Модель неба Рэлея

Модель неба Рэлея описывает наблюдаемую поляризации картину дневного неба . В атмосфере рэлеевское рассеяние света что воздуха молекулами , водой, пылью и аэрозолями приводит к тому, небесный свет имеет определенную структуру поляризации. Те же процессы упругого рассеяния делают небо голубым . Поляризация характеризуется на каждой длине волны ее степенью поляризации и ориентацией (углом электронного вектора или углом рассеяния).

Характер поляризации неба зависит от небесного положения Солнца . Хотя весь рассеянный свет в некоторой степени поляризован, свет сильно поляризован при угле рассеяния 90° от источника света. В большинстве случаев источником света является Солнце, но Луна также создает тот же узор. Степень поляризации сначала увеличивается с увеличением расстояния от Солнца, а затем уменьшается по мере удаления от Солнца. Таким образом, максимальная степень поляризации приходится на круговую полосу в 90° от Солнца. В этой полосе обычно достигаются степени поляризации около 80%.

Степень поляризации рэлеевского неба на закате или восходе солнца. Зенит находится в центре графика.

Когда Солнце находится в зените , полоса максимальной поляризации огибает горизонт . Свет неба поляризован горизонтально вдоль горизонта. В сумерках, во время весеннего или осеннего равноденствия , полоса максимальной поляризации определяется плоскостью север-зенит-юг или меридианом . В частности, поляризация вертикальна на горизонте на севере и юге, где меридиан встречается с горизонтом. Поляризация в сумерках в день равноденствия представлена на рисунке справа. Красная полоса представляет собой круг в плоскости север-зенит-юг, где небо сильно поляризовано. Стороны света (север, восток, юг, запад) показаны на отметках «12 часов», «9 часов», «6 часов» и «3 часа» (против часовой стрелки вокруг небесной сферы , поскольку наблюдатель смотрит вверху в небе).

Обратите внимание: поскольку картина поляризации зависит от Солнца, она меняется не только в течение дня, но и в течение года. Когда солнце садится на юг, зимой в северном полушарии плоскость Север-Зенит-Юг смещается, при этом «эффективный» север фактически располагается несколько ближе к западу. Таким образом, если солнце садится под азимутом 255° (15° к югу от запада), диаграмма поляризации будет максимальной вдоль горизонта при азимуте 345° (15° к западу от севера) и 165° (15° к востоку от севера). Юг).

В течение одного дня узор вращается вместе с изменением положения солнца. В сумерках он обычно появляется примерно за 45 минут до местного восхода солнца и исчезает через 45 минут после местного захода солнца. Однажды установившись, он становится очень стабильным, изменяясь только во вращении. Его можно легко увидеть в любой день, используя поляризационные солнцезащитные очки.

Многие животные используют поляризацию неба в сумерках и в течение дня в качестве инструмента навигации . Поскольку он определяется исключительно положением Солнца, его легко использовать в качестве компаса для ориентации на животных. Ориентируясь по образцам поляризации, животные могут определять местонахождение Солнца и, таким образом, определять стороны света.

Теория

Геометрия

Геометрия поляризации неба может быть представлена небесным треугольником, основанным на Солнце, зените и наблюдаемом направлении (или точке рассеяния). В модели γ — угловое расстояние между наблюдаемым наведением и Солнцем, Θ _s — зенитное расстояние Солнца (90° — высота Солнца), Θ — угловое расстояние между наблюдаемым наведением и зенитом (90° — наблюдаемая высота). ), Φ — угол между направлением зенита и направлением Солнца в наблюдаемом направлении, а ψ — угол между направлением Солнца и наблюдаемым направлением в зенит.

Таким образом, сферический треугольник определяется не только тремя точками, расположенными на Солнце, зените и наблюдаемой точке, но и тремя внутренними углами, а также тремя угловыми расстояниями. В высотно - азимутальной сетке угловое расстояние между наблюдаемым наведением и Солнцем и угловое расстояние между наблюдаемым наведением и зенитом изменяются, в то время как угловое расстояние между Солнцем и зенитом остается постоянным в один момент времени.

На рисунке слева показаны два изменяющихся угловых расстояния, отображенные на сетке высоты и азимута (при этом высота расположена на оси X, а азимут - на оси Y). Верхний график представляет собой изменяющееся угловое расстояние между наблюдаемым наведением и Солнцем, противоположное внутреннему углу, расположенному в зените (или углу рассеяния). Когда Солнце находится в зените, это расстояние максимально вдоль горизонта во всех направлениях света. Затем он уменьшается с увеличением высоты, приближаясь к зениту. В сумерках солнце садится на западе. Следовательно, расстояние будет наибольшим, если смотреть прямо от Солнца вдоль горизонта на востоке, и наименьшим вдоль горизонта на западе.

