Система Трахтенберга

Система Трахтенберга — это система быстрого мысленного счета . Система состоит из ряда легко запоминающихся операций, позволяющих очень быстро выполнять арифметические вычисления. Он был разработан русским инженером Яковом Трахтенбергом для того, чтобы занять себя во время пребывания в нацистском концентрационном лагере .

В оставшейся части статьи представлены некоторые методы, разработанные Трахтенбергом. Некоторые из алгоритмов, разработанных Трахтенбергом, предназначены для общего умножения, деления и сложения. Кроме того, система Трахтенберга включает в себя несколько специализированных методов умножения небольших чисел от 5 до 13 (здесь показаны числа от 2 до 12).

В разделе, посвященном сложению, демонстрируется эффективный метод проверки вычислений, который также можно применить к умножению.

Общее умножение

Метод общего умножения — это метод достижения умножения. $a\times b$ с низкой пространственной сложностью, т. е. как можно меньше временных результатов должно храниться в памяти. Это достигается за счет того, что последняя цифра полностью определяется путем умножения последней цифры множимого . Это считается временным результатом. Чтобы найти предпоследнюю цифру, нам нужно все, что влияет на эту цифру: Временный результат, последняя цифра $a$ умножить предпоследнюю цифру числа $b$, а также предпоследнюю цифру $a$ умножить последнюю цифру $b$. Этот расчет выполняется, и мы получаем временный результат, правильный в последних двух цифрах.

В целом по каждой позиции $n$ в конечном результате суммируем по всем $i$:

$a{\text{ (digit at }}i{\text{ )}}\times b{\text{ (digit at }}(n-i){\text{)}}.$

Люди могут выучить этот алгоритм и таким образом умножать в уме четырехзначные числа, записывая только конечный результат. Они записывали его, начиная с самой правой цифры и заканчивая самой левой.

Трахтенберг определил этот алгоритм как своего рода парное умножение, при котором две цифры умножаются на одну цифру, по существу сохраняя только среднюю цифру результата. Выполняя описанный выше алгоритм с парным умножением, необходимо сохранять еще меньше временных результатов.

Пример: $123456\times 789$

Чтобы найти первую (крайнюю правую) цифру ответа, начните с первой цифры множимого.

Цифра единиц $9\times 6$ является $4.$

Первая цифра ответа $4$. Цифра десятков $5$ игнорируется.

Указатели на первую цифру

Чтобы найти вторую цифру ответа, начните со второй цифры множимого:

Цифра единиц $9\times 5$ плюс цифра десятков $9\times 6$ плюс

Цифра единиц $8\times 6$.

$5+5+8=18$.

Вторая цифра ответа $8$ и нести $1$ до третьей цифры.

Указатели на вторую цифру

Чтобы найти третью цифру ответа, начните с третьей цифры множимого:

Цифра единиц $9\times 4$ плюс цифра десятков $9\times 5$ плюс

Цифра единиц $8\times 5$ плюс цифра десятков $8\times 6$ плюс

Цифра единиц $7\times 6$

$1+6+4+0+4+2=17$

Третья цифра ответа $7$ и нести $1$ до следующей цифры.

Указатели на третью цифру

Чтобы найти четвертую цифру ответа, начните с четвертой цифры множимого:

Цифра единиц $9\times 3$ плюс цифра десятков $9\times 4$ плюс

Цифра единиц $8\times 4$ плюс цифра десятков $8\times 5$ плюс

Цифра единиц $7\times 5$ плюс цифра десятков $7\times 6$.

$1+7+3+2+4+5+4=26$ осуществляется с третьей цифры.

Четвертая цифра ответа $6$ и нести $2$ до следующей цифры.

Продолжайте использовать тот же метод, чтобы получить оставшиеся цифры.

Метод 2 пальцев

Трахтенберг назвал это «методом двух пальцев». Расчеты по нахождению четвертой цифры из приведенного выше примера показаны справа. Стрелка от девятки всегда будет указывать на цифру множимого непосредственно над цифрой ответа, который вы хотите найти, а каждая из остальных стрелок указывает на одну цифру вправо. Каждая стрелка указывает на пару UT или пару продуктов. Вертикальная стрелка указывает на продукт, где мы получим цифру единиц, а наклонная стрелка указывает на продукт, где мы получим цифры десятков пары продуктов. Если стрелка указывает на пробел без цифр, расчет для этой стрелки не производится. По мере того, как вы решаете каждую цифру, вы перемещаете каждую из стрелок над множимым на одну цифру влево, пока все стрелки не укажут на нули с префиксом.

