Уравнения падающего тела

Набор уравнений , описывающих траектории объектов, находящихся под действием постоянной гравитационной силы в нормальных условиях на Земле . Предполагая постоянное ускорение g, обусловленное гравитацией Земли, закон всемирного тяготения Ньютона упрощается до F = mg , где F — сила, действующая на массу m гравитационным полем Земли с силой g . Предположение о постоянном g разумно для объектов, падающих на Землю на относительно коротких вертикальных расстояниях в нашей повседневной жизни, но неприменимо для больших расстояний, связанных с расчетом более удаленных эффектов, таких как траектории космических кораблей.

История

Галилей был первым, кто продемонстрировал, а затем сформулировал эти уравнения. Он использовал рампу для изучения катящихся шаров: рампа замедляла ускорение настолько, чтобы измерить время, необходимое мячу, чтобы перекатиться на известное расстояние. ^[1]^[2] Он измерял прошедшее время с помощью водяных часов , используя «чрезвычайно точные весы» для измерения количества воды. ^{[примечание 1]}

Уравнения игнорируют сопротивление воздуха, которое оказывает сильное влияние на объекты, падающие в воздухе на значительное расстояние, заставляя их быстро приближаться к конечной скорости . Эффект сопротивления воздуха сильно варьируется в зависимости от размера и геометрии падающего объекта — например, уравнения безнадежно неверны для пера, которое имеет небольшую массу, но оказывает большое сопротивление воздуху. (При отсутствии атмосферы все объекты падают с одинаковой скоростью, что продемонстрировал астронавт Дэвид Скотт , уронив молоток и перо на поверхность Луны . )

Уравнения также игнорируют вращение Земли и не могут описать, эффект Кориолиса например, . Тем не менее, они обычно достаточно точны для обнаружения плотных и компактных объектов, падающих на высоту, не превышающую самых высоких искусственных сооружений.

Обзор

У поверхности Земли ускорение свободного падения $g$ = 9,807 м/с. ² ( метры в секунду в квадрате , что можно рассматривать как «метры в секунду в секунду»; или 32,18 футов/с). ² примерно как «футы в секунду в секунду»). согласованный набор единиц измерения $g$ , $d$ , $t$ и $v$ Необходим . Если принять единицы измерения СИ , $то g$ измеряется в метрах в секунду в квадрате, поэтому $d$ должно измеряться в метрах, $t$ в секундах и $v$ в метрах в секунду.

Во всех случаях предполагается, что тело трогается с места, сопротивлением воздуха пренебрегают. Как правило, в атмосфере Земли все приведенные ниже результаты будут весьма неточными уже после 5 секунд падения (в это время скорость объекта будет немного меньше, чем значение вакуума, равное 49 м/с (9,8 м/с). ² × 5 с) из-за сопротивления воздуха). Сопротивление воздуха вызывает силу сопротивления любого тела, которое попадает в любую атмосферу, кроме идеального вакуума, и эта сила сопротивления увеличивается с увеличением скорости, пока не сравняется с силой гравитации, в результате чего объект падает с постоянной конечной скоростью .

Конечная скорость зависит от сопротивления атмосферы, коэффициента сопротивления объекта, (мгновенной) скорости объекта и площади, подвергаемой воздушному потоку.

Помимо последней формулы, эти формулы также предполагают, что $g$ незначительно меняется с высотой при падении (т. е. они предполагают постоянное ускорение). Последнее уравнение более точное, когда значительные изменения относительного расстояния от центра планеты во время падения вызывают значительные изменения $g$ . Это уравнение встречается во многих приложениях базовой физики.

Следующие уравнения исходят из общих уравнений линейного движения:

$d(t)=d_{0}+v_{0}t+{1 \over 2}at^{2}$

$v(t)=v_{0}+at$

и уравнение всемирного тяготения (r+d= расстояние объекта над землей от центра масс планеты):

F=G{{mM} \over {(r+d)^{2}}}=mg

Уравнения

Расстояние $\ d\$ пройденный объектом, падающим за время $\ t\$ :	$\ d={\frac {1}{2}}gt^{2}$
Время $\ t\$ принято за то, что объект упал на расстояние $\ d\$ :	$\ t=\ {\sqrt {\frac {2d}{g}}}$
Мгновенная скорость $\ v_{i}\$ падающего предмета по истечении времени $\ t\$ :	$\ v_{i}=gt$
Мгновенная скорость $\ v_{i}\$ падающего объекта, преодолевшего расстояние $\ d\$ :	$\ v_{i}={\sqrt {2gd}}\$
Средняя скорость $\ v_{a}\$ объекта, который падал за время $\ t\$ (в среднем по времени):	$\ v_{a}={\frac {1}{2}}gt$
Средняя скорость $\ v_{a}\$ падающего объекта, преодолевшего расстояние $\ d\$ (в среднем по времени):	$\ v_{a}={\frac {\sqrt {2gd}}{2}}\$
Мгновенная скорость $\ v_{i}\$ падающего объекта, преодолевшего расстояние $\ d\$ на планете с массой $\ M\$ , при этом суммарный радиус планеты и высота падающего объекта равны $\ r\$ , это уравнение используется для больших радиусов, где $\ g\$ меньше стандартного $\ g\$ у поверхности Земли, но предполагает небольшое расстояние падения, поэтому изменение $\ g\$ мал и относительно постоянен:	$\ v_{i}={\sqrt {\frac {2GMd}{r^{2}}}}\$
Мгновенная скорость $\ v_{i}\$ падающего объекта, преодолевшего расстояние $\ d\$ на планете с массой $\ M\$ и радиус $\ r\$ (используется для больших расстояний падения, где $\ g\$ может существенно измениться):	$\ v_{i}={\sqrt {2GM{\Big (}{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{r+d}}{\Big )}}}\$

Пример

Первое уравнение показывает, что за одну секунду объект упадет на расстояние 1/2 × 9,8 × 1. ² = 4,9 м. Через две секунды оно упадет на 1/2 × 9,8 × 2. ² = 19,6 м; и так далее. Предпоследнее уравнение становится крайне неточным на больших расстояниях. Если объект упал на Землю с высоты 10 000 м, то результаты обоих уравнений различаются всего на 0,08 %; однако если он упал с геостационарной орбиты , составляющей 42 164 км, то разница изменится почти на 64 %.