Нижний график на рисунке слева представляет угловое расстояние от наблюдаемой точки до зенита, противоположное внутреннему углу, расположенному на Солнце. В отличие от расстояния между наблюдаемым наведением и Солнцем, оно не зависит от азимута, то есть кардинального направления. Просто он максимальен вдоль горизонта на малых высотах и линейно уменьшается с увеличением высоты.

На рисунке справа показаны три угловых расстояния. Левый представляет собой угол в наблюдаемой точке между направлением зенита и направлением Солнца. Таким образом, это во многом зависит от изменения направления Солнца, поскольку Солнце воспринимается как движущееся по небу. Средний представляет собой угол на Солнце между направлением зенита и направлением. Опять же, это сильно зависит от меняющегося направления. Это симметрично между Северным и Южным полушариями. Правый представляет собой угол в зените между направлением Солнца и направлением. Таким образом, он вращается вокруг небесной сферы.

Степень поляризации

Модель неба Рэлея предсказывает степень поляризации неба как:

\delta ={\frac {\delta _{max}\sin ^{2}\gamma }{1+\cos ^{2}\gamma }}

В качестве простого примера можно составить карту степени поляризации на горизонте. Как видно на рисунке справа, он высок на севере (0 ° и 360 °) и юге (180 °). Затем она напоминает функцию косинуса и уменьшается к востоку и западу, достигая нуля в этих основных направлениях.

Степень поляризации легко понять, если нанести ее на сетку высоты и азимута, как показано ниже. Когда солнце садится на запад, максимальную степень поляризации можно увидеть в плоскости Север-Зенит-Юг. Вдоль горизонта, на высоте 0°, она самая высокая на севере и юге и самая низкая на востоке и западе. Затем, по мере приближения высоты к зениту (или плоскости максимальной поляризации), поляризация остается высокой на севере и юге и увеличивается до тех пор, пока она снова не достигнет максимума при 90° на востоке и западе, где она тогда находится в зените и в пределах зенита. плоскость поляризации.

Степень поляризации неба, отображенная на небесной сфере.

Степень поляризации. Красный – высокий (около 80%), черный – низкий (0%).

Нажмите на соседнее изображение, чтобы просмотреть анимацию, показывающую степень поляризации, показанную на небесной сфере. Черный цвет представляет области, где степень поляризации равна нулю, тогда как красный представляет области, где степень поляризации намного выше. Она составляет примерно 80%, что является реалистичным максимумом при ясном небе Рэлея в дневное время. Таким образом, видео начинается, когда солнце находится немного над горизонтом и под азимутом 120°. Небо сильно поляризовано в эффективной плоскости Север-Зенит-Юг. Это немного компенсируется, поскольку азимут Солнца не направлен на восток. Солнце движется по небу, окружая его четкими узорами круговой поляризации. Когда Солнце находится в зените, поляризация не зависит от азимута и уменьшается с увеличением высоты (по мере приближения к Солнцу). Затем картина продолжается, когда солнце снова приближается к горизонту перед закатом. Видео заканчивается тем, что солнце скрывается за горизонтом.

Угол поляризации

Плоскость рассеяния — это плоскость, проходящая через Солнце, наблюдателя и наблюдаемую точку (или точку рассеяния). Угол рассеяния γ — это угловое расстояние между Солнцем и наблюдаемой точкой. Уравнение для угла рассеяния получено из закона косинусов сферического треугольника (см. рисунок выше в разделе геометрии). Его дают:

{\cos \gamma =\sin \theta _{s}\sin \theta \cos {(\psi _{s}-\psi )}+\cos \theta _{s}\cos \theta }

^[1]

В приведенном выше уравнении ψ _s и θ _s — соответственно азимутальный и зенитный угол Солнца, а ψ и θ — соответственно азимутальный и зенитный углы наблюдаемой точки.

Это уравнение нарушается в зените, где угловое расстояние между наблюдаемым наведением и зенитом, θ _s, равно 0. Здесь ориентация поляризации определяется как разница в азимуте между наблюдаемым наведением и азимутом Солнца.

Угол поляризации (или угол поляризации) определяется как относительный угол между вектором, касательным к меридиану наблюдаемой точки, и углом, перпендикулярным плоскости рассеяния.

