Инвариант двоичной формы

В математической теории инвариантов инвариантом бинарной формы называется многочлен от коэффициентов бинарной формы от двух переменных x и y , который остается инвариантным относительно специальной линейной группы, действующей на переменные x и y .

Терминология

Основная статья: Глоссарий теории инвариантов

Бинарная форма (степени n ) — это однородный многочлен Σ ^н
_{я = 0} ( ^н
_я ) и _{п - я} Икс ^{п - я} и ^я = а _н х ^н + ( ^н
₁ ) а _{п -1} х ^{п -1} у + ... + а ₀ у ^н . Группа SL ₂ ( C ) действует на эти формы, переводя x в ax + by и y в cx + dy . Это индуцирует действие на пространстве, натянутом на a ₀ , ..., a _n, и на полиномы от этих переменных. Инвариант — это многочлен от этих n + 1 переменных a ₀ , ..., an _, инвариантный относительно данного действия. В более общем смысле, ковариант — это полином от a ₀ ,..., an _{который является инвариантным, поэтому} , x , y, инвариант — это частный случай коварианта, когда переменные x и y не встречаются. В более общем смысле одновременный инвариант представляет собой полином от коэффициентов нескольких различных форм по x и y .

С точки зрения теории представлений , для любого представления V группы SL ₂ ( C ) можно задать вопрос о кольце инвариантных многочленов V. на Инварианты бинарной формы степени n соответствуют тому, что V является ( n + 1)-мерным неприводимым представлением, а коварианты соответствуют тому, что V является суммой неприводимых представлений размерностей 2 и n + 1.

Инварианты бинарной формы образуют градуированную алгебру , и Гордан (1868) доказал, что эта алгебра конечно порождена, если базовым полем являются комплексные числа.

Формы степеней 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 иногда называют квадриками, кубическими, квартиками, квинтиками, секстиками, септиками или септимиками, октиками или октавиками, нониками и дециками или децимиками. «Квантический» — старое название формы произвольной степени. Формы в 1, 2, 3, 4,... переменных называются унарными, бинарными, троичными, четвертичными,... формами.

Примеры

Форма f сама по себе является ковариантом степени 1 и порядка n .

Дискриминант . формы является инвариантом

Результат двух форм является их одновременным инвариантом.

Ковариант Гессе формы Гильберта (1993 , стр.88) является определителем матрицы Гессе.

$H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}\\[10pt]{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\end{bmatrix}}.$

Это ковариант порядка 2 n − 4 и степени 2.

Каталектикант — это инвариант степени n /2+1 бинарной формы четной степени n .

Канонизант — это ковариант степени и порядка ( n +1)/2 двоичной формы нечетной степени n .

Якобиан ​

$\det {\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}&{\frac {\partial f}{\partial y}}\\[10pt]{\frac {\partial g}{\partial x}}&{\frac {\partial g}{\partial y}}\end{bmatrix}}$

является одновременным ковариантом двух форм f , g .

Кольцо инвариантов

Структура кольца инвариантов разработана для малых степеней. Сильвестр и Франклин (1879) дали таблицы количества образующих инвариантов и ковариантов для форм степени до 10, хотя в таблицах есть несколько незначительных ошибок для больших степеней, в основном там, где несколько инвариантов или ковариантов опущены.

Коварианты бинарной линейной формы

Для линейных форм ax + единственными инвариантами являются константы. Алгебра ковариантов порождается самой формой степени 1 и порядка 1.