Например, исходя из сопротивления ветра, конечная скорость парашютиста в положении свободного падения животом к земле (т. е. лицом вниз) составляет около 195 км/ч (122 мили в час или 54 м/с). Эта скорость является асимптотическим предельным значением процесса ускорения, поскольку действующие силы, действующие на тело, все теснее уравновешивают друг друга по мере приближения к конечной скорости. В этом примере скорость в 50 % от конечной скорости достигается примерно через 3 секунды, тогда как для достижения 90 % требуется 8 секунд, для достижения 99 % — 15 секунд и так далее.

Более высоких скоростей можно достичь, если парашютист напрягает конечности (см. Также свободный полет ). В этом случае конечная скорость увеличивается примерно до 320 км/ч (200 миль в час или 90 м/с), что почти соответствует конечной скорости сапсана, пикирующего на свою добычу. Согласно исследованию артиллерийского вооружения армии США, такая же конечная скорость достигается для типичной пули .30-06, падающей вниз - когда она возвращается на землю после выстрела вверх или сбрасывается с башни.

Для астрономических тел, отличных от Земли , и для коротких расстояний падения не на уровне «земли», $g$ в приведенных выше уравнениях можно заменить на ${\frac {G(M+m)}{r^{2}}}$ где $G$ — гравитационная постоянная , $M$ — масса астрономического тела, $m$ — масса падающего тела, а $r$ — радиус от падающего объекта до центра астрономического тела.

Отказ от упрощающего предположения о равномерном гравитационном ускорении дает более точные результаты. находим Из формулы для радиальных эллиптических траекторий :

Время $t$ , необходимое объекту для падения с высоты $r$ до высоты $x$ , измеренное от центров двух тел, определяется выражением:

t={\frac {{\frac {\pi }{2}}-\arcsin {\Big (}{\sqrt {\frac {x}{r}}}{\Big )}+{\sqrt {{\frac {x}{r}}\ (1-{\frac {x}{r}})}}}{\sqrt {2\mu }}}\,r^{3/2}

где $\mu =G(M+m)$ представляет собой сумму стандартных гравитационных параметров двух тел. Это уравнение следует использовать всякий раз, когда существует значительная разница в ускорении свободного падения во время падения.Обратите внимание, что когда $x=r$ это уравнение дает $t=0$ как и ожидалось; и когда $x=0$ это дает $t={\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\frac {r^{3}}{2\mu }}}$ , что является временем столкновения.

Ускорение относительно вращающейся Земли

Центростремительная сила приводит к тому, что ускорение, измеренное на вращающейся поверхности Земли, отличается от ускорения, измеренного для свободно падающего тела: кажущееся ускорение во вращающейся системе отсчета представляет собой полный вектор силы тяжести минус небольшой вектор в направлении на север. южной оси Земли, что соответствует пребыванию в неподвижном состоянии в этой системе отсчета.

См. также

De motu antiquiora и Две новые науки (самые ранние современные исследования движения падающих тел)
Уравнения движения
Свободное падение
Гравитация
Теорема о средней скорости , основа закона падения тел.
Радиальная траектория

Примечания

↑ См. работы Стиллмана Дрейка , где представлено всестороннее исследование Галилея и его времени, Научной революции .

Ссылки

^ Джесперсен, Джеймс; Фитц-Рэндольф, Джейн. От солнечных часов к часам: понимание времени и частоты (PDF) . Монография 155 Национального института стандартов и технологий (Отчет) (изд. 1999 г.). Управление технологий Министерства торговли США и Национальный институт стандартов и технологий. стр. 188–190.
^ Макдугал, Д.В. (2012). «Глава 2 - Великое открытие Галилея: как обстоят дела». Гравитация Ньютона: Вводное руководство по механике Вселенной, конспекты лекций по физике для студентов (PDF) . Нью-Йорк: Springer Science + Business Media. дои : 10.1007/978-1-4614-5444-1_2 .

Внешние ссылки

Калькулятор уравнений падающего тела

[3] См. работы Стиллмана Дрейка , где представлено всестороннее исследование Галилея и его времени, Научной революции .

[1] Джесперсен, Джеймс; Фитц-Рэндольф, Джейн. От солнечных часов к часам: понимание времени и частоты (PDF) . Монография 155 Национального института стандартов и технологий (Отчет) (изд. 1999 г.). Управление технологий Министерства торговли США и Национальный институт стандартов и технологий. стр. 188–190.

[2] Макдугал, Д.В. (2012). «Глава 2 - Великое открытие Галилея: как обстоят дела». Гравитация Ньютона: Вводное руководство по механике Вселенной, конспекты лекций по физике для студентов (PDF) . Нью-Йорк: Springer Science + Business Media. дои : 10.1007/978-1-4614-5444-1_2 .

[1]

[2]

[примечание 1]