Углы поляризации демонстрируют регулярный сдвиг угла поляризации с азимутом. Например, когда солнце садится на западе, углы поляризации движутся вокруг горизонта. В это время степень поляризации постоянна в круглых полосах, сосредоточенных вокруг Солнца. Таким образом, степень поляризации, а также соответствующий ей угол явно смещаются по горизонту. Когда Солнце находится в зените, горизонт представляет собой постоянную степень поляризации. Соответствующий угол поляризации все еще смещается в разные стороны к зениту из разных точек.

Видео справа представляет угол поляризации, нанесенный на небесную сферу. Все начинается с того, что Солнце расположено аналогичным образом. Угол равен нулю вдоль линии от Солнца до зенита и увеличивается по часовой стрелке к востоку по мере движения наблюдаемой точки по часовой стрелке к востоку. Когда солнце восходит на востоке, угол действует аналогичным образом, пока солнце не начинает двигаться по небу. Когда солнце движется по небу, угол равен нулю и велик вдоль линии, определяемой солнцем, зенитом и антисолнцем. Это ниже к югу от этой линии и выше к северу от этой линии. Когда Солнце находится в зените, угол либо полностью положительный, либо равен 0. Эти два значения вращаются к западу. Затем видео повторяет то же самое, когда солнце садится на западе.

Параметры Стокса Q и U

Угол поляризации можно развернуть в параметры Стокса Q и U. Q и U определяются как линейно поляризованные интенсивности вдоль позиционных углов 0° и 45° соответственно; -Q и -U расположены под углами положения 90° и -45°.

Если Солнце расположено на горизонте строго на западе, степень поляризации будет в плоскости Север-Зенит-Юг. Если наблюдатель смотрит на запад и смотрит в зенит, поляризация горизонтальна для наблюдателя. В этом направлении Q равен 1, а U равен 0. Если наблюдатель по-прежнему смотрит на запад, но вместо этого смотрит на север, то поляризация для него вертикальна. Таким образом, Q равен -1, а U остается 0. Вдоль горизонта U всегда равен 0. Q всегда равен -1, за исключением Востока и Запада.

Угол рассеяния (угол в зените между направлением Солнца и направлением наблюдателя) вдоль горизонта представляет собой круг. С востока на запад это 180°, а с запада на восток — 90° в сумерках. Когда солнце садится на западе, угол составляет 180° с востока на запад и только 90° с запада на восток. Угол рассеяния на высоте 45° соответствует.

Входные параметры Стокса q и u тогда относятся к северу, но в системе высоты и азимута. Мы можем легко развернуть q, предполагая, что он находится в направлении +высота. Из основного определения мы знаем, что +Q — это угол 0°, а -Q — угол 90°. Следовательно, Q рассчитывается по синусоидальной функции. Аналогично U рассчитывается по функции косинуса. Угол поляризации всегда перпендикулярен плоскости рассеяния. Поэтому к обоим углам рассеяния добавляют 90°, чтобы найти углы поляризации. Отсюда определяются параметры Стокса Q и U:

Q_{in}=\sin(2\theta +90)

и

U_{in}=\cos(2\theta +90)

Угол рассеяния, полученный из закона косинусов, относится к Солнцу. Угол поляризации — это угол по отношению к зениту или положительной высоте. Существует линия симметрии, определяемая Солнцем и зенитом. Оно тянется от Солнца через зенит на ту сторону небесной сферы, где должно было бы находиться «анти-Солнце». Это также эффективный самолет Восток-Зенит-Запад.

Вход q. Красный – высокий (около 80%), черный – низкий (0%). (Нажмите, чтобы увидеть анимацию)

Вход u. Красный – высокий (около 80%), черный – низкий (0%). (Нажмите, чтобы увидеть анимацию)

Первое изображение справа представляет входной сигнал q, сопоставленный с небесной сферой. Оно симметрично относительно линии, определяемой солнцем-зенитом-антисолнцем. В сумерках в плоскости Север-Зенит-Юг он отрицательный, поскольку по степени поляризации он вертикальный. Он горизонтален или положителен в плоскости Восток-Зенит-Запад. Другими словами, оно положительно в направлении ±высоты и отрицательно в направлении ±азимута. Когда солнце движется по небу, вход q остается высоким вдоль линии солнце-зенит-антисолнце. Оно остается нулевым по кругу, основанному на солнце и зените. Проходя зенит, он вращается к югу и повторяет ту же картину до заката.

