Квазиточная разрешимость

Линейный дифференциальный оператор L называется квазиточно разрешимым ( QES если он имеет конечномерное инвариантное подпространство функций ) , $\{{\mathcal {V}}\}_{n}$ такой, что $L:\{{\mathcal {V}}\}_{n}\rightarrow \{{\mathcal {V}}\}_{n},$ где n — размерность $\{{\mathcal {V}}\}_{n}$ . Есть два важных случая:

$\{{\mathcal {V}}\}_{n}$ – пространство многомерных многочленов степени не выше некоторого целого числа; и
$\{{\mathcal {V}}\}_{n}$ является подпространством гильбертова пространства . Иногда функциональное пространство $\{{\mathcal {V}}\}_{n}$ изоморфно пространству конечномерному представления алгебры Ли g порядка дифференциальных операторов первого . В этом случае оператор L называется g -лие-алгебраическим квазиточно решаемым оператором. Обычно можно указать базис, где L имеет блочно-треугольную форму. Если оператор L имеет второй порядок и имеет вид оператора Шрёдингера , он называется квазиточно решаемым оператором Шрёдингера.

Наиболее изученные случаи являются одномерными. $sl(2)$ -Лие-алгебраические квазиточно решаемые (Шрёдингеровы) операторы. Самый известный пример - секстический ангармонический осциллятор QES с гамильтонианом

$\{{\mathcal {H}}\}=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+a^{2}x^{6}+2abx^{4}+[b^{2}-(4n+3+2p)a]x^{2},\ a\geq 0\ ,\ n\in \mathbb {N} \ ,\ p=\{0,1\},$

где ( n+1 ) собственных состояний положительной (отрицательной) четности можно найти алгебраически . Их собственные функции имеют вид

$\Psi (x)\ =\ x^{p}P_{n}(x^{2})e^{-{\frac {ax^{4}}{4}}-{\frac {bx^{2}}{2}}}\ ,$

где $P_{n}(x^{2})$ является многочленом степени n (энергий) , а собственные значения являются корнями алгебраического уравнения степени ( n+1 ). В целом известно двенадцать семейств одномерных задач КЭП, два из которых характеризуются эллиптическими потенциалами.

Ссылки

Турбинер, А.В.; Ушверидзе, А.Г. (1987). «Спектральные особенности и квазиточно решаемая квантовая проблема». Буквы по физике А. 126 (3). Эльзевир Б.В.: 181–183. Бибкод : 1987PhLA..126..181T . дои : 10.1016/0375-9601(87)90456-7 . ISSN 0375-9601 .
Турбинер, А.В. (1988). «Квазиточно решаемые задачи и $sl(2,R)$ алгебра». Коммуникации в математической физике . 118 (3). Springer Science and Business Media LLC: 467–474. doi : 10.1007/bf01466727 . ISSN 0010-3616 . S2CID 121442012 .
Гонсалес-Лопес, Артемио; Камран, Ники; Олвер, Питер Дж. (1994), «Квазиточная разрешимость», алгебры Ли, когомологии и новые приложения к квантовой механике (Спрингфилд, Миссури, 1992) , Contemp. Матем., вып. 160, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц., стр. 113–140.
Турбинер, А.В. (1996), «Квазиточно решаемые дифференциальные уравнения», Ибрагимов, Н.Х. (редактор), Справочник CRC по групповому анализу дифференциальных уравнений , вып. 3, Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, стр. 329–364, ISBN. 978-0849394195
Ушверидзе, Александр Г. (1994), Квазиточно решаемые модели в квантовой механике , Бристоль: Издательство Института физики, ISBN 0-7503-0266-6 , МР 1329549

Внешние ссылки

Олвер, Питер, Квазиточно решаемый путеводитель (PDF)