Настройка для отдела

Деление в системе Трахтенберга происходит почти так же, как и при умножении, но с вычитанием вместо сложения. Разделение дивиденда на меньшие частичные дивиденды, а затем деление этого частичного дивиденда только на самую левую цифру делителя, даст ответ по одной цифре за раз. По мере того, как вы решаете каждую цифру ответа, вы затем вычитаете пары продуктов (пары UT), а также пары NT (числа-десятки) из частичного дивиденда, чтобы найти следующий частичный дивиденд. Пары продуктов находятся между цифрами ответа и делителем. Если в результате вычитания получено отрицательное число, вам придется восстановить одну цифру и уменьшить ее на единицу. При достаточной практике этот метод можно реализовать в уме.

Общее дополнение

Метод сложения столбцов чисел и точной проверки результата без повторения первой операции. Получается промежуточная сумма в виде двух рядов цифр. Ответ получается суммированием промежуточных результатов с помощью L-образного алгоритма. В качестве последнего шага предлагаемый метод проверки одновременно устраняет риск повторения любых исходных ошибок и одновременно определяет точный столбец, в котором возникает ошибка. Он основан на контрольных (или цифровых) суммах, таких как метод остатка девяток.

Чтобы процедура была эффективной, различные операции, используемые на каждом этапе, должны быть различны, в противном случае существует риск взаимного вмешательства.

Другие алгоритмы умножения

При выполнении любого из этих алгоритмов умножения следует применять следующие «шаги».

Ответ необходимо искать по одной цифре, начиная с младшей цифры и двигаясь влево. Последний расчет производится по ведущему нулю множимого.

У каждой цифры есть сосед , то есть цифра справа от нее. Сосед самой правой цифры — это конечный ноль.

Операция «половина» имеет особое значение для системы Трахтенберга. Предполагается, что оно означает «половину цифры, округленной вниз», но из соображений скорости людям, следующим системе Трахтенберга, рекомендуется сделать этот процесс деления пополам мгновенным. Поэтому вместо того, чтобы думать «половина семи — это три с половиной, значит, три», предлагается думать «семь, три». Это значительно ускоряет расчет. Таким же образом следует запомнить таблицы вычитания цифр из 10 или 9.

И всякий раз, когда правило требует добавления половины соседа, всегда добавляйте 5, если текущая цифра нечетная. Это компенсирует потерю 0,5 при вычислении следующей цифры.

Числа и цифры (основание 10)

Цифры и числа — это два разных понятия. Число T состоит из n цифр c _n ... c ₁ .

$T=10^{n-1}*c_{n}+...+10^{0}*c_{1}$

Умножение на 2

Доказательство

${\textstyle {\begin{aligned}R&=T*2\Leftrightarrow \\R&=2*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n-1}*2*c_{n}+\ldots +10^{0}*2*c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}}$

Правило :

1. Умножьте каждую цифру на 2 (с переносом).

Пример: 8624 × 2

Работаем слева направо:

8+8=16,

6+6=12 (бери 1),

2+2=4

4+4=8;

8624 × 2 = 17248

Пример: 76892 × 2

Работаем слева направо:

7+7=14

6+6=12

8+8=16

9+9=18

2+2=4;