Коварианты бинарной квадрики

Алгебра инвариантов квадратичной формы ax ² + 2 bxy + cy ² — алгебра полиномов от 1 переменной, порожденная дискриминантом b ² − ac степени 2. Алгебра ковариантов представляет собой алгебру полиномов от двух переменных, порожденную дискриминантом вместе с самой формой f (степени 1 и порядка 2). ( Шур 1968 , II.8) ( Гильберт 1993 , XVI, XX)

Коварианты двоичной кубики

Алгебра инвариантов кубической формы ax ³ + 3 спальни ² у + 3 скси ² + ты ³ — алгебра полиномов от 1 переменной, порожденная дискриминантом D = 3 b ² с ² + 6 abcd − 4 б ³ д - 4 в ³ а - а ² д ² степени 4. Алгебра ковариантов порождается дискриминантом, самой формой (степень 1, порядок 3), гессианом H (степень 2, порядок 2) и ковариантом T степени 3 и порядка 3. Они связаны соотношением сизигия ​ 4 H ³ = Дф ² - Т ² степени 6 и порядка 6. ( Шур 1968 , II.8) ( Гильберт 1993 , XVII, XX)

Коварианты бинарной квартики

Алгебра инвариантов формы четвертой степени порождается инвариантами i , j степеней 2, 3. Это кольцо естественным образом изоморфно кольцу модулярных форм уровня 1, с двумя образующими, соответствующими рядам Эйзенштейна E ₄ и E _6. . Алгебра ковариантов порождается этими двумя инвариантами вместе с формой f степени 1 и порядка 4, гессианом H степени 2 и порядка 4 и ковариантом T степени 3 и порядка 6. Они связаны сизигией jf ³ – Хф ² я + 4Н ³ + Т ² = 0 степени 6 и порядка 12. ( Шур 1968 , II.8) ( Гильберт 1993 , XVIII, XXII)

Коварианты бинарной квинтики

Алгебра инвариантов пятой формы была найдена Сильвестром и порождается инвариантами степени 4, 8, 12, 18. Генераторы степеней 4, 8, 12 порождают кольцо многочленов, содержащее квадрат косого инварианта Эрмита степень 18. Инварианты довольно сложно выписать в явном виде: Сильвестр показал, что образующие степеней 4, 8, 12, 18 имеют 12, 59, 228 и 848 членов, часто с очень большими коэффициентами. ( Шур 1968 , II.9) ( Гильберт 1993 , XVIII) Кольцо ковариантов порождается 23 ковариантами, один из которых является канонизантом степени 3 и порядка 3.

Коварианты бинарного секстика

Алгебра инвариантов секстической формы порождается инвариантами степени 2, 4, 6, 10, 15. Генераторы степеней 2, 4, 6, 10 порождают кольцо полиномов, содержащее квадрат генератора степени 15. ( Шур 1968 , II.9) Кольцо ковариантов порождается 26 ковариантами. Кольцо инвариантов тесно связано с пространством модулей кривых рода 2, поскольку такую ​​кривую можно представить как двойное накрытие проективной прямой, разветвленной в 6 точках, а эти 6 точек можно взять как корни бинарной секстик.

Коварианты бинарного септика

Кольцо инвариантов бинарных септиков аномально и стало причиной нескольких опубликованных ошибок. Кэли ошибочно утверждал, что кольцо инвариантов не является конечно порожденным. Сильвестр и Франклин (1879) дали нижние оценки числа образующих кольца инвариантов и кольца ковариантов в 26 и 124 и заметили, что недоказанный «фундаментальный постулат» будет подразумевать соблюдение равенства. Однако фон Галл (1888) показал, что числа Сильвестра не равны числу образующих, которое равно 30 для кольца инвариантов и не менее 130 для кольца ковариантов, поэтому фундаментальный постулат Сильвестра неверен. фон Галл (1888) и Диксмье и Лазар (1988) показали, что алгебра инвариантов формы степени 7 порождается множеством с 1 инвариантом степени 4, 3 степенью 8, 6 степенью 12, 4 степенью 14, 2 степени 16, 9 степени 18 и по одному каждой степени 20, 22, 26, 30. Крони (2002) дает 147 генераторов для кольца ковариантов.

Коварианты двоичной октавы

Сильвестр и Франклин (1879) показали, что кольцо инвариантов формы 8-й степени порождается 9 инвариантами степеней 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, а кольцо ковариантов порождается 69 ковариантов. Август фон Галл ( von Gall (1880) ) и Сиода (1967) подтвердили образующие кольца инвариантов и показали, что идеал отношений между ними порождается элементами степеней 16, 17, 18, 19, 20.