Второе изображение справа представляет вход u, сопоставленный с небесной сферой. Параметр u-Стокса меняет знак в зависимости от того, в каком квадранте он находится. Четыре квадранта определяются линией симметрии, эффективной плоскостью Восток-Зенит-Запад и плоскостью Север-Зенит-Юг. Он не симметричен, поскольку определяется углами ± 45 °. В некотором смысле он делает два круга вокруг линии симметрии, а не только один.

Это легко понять по сравнению с входом q. Если входной сигнал q находится посередине между 0° и 90°, входной сигнал u либо положительный при +45°, либо отрицательный при -45°. Аналогично, если вход q положителен при 90 ° или отрицателен при 0 °, вход u находится на полпути между +45 ° и -45 °. Это можно увидеть по несимметричным окружностям относительно линии симметрии. Затем он следует той же схеме по небу, что и вход q.

Нейтральные точки и линии

Области, где степень поляризации равна нулю (световое освещение неполяризовано), известны как нейтральные точки. Здесь параметры Стокса Q и U также равны нулю по определению. Поэтому степень поляризации увеличивается с увеличением расстояния от нейтральных точек.

Эти условия выполняются в нескольких определенных местах на небе. Точка Араго расположена над антисолнечной точкой, а точки Бабине и Брюстера — выше и ниже Солнца соответственно. Зенитное расстояние точки Бабине или Араго увеличивается с увеличением зенитного расстояния Солнца. Эти нейтральные точки могут отклоняться от своего обычного положения из-за помех от пыли и других аэрозолей.

Поляризация светового люка меняется с отрицательной на положительную при прохождении нейтральной точки, параллельной солнечному или антисолнечному меридиану. Линии, разделяющие области положительного и отрицательного Q, называются нейтральными линиями.

Деполяризация

Небо Рэлея вызывает четко выраженную картину поляризации при самых разных обстоятельствах. Однако степень поляризации не всегда остается постоянной и фактически может уменьшаться в различных ситуациях. Небо Рэлея может подвергаться деполяризации из-за близлежащих объектов, таких как облака, и больших отражающих поверхностей, таких как океан. Оно также может меняться в зависимости от времени суток (например, в сумерках или ночью).

Ночью поляризация лунного неба очень сильно снижается при наличии городского светового загрязнения , поскольку рассеянный городской свет не сильно поляризован. ^[2]

Обширные исследования показывают, что угол поляризации в ясном небе сохраняется и под облаками, если воздух под облаком непосредственно освещен Солнцем. Рассеяние прямого солнечного света на этих облаках приводит к той же самой картине поляризации. Другими словами, доля неба, соответствующая модели неба Рэлея, высока как для ясного, так и для облачного неба. Этот узор также хорошо виден на небольших видимых участках неба. Небесный угол поляризации не зависит от облаков.

Паттерны поляризации остаются постоянными, даже когда Солнца нет на небе. Сумеречные узоры создаются в период времени между началом астрономических сумерек (когда Солнце находится на 18 ° ниже горизонта) и восходом или закатом солнца и концом астрономических сумерек. Продолжительность астрономических сумерек зависит от длины пути, пройденного Солнцем за горизонтом. Таким образом, это зависит от времени года, а также от местоположения, но может длиться до 1,5 часов.

Картина поляризации, вызванная сумерками, остается довольно постоянной на протяжении всего этого периода времени. Это связано с тем, что солнце движется под горизонтом почти перпендикулярно ему, и поэтому его азимут меняется очень медленно в течение этого периода времени.

В сумерках рассеянный поляризованный свет возникает в верхних слоях атмосферы, а затем пересекает всю нижнюю атмосферу, прежде чем достичь наблюдателя. Это обеспечивает возможности многократного рассеяния и вызывает деполяризацию. Было замечено, что поляризация увеличивается примерно на 10% от наступления сумерек до рассвета. Таким образом, картина остается постоянной, хотя степень меняется незначительно.

Характер поляризации остается неизменным не только при движении Солнца по небу, но и при движении Луны по небу ночью. Луна создает такую же картину поляризации. Таким образом, можно использовать диаграммы поляризации как инструмент для навигации в ночное время. Единственное отличие состоит в том, что степень поляризации не такая сильная.

Свойства поверхности могут влиять на степень поляризации дневного неба. Степень поляризации сильно зависит от свойств поверхности. По мере увеличения коэффициента отражения поверхности или оптической толщины степень поляризации уменьшается. Поэтому рэлеевское небо вблизи океана может быть сильно деполяризовано.