76892 × 2 =153784

Умножение на 3

Доказательство

${\begin{aligned}R&=T*3\Leftrightarrow \\R&=3*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=(10/2-2)*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}/2-2)+10^{n}*2+10^{n-1}*(c_{n-1}/2-2)+10^{n-1}*2+\ldots +10^{1}*(c_{1}/2-2)+10^{1}*2\\&-2*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{1}*c_{2}+10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}/2-2)+10^{n-1}*(c_{n-1}/2+20-2-2*c_{n})+10^{n-2}*(c_{n-2}/2+20-2-2*c_{n-1})\\&+\ldots +10^{1}*(c_{1}/2+20-2-2*c_{2})+10^{0}*(20-2*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}/2-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+c_{n-1}/2)+10^{n-2}*(2*(9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*(2*(10-c_{1}))\Leftrightarrow \vdots \Re \to \aleph {\text{: a }}=(a{\text{ div }}b)*b+(a{\bmod {b}})\\R&=10^{n}*(((c_{n}{\text{ div }}2)*2+(c_{n}{\bmod {2}}))/2-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+c_{n-1}/2)+10^{n-2}*(2*(9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*(2*(10-c_{1}))\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)-2)+10^{n-1}*(10*(c_{n}{\bmod {2}})/2+2*(9-c_{n})+c_{n-1}/2)+10^{n-2}*(2*(9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*(2*(10-c_{1}))\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+c_{n-1}/2+(c_{n}{\bmod {2}})*5)+10^{n-2}*(2*(9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*(2*(10-c_{1}))\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+(c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+(c_{1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{2}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+10^{0}*(2*(10-c_{1})+{\text{ if}}(c_{1}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\\\&QED\end{aligned}}$

Правило:

1. Вычтите самую правую цифру из 10.
2. Вычтите оставшиеся цифры из 9.
3. Удвойте результат.
4. Прибавьте половину соседа справа плюс 5, если цифра нечетная.
5. Для ведущего нуля вычтите 2 из половины соседа.

Пример: 492 × 3 = 1476.

Работаем справа налево:

(10 − 2) × 2 + половина 0 (0) = 16. Запишите 6, перенесите 1.

(9 − 9) × 2 + половина от 2 (1) + 5 (так как 9 нечетно) + 1 (несущий) = 7. Запишите 7.

(9 − 4) × 2 + половина 9 (4) = 14. Запишите 4, перенесите 1.

Половина от 4 (2) − 2 + 1 (несённая) = 1. Запишите 1.

Умножение на 4

Доказательство

${\begin{aligned}R&=T*4\Leftrightarrow \\R&=4*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=(10/2-1)*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \vdots {\mbox{ see proof of method 3}}\\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)-1)+10^{n-1}*((9-c_{n})+(c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+\ldots +10^{1}*((9-c_{2})+(c_{1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{2}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+10^{0}*((10-c_{1})+{\text{ if}}(c_{1}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\\\&QED\end{aligned}}$

Правило:

1. Вычтите самую правую цифру из 10.
2. Вычтите оставшиеся цифры из 9.
3. Добавьте половину соседа плюс 5, если цифра нечетная.
4. Для ведущего 0 вычтите 1 из половины соседа.

Пример: 346 × 4 = 1384.

Работаем справа налево:

(10 − 6) + половина 0 (0) = 4. Запишите 4.

(9 − 4) + половина 6 (3) = 8. Запишите 8.

(9 − 3) + половина от 4 (2) + 5 (так как 3 нечетно) = 13. Запишите 3, перенесите 1.

Половина от 3 (1) − 1 + 1 (несённая) = 1. Запишите 1.

Умножение на 5

Доказательство

${\begin{aligned}R&=T*5\Leftrightarrow \\R&=5*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=(10/2)*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}/2)+10^{n-1}*(c_{n-1}/2)+\ldots +10^{1}*(c_{1}/2)\Leftrightarrow \vdots \Re \to \aleph {\text{: a }}=(a{\text{ div }}b)*b+(a{\bmod {b}})\\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)*2+(c_{n}{\bmod {2}}))/2+10^{n-1}*((c_{n-1}{\text{ div }}2)*2+(c_{n-1}{\bmod {2}}))/2\\&+\ldots +10^{2}*((c_{2}{\text{ div }}2)*2+(c_{2}{\bmod {2}}))/2+10^{1}*((c_{1}{\text{ div }}2)*2+(c_{1}{\bmod {2}}))/2\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)+(c_{n}{\bmod {2}})/2)+10^{n-1}*((c_{n-1}{\text{ div }}2)+(c_{n-1}{\bmod {2}})/2)\\&+\ldots +10^{2}*((c_{2}{\text{ div }}2)+(c_{2}{\bmod {2}})/2)+10^{1}*((c_{1}{\text{ div }}2)+(c_{1}{\bmod {2}})/2)\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*10*(c_{n}{\bmod {2}})/2+10^{n-1}*(c_{n-1}{\text{ div }}2)+10^{n-2}*10*(c_{n-1}{\bmod {2}})/2+10^{n-2}*(c_{n-2}{\text{ div }}2)\\&+\ldots +10^{2}*(c_{2}{\text{ div }}2)+10^{1}*10*(c_{2}{\bmod {2}})/2+(c_{1}{\text{ div }}2))+10^{0}*10*(c_{1}{\bmod {2}})/2\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_{n-1}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_{n}{\bmod {2}})*5+10^{n-2}*(c_{n-2}{\text{ div }}2)+10^{n-2}*(c_{n-1}{\bmod {2}})*5\\&+\ldots +10^{2}*(c_{2}{\text{ div }}2)+10^{2}*(c_{3}{\bmod {2}})*5+10^{1}*(c_{1}{\text{ div }}2)+10^{1}*(c_{2}{\bmod {2}})*5+10^{0}*(c_{1}{\bmod {2}})*5\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*((c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n}{\bmod {2}}<>0;5;0))+10^{n-2}*((c_{n-2}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n-1}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+\ldots +10^{2}*((c_{2}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{3}{\bmod {2}}<>0;5;0))+10^{1}*((c_{1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{2}{\bmod {2}}<>0;5;0))+10^{0}*{\text{ if}}(c_{1}{\bmod {2}}<>0;5;0)\\\\&QED\end{aligned}}$

