Процесс сбора коммутатора

В теории групп , разделе математики , процесс сбора коммутаторов — это метод записи элемента группы в виде произведения образующих и их высших коммутаторов , расположенных в определенном порядке. Процесс сбора коммутатора был представлен Филипом Холлом в 1934 году. ^[1] и сформулирован Вильгельмом Магнусом в 1937 году. ^[2] Этот процесс иногда называют «процессом сбора».

Этот процесс можно обобщить для определения полностью упорядоченного подмножества свободной неассоциативной алгебры, то есть свободной магмы ; это подмножество называется множеством Холла . Членами множества Холла являются бинарные деревья ; их можно поставить во взаимно однозначное соответствие со словами, которые называются словами Холла ; слова Линдона представляют собой особый случай. Множества Холла используются для построения базиса свободной алгебры Ли , что полностью аналогично процессу сбора коммутатора. Слова Холла также обеспечивают уникальную факторизацию моноидов .

Заявление

Процесс сбора коммутатора обычно формулируется для свободных групп , поскольку аналогичная теорема тогда справедлива для любой группы, записывая ее как фактор свободной группы.

Предположим, F ₁ — свободная группа с образующими a ₁ , ..., a _m . Определим нисходящий центральный ряд , положив

F _{п +1} знак равно [ F _п , F ₁ ]

Базовыми коммутаторами являются элементы F ₁ , определенные и упорядоченные следующим образом:

Базовыми коммутаторами веса 1 являются образующие a ₁ , ..., a _m .
Базовые коммутаторы веса w > 1 — это элементы [ x , y ], где x и y — базовые коммутаторы, сумма весов которых равна w , такие, что x > y , и если x = [ u , v ] для базовых коммутаторов u и v , то v ≤ у .

Коммутаторы упорядочены так, что x > y , если вес x больше веса y , а для коммутаторов любого фиксированного веса выбирается некоторый общий порядок.

Тогда Fn _{с базисом ,} / Fn _{состоящим из +1} — конечно порожденная свободная абелева группа базисных коммутаторов веса n .

Тогда любой элемент F можно записать как

g=c_{1}^{n_{1}}c_{2}^{n_{2}}\cdots c_{k}^{n_{k}}c

где c _i — основные коммутаторы веса не более m, расположенные по порядку, c — произведение коммутаторов с весом больше m , а n _i — целые числа .

См. также

Ссылки

^ Холл, Филип (1934), «Вклад в теорию групп простого порядка», Труды Лондонского математического общества , 36 : 29–95, doi : 10.1112/plms/s2-36.1.29
^ В. Магнус (1937), «Об отношениях между высшими коммутаторами», Ж. Грелль 177 , 105–115.

Чтение

Холл, Маршалл (1959), Теория групп , Macmillan, MR 0103215.
Хупперт, Б. (1967), Конечные группы (на немецком языке), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 90–93, ISBN. 978-3-540-03825-2 , МР 0224703 , OCLC 527050

[1] Холл, Филип (1934), «Вклад в теорию групп простого порядка», Труды Лондонского математического общества , 36 : 29–95, doi : 10.1112/plms/s2-36.1.29

[2] В. Магнус (1937), «Об отношениях между высшими коммутаторами», Ж. Грелль 177 , 105–115.

[1]

[2]