Наконец, при рэлеевском рассеянии существует четкая зависимость от длины волны. Она максимальна на коротких длинах волн, тогда как поляризация неба максимальна на средних и длинных волнах. Первоначально она максимальна в ультрафиолетовом диапазоне, но по мере того, как свет движется к поверхности Земли и взаимодействует посредством многолучевого рассеяния, она становится высокой в диапазоне средних и длинных волн. Угол поляризации не меняется в зависимости от длины волны.

Использование

Многие животные, обычно насекомые, чувствительны к поляризации света и поэтому могут использовать поляризационные структуры дневного неба в качестве инструмента навигации. Эта теория была впервые предложена Карлом фон Фришем, когда он изучал небесную ориентацию медоносных пчел. Естественная картина поляризации неба служит легко обнаруживаемым компасом. По характеру поляризации эти виды могут ориентироваться, определяя точное положение Солнца без использования прямого солнечного света. Таким образом, под облачным небом или даже ночью животные могут найти дорогу.

Однако использовать поляризованный свет в качестве компаса — непростая задача. Животное должно быть способно обнаруживать и анализировать поляризованный свет. У этих видов в глазах имеются специализированные фоторецепторы , которые реагируют на ориентацию и степень поляризации вблизи зенита. Они могут извлекать информацию об интенсивности и ориентации степени поляризации. Затем они могут использовать это визуально, чтобы ориентироваться и распознавать различные свойства поверхностей.

Есть явные доказательства того, что животные могут даже ориентироваться, когда Солнце находится за горизонтом в сумерках. Насколько хорошо насекомые могут ориентироваться с помощью моделей ночной поляризации, все еще остается предметом изучения. На данный момент известно, что ночные сверчки имеют широкоугольные датчики поляризации и должны быть в состоянии использовать образцы поляризации в ночное время для ориентации. Также было замечено, что мигрирующие по ночам птицы дезориентируются, когда картина поляризации в сумерках неясна.

Лучшим примером является галицитидная пчела Megalopta genalis , которая обитает в тропических лесах Центральной Америки и собирает мусор до восхода и после захода солнца. Эта пчела покидает свое гнездо примерно за 1 час до восхода солнца, кормится до 30 минут и точно возвращается в свое гнездо до восхода солнца. Аналогично он действует сразу после захода солнца.

Таким образом, эта пчела является примером насекомого, которое может воспринимать образцы поляризации в астрономических сумерках. ^[3] Этот случай не только иллюстрирует тот факт, что структуры поляризации присутствуют в сумерках, но и остается прекрасным примером того, что в сложных условиях освещения пчела ориентируется на основе структур поляризации сумеречного неба.

Было высказано предположение, что викинги могли ориентироваться в открытом море аналогичным образом, используя двулучепреломляющий кристалл исландского лонжерона , который они называли «солнечным камнем», для определения направления поляризации неба. ^[4]^[5]^[6]^[7]^[8] Это позволило бы навигатору определить местонахождение Солнца, даже когда оно было закрыто облачностью. Реальный образец такого «солнечного камня» был найден на затонувшем (тюдоровском) корабле 1592 года, недалеко от навигационного оборудования корабля. ^[9]

Неполяризованные объекты

Как искусственные, так и естественные объекты в небе бывает очень сложно обнаружить, используя только интенсивность света. К таким объектам относятся облака, спутники и самолеты. Однако поляризация этих объектов из-за резонансного рассеяния , излучения , отражения или других явлений может отличаться от поляризации фонового освещения. Таким образом, их легче обнаружить с помощью поляризационной визуализации. Существует широкий спектр приложений дистанционного зондирования , в которых поляризация полезна для обнаружения объектов, которые иначе трудно увидеть.

Примечания и ссылки

Поляризационные картины сумеречного неба. Кронин Т.В. и др., 2005, SPIE, 5888, 389.
Картина поляризации летнего неба и его нейтральных точек, измеренная с помощью поляриметрии изображений всего неба в финской Лапландии к северу от Полярного круга. Гал Дж. и др. 2001, учеб. Р. Сок. Лонд. 457, 1385
Измерение распределения поляризованного излучения светового люка. Лю Ю. и Восс К., 1997, ApOpt, 36, 8753.
Как угол поляризации ясного неба сохраняется под облаками: измерения всего неба и значение для ориентации животных. Помози И. и др., 2001, J. Exp. биол., 204, 2933.