Правило :

1. Возьмите половину соседа, затем, если текущая цифра нечетная, добавьте 5.

Пример: 42×5=210.

Половина соседа двойки, завершающий ноль, равна 0.

Половина соседа числа 4 равна 1.

Половина соседа ведущего нуля равна 2.

43×5 = 215

Половина соседа числа 3 равна 0, плюс 5, поскольку 3 нечетно, равно 5.

Половина соседа числа 4 равна 1.

Половина соседа ведущего нуля равна 2.

93×5=465

Половина соседа числа 3 равна 0, плюс 5, поскольку 3 нечетно, равно 5.

Половина соседа девятки равна 1, плюс 5, поскольку 9 нечетно, равно 6.

Половина соседа ведущего нуля равна 4.

Умножение на 6

Доказательство

${\begin{aligned}R&=T*6\Leftrightarrow \\R&=6*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=(10/2+1)*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}/2+1*10^{n-1}*c_{n}+10^{n-1}*c_{n-1}/2+1*10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+1*10^{0}*c_{1}\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}/2+10^{n-1}*(c_{n}+c_{n-1}/2)+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+c_{1}\Leftrightarrow \vdots \Re \to \aleph {\text{: a }}=(a{\text{ div }}b)*b+(a{\bmod {b}})\\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)*2+(c_{n}{\bmod {2}}))/2+10^{n-1}*(c_{n}+c_{n-1}/2)+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+c_{1}\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_{n}{\bmod {2}})*5+10^{n-1}*c_{n}+10^{n-1}*((c_{n-1}{\text{ div }}2)*2+(c_{n-1}{\bmod {2}}))/2+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+c_{1}\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_{n}+(c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}((c_{n}{\bmod {2}})<>0;5;0))+10^{n-2}*(c_{n-1}{\bmod {2}})*5+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+c_{1}\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_{n}+(c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}((c_{n}{\bmod {2}})<>0;5;0))\\&+10^{n-2}*(c_{n-1}+(c_{n-2}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}((c_{n-1}{\bmod {2}})<>0;5;0))\\&+\ldots +10^{0}*(c_{1}+{\text{ if}}((c_{1}{\bmod {2}})<>0;5;0))\\\\&QED\end{aligned}}$

Правило:

1. Прибавьте к каждой цифре половину соседа. Если текущая цифра нечетная, добавьте 5.

Пример: 357 × 6 = 2142.

Работаем справа налево:

У 7 нет соседа, прибавьте 5 (поскольку 7 нечетное) = 12. Запишите 2, перенесите 1.

5 + половина от 7 (3) + 5 (так как начальная цифра 5 нечётная) + 1 (несённая) = 14. Запишите 4, перенесите 1.

3 + половина от 5 (2) + 5 (так как 3 нечетное) + 1 (перенесенное) = 11. Запишите 1, перенесите 1.

0 + половина 3 (1) + 1 (несённая) = 2. Запишите 2.