Коварианты бинарного ноника

Брауэр и Поповичиу (2010a) показали, что алгебра инвариантов формы степени 9 порождается 92 инвариантами. Крони, Хагедорн и Брауэр вычислили 476 ковариантов, а Лерсье и Олив показали, что этот список полон.

Коварианты двоичной десятичной дроби

Сильвестр установил, что кольцо инвариантов бинарных десятичных чисел порождается 104 инвариантами, кольцо ковариантов — 475 ковариантами; его список верен для степеней до 16, но неверен для более высоких степеней. Брауэр и Поповичиу (2010b) показали, что алгебра инвариантов формы степени 10 порождается 106 инвариантами. Хагедорн и Брауэр вычислили 510 ковариантов, а Лерсье и Олив показали, что этот список полон.

Коварианты двоичной недесятичной системы

Кольцо инвариантов бинарных форм степени 11 сложное и до сих пор не описано явно.

Коварианты двоичной двенадцатеричной системы

Для форм 12-й степени Сильвестр (1881) нашел, что в степенях до 14 имеется 109 основных инвариантов. Есть еще как минимум 4 более высоких степеней. Число основных ковариантов не менее 989.

Количество генераторов инвариантов и ковариантов бинарных форм можно найти в (последовательность A036983 в OEIS ) и (последовательность A036984 в OEIS ) соответственно.

Инварианты нескольких бинарных форм

Коварианты бинарной формы по существу такие же, как совместные инварианты бинарной формы и бинарной линейной формы. В более общем смысле, можно запросить совместные инварианты (и коварианты) любого набора бинарных форм. Некоторые случаи, которые были изучены, перечислены ниже.

Коварианты двух линейных форм

Существует 1 базовый инвариант и 3 базовых коварианта.

Коварианты линейной формы и квадратичной

Существует 2 основных инварианта и 5 основных ковариантов.

Коварианты линейной формы и кубической

Существует 4 основных инварианта (по сути, коварианты кубики) и 13 основных ковариантов.

Коварианты линейной формы и квартики

Существует 5 основных инвариантов (по сути, основные коварианты квартики) и 20 основных ковариантов.

Коварианты линейной формы и квинтики

Существует 23 основных инварианта (по сути, основные коварианты квинтики) и 94 основных коварианта.

Коварианты нескольких линейных форм

Кольцо инвариантов n линейных форм порождается n ( n –1)/2 инвариантами степени 2.Кольцо ковариантов n линейных форм по существу совпадает с кольцом инвариантов n +1 линейных форм.

Коварианты двух квадратиков

Существует 3 основных инварианта и 6 основных ковариантов.

нескольких линейных и

Кольцо инвариантов суммы m линейных форм и n квадратичных форм порождается m ( m –1)/2 + n ( n +1)/2 генераторами степени 2, nm ( m +1)/2 + n ( n –1)( n –2)/6 в степени 3 и m ( m +1) n ( n –1)/4 в степени 4.

Для количества образующих кольца ковариантов замените m на m +1.

Коварианты квадратичного и кубического

Существует 5 основных инвариантов и 15 основных ковариантов.

Коварианты квадратичного и квартикового

Существует 6 основных инвариантов и 18 основных ковариантов.

Коварианты квадратичного и квинтики

Существует 29 основных инвариантов и 92 основных коварианта.

Коварианты кубики и квартики

Существует 20 основных инвариантов и 63 основных коварианта.

Коварианты двух квартик

Существует 8 базовых инвариантов (3 степени 2, 4 степени 3 и 1 степени 4) и 28 базовых ковариантов. (Гордан дал 30 ковариантов, но Сильвестр показал, что два из них сократимы.)

Коварианты многих кубик или квартик

Числа генераторов инвариантов или ковариантов были указаны Янгом (1898) .

