственного значения $A$ слабое значение называется аномальным.

В качестве примера рассмотрим частицу со спином 1/2. Брать $A$ быть оператором Паули Z $A=\sigma _{z}$ с собственными значениями $\pm 1$. Использование исходного состояния $$|\psi _{i}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\\\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\alpha }{2}}\end{pmatrix}}$$и конечное состояние $$|\psi _{f}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$$мы можем вычислить слабое значение как $$A_{w}=(\sigma _{z})_{w}=\tan {\frac {\alpha }{2}}.$$

Для $|\alpha |>{\frac {\pi }{2}}$ слабое значение является аномальным.

Вывод

Здесь мы следуем презентации Дака, Стивенсона и Сударшана . (с некоторыми обновлениями обозначений от Kofman et al. ), что ясно показывает, действительны ли приближения, использованные для получения слабого значения.

Рассмотрим квантовую систему, которую вы хотите измерить, подключив к ней вспомогательное (также квантовое) измерительное устройство. Наблюдаемая, которую нужно измерить в системе, равна $A$. Система и вспомогательная система связаны гамильтонианом $$H=\gamma A\otimes p,$$где константа связи интегрируется по времени взаимодействия ${\textstyle \gamma =\int _{t_{i}}^{t_{f}}g(t)dt\ll 1}$ и $[q,p]=i$ является каноническим коммутатором. Гамильтониан порождает унитарную $$U=\exp[-i\gamma A\otimes p].$$

Возьмите начальное состояние вспомогательной функции, чтобы оно имело гауссово распределение. $$|\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\int dq'\exp[-q'^{2}/4\sigma ^{2}]|q'\rangle ,$$волновая функция положения этого состояния равна $$\Phi (q)=\langle q|\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\exp[-q^{2}/4\sigma ^{2}].$$

Начальное состояние системы определяется выражением $|\psi _{i}\rangle$ выше; государство $|\Psi \rangle$, совместно описывающая начальное состояние системы и вспомогательной системы, определяется следующим образом: $$|\Psi \rangle =|\psi _{i}\rangle \otimes |\Phi \rangle .$$

Далее система и вспомогательная система взаимодействуют посредством унитарного $U|\Psi \rangle$. После этого производят проекционное измерение проекторов. $\{|\psi _{f}\rangle \langle \psi _{f}|,I-|\psi _{f}\rangle \langle \psi _{f}|\}$ в системе. Если мы постселектируем (или создаем условие ) при получении результата $|\psi _{f}\rangle \langle \psi _{f}|$, то (ненормализованное) конечное состояние счетчика будет

$${\begin{aligned}|\Phi _{f}\rangle &=\langle \psi _{f}|U|\psi _{i}\rangle \otimes |\Phi \rangle \\&\approx \langle \psi _{f}|(I\otimes I-i\gamma A\otimes p)|\psi _{i}\rangle \otimes |\Phi \rangle \quad {\text{(I)}}\\&=\langle \psi _{f}|\psi _{i}\rangle (1-i\gamma A_{w}p)|\Phi \rangle \\&\approx \langle \psi _{f}|\psi _{i}\rangle \exp(-i\gamma A_{w}p)|\Phi \rangle .\quad {\text{(II)}}\end{aligned}}$$

Чтобы прийти к такому выводу, воспользуемся разложением в ряд первого порядка. $U$ в строке (I), и мы требуем, чтобы

$${\begin{aligned}{\frac {|\gamma |}{\sigma }}\left|{\frac {\langle \psi _{f}|A^{n}|\psi _{i}\rangle }{\langle \psi _{f}|A|\psi _{i}\rangle }}\right|^{1/(n-1)}\ll 1,\quad (n=2,3,\dots )\end{aligned}}$$

В строке (II) мы используем приближение, согласно которому $e^{-x}\approx 1-x$ для маленьких $x$. Это окончательное приближение справедливо только тогда, когда $$|\gamma A_{w}|/\sigma \ll 1.$$

Как $p$ является генератором трансляций, волновая функция вспомогательной функции теперь определяется выражением $$\Phi _{f}(q)=\Phi (q-\gamma A_{w}).$$

Это исходная волновая функция, сдвинутая на величину $\gamma A_{w}$. По теореме Буша волновые функции системы и измерителя обязательно нарушаются в результате измерения. В определенном смысле протокол, позволяющий измерить слабое значение, вызывает минимальное беспокойство. но беспокойство все равно есть.