Умножение на 7

Доказательство

${\begin{aligned}R&=T*7\Leftrightarrow \\R&=7*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=(10/2+2)*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \vdots {\mbox{ see proof of method 6}}\\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(2*c_{n}+(c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+10^{n-2}*(2*c_{n-1}+(c_{n-2}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n-1}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+\ldots +10^{1}*(2*c_{2}+(c_{1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{2}{\bmod {2}}<>0;5;0))+2*c_{1}+{\text{ if}}(c_{1}{\bmod {2}}<>0;5;0)\\\\&QED\end{aligned}}$

Правило:

1. Удвойте каждую цифру.
2. Добавьте половину соседа справа (отбросив десятичные дроби, если таковые имеются). Сосед позиции единицы равен 0.
3. Если базовая цифра четная, добавьте 0, в противном случае добавьте 5.
4. Добавьте любой перенос с предыдущего шага.

Пример: 693 × 7 = 4851.

Работаем справа налево:

(3×2) + 0 + 5 + 0 = 11 = перенос 1, результат 1.

(9×2) + 1 + 5 + 1 = 25 = перенос 2, результат 5.

(6×2) + 4 + 0 + 2 = 18 = перенос 1, результат 8.

(0×2) + 3 + 0 + 1 = 4 = результат 4.

Умножение на 8

Доказательство

${\begin{aligned}R&=T*8\Leftrightarrow \\R&=T*4*2\Leftrightarrow \vdots {\mbox{ see proof of method 4}}\\R&=10^{n}*2*(c_{n}/2-1)+10^{n-1}*2*((9-c_{n})+c_{n-1}/2)+10^{n-2}*2*((9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*2*((9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*2*(10-c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+c_{n-1})+\ldots +10^{2}*(2*(9-c_{3})+c_{2})+10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1})+2*(10-c_{1})\\\\&QED\end{aligned}}$

Правило:

1. Вычтите самую правую цифру из 10.
   1. Вычтите оставшиеся цифры из 9.
2. Удвойте результат.
3. Добавьте соседа.
4. Для ведущего нуля вычтите 2 из соседа.

Пример: 456 × 8 = 3648.

Работаем справа налево:

(10 − 6) × 2 + 0 = 8. Запишите 8.

(9 − 5) × 2 + 6 = 14, Запишите 4, перенесите 1.

(9 − 4) × 2 + 5 + 1 (перенесено) = 16. Запишите 6, перенесите 1.

4 − 2 + 1 (несённый) = 3. Запишите 3.

Умножение на 9

Доказательство

${\begin{aligned}R&=T*9\Leftrightarrow \\R&=(10-1)*T\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}-1)+10^{n}+10^{n-1}*(c_{n-1}-1)+10^{n-1}+\ldots +10^{1}*(c_{1}-1)+10^{1}\\&-(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{1}*c_{2}+10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \vdots {\mbox{ see proof of method 4}}\\R&=10^{n}*(c_{n}-1)+10^{n-1}*(9-c_{n}+c_{n-1})+10^{n-2}*(9-c_{n-1}+c_{n-2})+\ldots +10^{1}*(9-c_{2}+c_{1})+10^{0}*(10-c_{1})\\\\&QED\end{aligned}}$

Правило:

1. Вычтите самую правую цифру из 10.
   1. Вычтите оставшиеся цифры из 9.
2. Добавьте соседа в сумму
3. Для ведущего нуля вычтите 1 из соседа.

Для правил 9, 8, 4 и 3 из 10 вычитается только первая цифра. После этого вместо этого каждая цифра вычитается из девяти.

Пример: 2130 × 9 = 19170.

Работаем справа налево:

(10 − 0) + 0 = 10. Пишем 0, переносим 1.

(9 − 3) + 0 + 1 (несённый) = 7. Запишите 7.

(9 − 1) + 3 = 11. Запишите 1, отнесите 1.

(9 − 2) + 1 + 1 (несённый) = 9. Запишите 9.

2 − 1 = 1. Запишите 1.

Умножение на 10

Добавьте 0 (ноль) в качестве самой правой цифры.

Доказательство

${\begin{aligned}R&=T*10\Leftrightarrow \\R&=10*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}+\ldots +10^{1}*c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}$

Умножение на 11

Доказательство

${\begin{aligned}R&=T*11\Leftrightarrow \\R&=T*(10+1)\\R&=10*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})+(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}+10^{n-1}*(c_{n}+c_{n-1})+\ldots +10^{1}*(c_{2}+c_{1})+c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}$

Правило:

1. Добавьте цифру к ее соседу. (Под «соседом» мы подразумеваем цифру справа.)