^ Коулсон, Кинселл (1988). Поляризация и интенсивность света в атмосфере . Паб А. Дипак.
^ Киба, КМС; Руц, Т.; Фишер Дж.; Хёлькер, Ф. (17 декабря 2011 г.). «Сигнал поляризации лунного света, загрязненный городским освещением» . Журнал геофизических исследований . 116 (D24): н/д. Бибкод : 2011JGRD..11624106K . дои : 10.1029/2011JD016698 .
^ Кронин, Т.В.; Ордер, Э.Дж.; Грейнер, Б. (2006). «Образцы небесной поляризации в сумерках». Прил. Опция 45 (22): 5582–5589. Бибкод : 2006ApOpt..45.5582C . дои : 10.1364/ao.45.005582 . ПМИД 16855654 .
^ Сухай, Б.; Хорват, Г. (2004). «Насколько хорошо модель Рэлея описывает распределение E-вектора небесного света в ясных и облачных условиях? Поляриметрическое исследование всего неба». ЖОСА А. 21 (9): 1669–1676. Бибкод : 2004JOSAA..21.1669S . дои : 10.1364/josaa.21.001669 . ПМИД 15384432 .
^ Солнечный камень викингов , с сайта Polarization.net. Проверено 8 февраля 2007 г.
^ Тайны мореплавателей-викингов , Лейф К. Карлсен. One Earth Press, 2003. ISBN 978-0-9721515-0-4
^ Могли ли викинги ориентироваться в туманных и облачных условиях благодаря поляризации небесного света? Об атмосферных оптических предпосылках поляриметрической навигации викингов в туманном и облачном небе, Рамон Хегедюс и др. [1]
^ Хорват, Г. И др. (2011). «По следам викингов с поляризованным световым люком: экспериментальное исследование атмосферных оптических предпосылок, позволяющих морякам-викингам проводить поляриметрическую навигацию» Фил. Пер. Р. Сок. Б (2011) 366, 772–782 doi:10.1098/rstb.2010.0194
^ Уэйд, Лиззи (5 марта 2013 г.). «Солнечный камень, обнаруженный после кораблекрушения» . Наука . Американская ассоциация содействия развитию науки . Архивировано из оригинала 9 марта 2013 года . Проверено 11 марта 2013 г.

Внешние ссылки

[1] Коулсон, Кинселл (1988). Поляризация и интенсивность света в атмосфере . Паб А. Дипак.

[2] Киба, КМС; Руц, Т.; Фишер Дж.; Хёлькер, Ф. (17 декабря 2011 г.). «Сигнал поляризации лунного света, загрязненный городским освещением» . Журнал геофизических исследований . 116 (D24): н/д. Бибкод : 2011JGRD..11624106K . дои : 10.1029/2011JD016698 .

[3] Кронин, Т.В.; Ордер, Э.Дж.; Грейнер, Б. (2006). «Образцы небесной поляризации в сумерках». Прил. Опция 45 (22): 5582–5589. Бибкод : 2006ApOpt..45.5582C . дои : 10.1364/ao.45.005582 . ПМИД 16855654 .

[4] Сухай, Б.; Хорват, Г. (2004). «Насколько хорошо модель Рэлея описывает распределение E-вектора небесного света в ясных и облачных условиях? Поляриметрическое исследование всего неба». ЖОСА А. 21 (9): 1669–1676. Бибкод : 2004JOSAA..21.1669S . дои : 10.1364/josaa.21.001669 . ПМИД 15384432 .

[5] Солнечный камень викингов , с сайта Polarization.net. Проверено 8 февраля 2007 г.

[6] Тайны мореплавателей-викингов , Лейф К. Карлсен. One Earth Press, 2003. ISBN 978-0-9721515-0-4

[7] Могли ли викинги ориентироваться в туманных и облачных условиях благодаря поляризации небесного света? Об атмосферных оптических предпосылках поляриметрической навигации викингов в туманном и облачном небе, Рамон Хегедюс и др. [1]

[8] Хорват, Г. И др. (2011). «По следам викингов с поляризованным световым люком: экспериментальное исследование атмосферных оптических предпосылок, позволяющих морякам-викингам проводить поляриметрическую навигацию» Фил. Пер. Р. Сок. Б (2011) 366, 772–782 doi:10.1098/rstb.2010.0194

[9] Уэйд, Лиззи (5 марта 2013 г.). «Солнечный камень, обнаруженный после кораблекрушения» . Наука . Американская ассоциация содействия развитию науки . Архивировано из оригинала 9 марта 2013 года . Проверено 11 марта 2013 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]