Приложения

Квантовая метрология и томография

В конце оригинальной статьи о слабой ценности авторы предположили, что слабые значения можно использовать в квантовой метрологии :

Другой поразительный аспект этого эксперимента становится очевидным, если мы рассматриваем его как прибор для измерениянебольшой градиент магнитного поля... дает огромное усиление.

Ааронов, Альберт, Вайдман

Этому предложению поддержали Хостен и Квиат. и позже Диксоном и др. Кажется, это интересное направление исследований, которое может привести к улучшению технологии квантового зондирования.

использовались слабые измерения множества фотонов, приготовленных в одном и том же чистом состоянии , с последующими сильными измерениями дополнительной переменной. Кроме того, в 2011 году для выполнения квантовой томографии (т.е. восстановления состояния, в котором были подготовлены фотоны)

Квантовые основы

Слабые значения использовались для изучения некоторых парадоксов в основах квантовой теории. Это во многом зависит от того, считаются ли слабые значения подходящими для описания свойств квантовых систем. момент, который не очевиден, поскольку слабые значения обычно отличаются от собственных значений . Например, исследовательская группа Эфраима М. Стейнберга из Университета Торонто подтвердила парадокс Харди экспериментально, используя совместное слабое измерение местоположения запутанных пар фотонов. (также см. )

Основываясь на слабых измерениях, Говард М. Уайзман предложил слабое измерение скорости квантовой частицы в точном положении, которое он назвал «наивно наблюдаемой скоростью». В 2010 году было сообщено о первом экспериментальном наблюдении траекторий фотона в двухщелевом интерферометре , которое продемонстрировало качественные особенности, предсказанные в 2001 году Партхой Гхоузом. для фотонов в интерпретации де Бройля-Бома . Развивая слабое измерение скорости Уайзмана, Йоханнес Фанкхаузер и Патрик Дюрр в статье предполагают, что слабые измерения скорости не представляют собой новых аргументов, не говоря уже об эмпирических доказательствах, в пользу или против стандартной теории де Бройля-Бома . По мнению авторов, такие измерения не могут предоставить прямых экспериментальных доказательств формы траекторий частиц, даже если предположить, что существуют некоторые детерминированные траектории частиц.

Квантовые вычисления

Слабые значения были реализованы в квантовых вычислениях, чтобы добиться гигантского ускорения временной сложности. В газете, Арун Кумар Пати описывает новый тип квантового компьютера, использующий усиление слабых значений и пост-выбор (WVAP), и реализует алгоритм поиска, который (при успешном пост-выборе) может найти целевое состояние за один проход с временной сложностью. $O(\log N)$, превосходя известный алгоритм Гровера .

Критика

Критика слабых ценностей включает философскую и практическую критику. Некоторые известные исследователи, такие как Ашер Перес , Тони Леггетт , Дэвид Мермин и Чарльз Х. Беннетт , критикуют слабые ценности.

Недавно было показано, что пре- и постселекция квантовогосистема обнаруживает полностью скрытое явление помех при измеренииаппарат. Изучение интерференционной картины показывает, что то, что интерпретируетсяпоскольку усиление с использованием слабого значения представляет собой чистый фазовый эффект ислабое значение не играет роли в его интерпретации. Этот фазовый эффектувеличивает степень запутанности, которая лежит в основе эффективностипредварительного и постотбора при оценке параметров.

Дальнейшее чтение

• Зия Мерали (апрель 2010 г.). «Назад из будущего» . Обнаружить . Серия квантовых экспериментов показывает, что измерения, выполненные в будущем, могут повлиять на настоящее. {{cite journal}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
• «Сначала квантовая физика: исследователи наблюдают одиночные фотоны в эксперименте с двухщелевым интерферометром» . phys.org. 2 июня 2011 г. {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )
• Адриан Чо (5 августа 2011 г.). «Скрытый подход отодвигает границы квантовой неопределенности». Наука . 333 (6043): 690–693. Бибкод : 2011Sci...333..690C . дои : 10.1126/science.333.6043.690 . ПМИД   21817029 .