Пример: $3,425\times 11=37,675$

(0 + 3) (3 + 4) (4 + 2) (2 + 5) (5 + 0)

3 7 6 7 5

Чтобы проиллюстрировать:

11=10+1

Таким образом,

$3425\times 11=3425\times (10+1)$

$\rightarrow 37675=34250+3425$

Умножение на 12

Доказательство

${\begin{aligned}R&=T*12\Leftrightarrow \\R&=T*(10+2)\\R&=10*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})+2*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}+10^{n-1}*(2*c_{n}+c_{n-1})+\ldots +10^{1}*(2*c_{2}+c_{1})+2*c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}$

Правило: умножить на 12 :
Начиная с самой правой цифры, удвойте каждую цифру и добавьте соседа. («Сосед» — это цифра справа.)

Если ответ больше одной цифры, просто перенесите лишнюю цифру (которая будет 1 или 2) в следующую операцию.Оставшаяся цифра — это одна цифра конечного результата.

Пример: $316\times 12$

Определим соседей по множимому 0316:

• цифра 6 не имеет правого соседа
• у цифры 1 есть сосед 6
• у цифры 3 есть сосед 1
• цифра 0 (ноль с префиксом) имеет соседа 3

${\begin{aligned}6\times 2&=12{\text{ (2 carry 1) }}\\1\times 2+6+1&=9\\3\times 2+1&=7\\0\times 2+3&=3\\0\times 2+0&=0\\[10pt]316\times 12&=3,792\end{aligned}}$

Умножение на 13

Доказательство

${\begin{aligned}R&=T*13\Leftrightarrow \\R&=T*(10+3)\\R&=10*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})+3*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}+10^{n-1}*(3*c_{n}+c_{n-1})+\ldots +10^{1}*(3*c_{2}+c_{1})+3*c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}$

Публикации

• Рушан Зиатдинов, Саджид Муса. Система быстрых мысленных вычислений как средство развития алгоритмического мышления учащихся младших классов . European Researcher 25(7): 1105–1110, 2012 г. [1] .
• «Скорая система базовой математики Трахтенберга» , написанная Яковом Трахтенбергом, А. Катлером (переводчиком), Р. МакШейном (переводчиком), была опубликована издательством Doubleday and Company, Inc. Гарден-Сити, Нью-Йорк, в 1960 году.

Книга содержит конкретные алгебраические объяснения каждой из вышеперечисленных операций.

Большая часть информации в этой статье взята из оригинальной книги.

Алгоритмы/операции умножения и т. д. могут быть выражены другими, более компактными способами, которые не указаны в книге, несмотря на главу об алгебраическом описании.

В популярной культуре

Американский фильм 2017 года «Одаренные» вращается вокруг вундеркинда, который в возрасте 7 лет впечатляет своего учителя, производя вычисления в голове с использованием системы Трахтенберга.

Другие системы

В ментальной математике существует множество других методов вычислений. В списке ниже показаны еще несколько методов расчета, хотя они могут быть не совсем мысленными.

• Книга Бхарати Кришны Тиртхи «Ведическая математика ».
• Ментальные счеты . Когда ученики привыкают манипулировать счетами пальцами, их обычно просят произвести расчет, визуализируя счеты в голове. Почти все опытные пользователи счетов умеют выполнять арифметические действия в уме.
• Санбоп

Дальнейшее чтение

• Трахтенберг, Дж. (1960). Система скоростей Трахтенберга базовой математики . Doubleday and Company, Inc., Гарден-Сити, Нью-Йорк, США.
• Катлер Э., МакШейн Р. Система быстрого счета по Трахтенбергу , 1967 (на русском языке) .
• Рушан Зиатдинов, Саджид Муса. « Система быстрых мысленных вычислений как инструмент алгоритмического мышления для развития учащихся начальной школы », European Researcher 25 (7): 1105–1110, 2012.

Внешние ссылки

• Чандрашекхар, Киран. «[Узнайте все о] математических ярлыках», SapnaEdu.in на Wayback Machine (архивировано 30 мая 2018 г.)
• Одаренный (фильм, 2017 г.) , этот фильм больше о системе Трахтенберга , главную роль в которой играет Маккенна Грейс , молодая художница, изучившая эту технику.
• Ведическая математическая академия