Финитарий

В математике и логике операция , называется финитной если она имеет конечную арность , т. е. если она имеет конечное число входных значений. Аналогично, бесконечная операция — это операция с бесконечным числом входных значений.

В стандартной математике операция по определению финитна. Поэтому эти термины обычно используются только в контексте бесконечной логики .

Финитный аргумент

Финитарный аргумент — это аргумент, который можно перевести в конечный набор символических суждений, начиная с конечного аргумента. ^[1] набор аксиом . Другими словами, это доказательство (включая все предположения), которое можно записать на достаточно большом листе бумаги.

Напротив, бесконечная логика изучает логику, допускающую бесконечно длинные утверждения и доказательства . В такой логике можно рассматривать , например, квантор существования как производный от бесконечной дизъюнкции .

История

Логики начала 20 века стремились решить проблему оснований , например: «Какова истинная основа математики?» Программа должна была иметь возможность переписать всю математику, используя полностью синтаксический язык без семантики . По словам Дэвида Гильберта (имея в виду геометрию ), «не имеет значения, называем ли мы эти вещи стульями , столами и пивными кружками или точками , линиями и плоскостями ».

Акцент на конечности возник из идеи, что человеческое математическое мышление основано на конечном числе принципов. ^{[ нужна ссылка ]} и все рассуждения следуют, по существу, одному правилу: modus ponens . Проект заключался в том, чтобы зафиксировать конечное количество символов (по сути, цифры 1, 2, 3,... буквы алфавита и некоторые специальные символы, такие как «+», «⇒», «(», «)» и т. д. ), дать конечное число предложений, выраженных в этих символах, которые должны были быть приняты в качестве «оснований» (аксиом), и некоторые правила вывода , которые моделировали бы то, как люди делают выводы. Из них, независимо от семантической интерпретации символов, остальные теоремы должны формально следовать с использованием только установленных правил (которые делают математику похожей скорее на игру с символами, чем на науку ) без необходимости полагаться на изобретательность. Надеялись доказать, что из этих аксиом и правил можно вывести все математические теоремы. Эта цель известна как логицизм .

Примечания

^ Число аксиом, упомянутых в аргументе, обязательно будет конечным, поскольку доказательство конечно, но число аксиом, из которых они выбираются , бесконечно, если система имеет схемы аксиом , например схемы аксиом исчисления высказываний .

Внешние ссылки

Статья о бесконечной логике в Стэнфордской энциклопедии философии

[1] Число аксиом, упомянутых в аргументе, обязательно будет конечным, поскольку доказательство конечно, но число аксиом, из которых они выбираются , бесконечно, если система имеет схемы аксиом , например схемы аксиом исчисления высказываний .

[1]