См. также

• Тройная кубическая
• Тройная квартика

Ссылки

• Брауэр, Андрис Э.; Поповичу, Михаэла (2010a), «Инварианты двоичного ноника», Журнал символических вычислений , 45 (6): 709–720, arXiv : 1002.0761 , doi : 10.1016/j.jsc.2010.03.003 , ISSN   0747-7171 , МР   2639312 , S2CID   30297
• Брауэр, Андрис Э.; Поповичу, Михаэла (2010b), «Инварианты двоичной десятичной дроби», Journal of Символические вычисления , 45 (8): 837–843, arXiv : 1002.1008 , doi : 10.1016/j.jsc.2010.03.002 , ISSN   0747-7171 , МР   2657667 , S2CID   12702092
• Крони, Хольгер (2002), О вычислении ковариантов квантов (диссертация), Саарбрюккен: Univ. Саара
• Диксмье, Жак; Лазард, Д. (1988), «Минимальное количество фундаментальных инвариантов для двоичной формы степени 7», Журнал символических вычислений , 6 (1): 113–115, doi : 10.1016/S0747-7171(88)80026-9 , ISSN   0747-7171 , МР   0961375
• фон Галл, Август Фрейхерр (1880), «Полная система форм двоичной формы восьмого порядка» , Mathematical Annals , 17 (1): 31–51, doi : 10.1007/BF01444117 , ISSN   0025-5831 , MR   1510048 , S2CID   120828980
• фон Галль, Август Фрейхерр (1888), «Полная система форм двоичной формы 7 ^иметь Орден» , Mathematical Annals , 31 (3): 318–336, doi : 10.1007/BF01206218 , ISSN   0025-5831 , MR   1510486 , S2CID   121051862
• Гордан, Пол (1868), «Доказательство того, что каждый ковариант и инвариант бинарной формы является целой функцией с числовыми коэффициентами конечного числа таких форм» , Журнал чистой и прикладной математики , 1868 (69): 323–354, doi : 10.1515/crll.1868.69.323 , S2CID   120689164
• Гильберт, Дэвид (1993) [1897], Теория алгебраических инвариантов , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-44457-6 , МР   1266168
• Кунг, Джозеф PS; Рота, Джан-Карло (1984), «Инвариантная теория бинарных форм», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 10 (1): 27–85, doi : 10.1090/S0273-0979-1984-15188-7 , ISSN   0002-9904 , МР   0722856
• Шур, Иссаи (1968), Грунский, Гельмут (редактор), Лекции по теории инвариантов , Основные положения математических наук, том. 143, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  978-3-540-04139-9 , МР   0229674
• Сиода, Тецудзи (1967), «О градуированном кольце инвариантов бинарных октавик», American Journal of Mathematics , 89 (4): 1022–1046, doi : 10.2307/2373415 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2373415 , MR   0220738
• Штурмфельс, Бернд (1993), Алгоритмы в теории инвариантов , Тексты и монографии по символическим вычислениям, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-211-77417-5 , ISBN  978-3-211-82445-0 , МР   1255980
• Сильвестр, Джей Джей ; Франклин, Ф. (1879), «Таблицы производящих функций и основных форм для двоичных квантик первых десяти порядков», Американский журнал математики , 2 (3): 223–251, doi : 10.2307/2369240 , ISSN   0002- 9327 , JSTOR   2369240 , MR   1505222
• Сильвестр, Джеймс Джозеф (1881), «Таблицы производящих функций и основных форм двоичной двенадцатеричной системы с некоторыми общими замечаниями и таблицы неприводимых сизигий некоторых квантов», Американский журнал математики , 4 (1), Джонс Хопкинс University Press: 41–61, doi : 10.2307/2369149 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2369149.
• Янг, А. (ноябрь 1898 г.). «Неприводимые спутники любого количества двоичных квартик». Труды Лондонского математического общества . с1-30(1): 290–307. дои : 10.1112/plms/s1-30.1.290 .

Внешние ссылки

• Брауэр, Андрис Э., Инварианты бинарных форм