Теория Жирарди–Римини–Вебера

Теория Жирарди -Римини-Вебера ( GRW ) — это теория спонтанного коллапса в квантовой механике , предложенная в 1986 году Джанкарло Гирарди , Альберто Римини и Туллио Вебером.

Проблема измерения и самопроизвольные обрушения

Квантовая механика имеет два фундаментально разных динамических принципа: линейное и детерминированное уравнение Шрёдингера и постулат нелинейного и стохастического сокращения волновых пакетов . Ортодоксальная интерпретация, или копенгагенская интерпретация квантовой механики, постулирует коллапс волновой функции каждый раз, когда наблюдатель выполняет измерение. Таким образом, возникает проблема определения того, что такое «наблюдатель» и «измеритель». Другая проблема квантовой механики заключается в том, что она предсказывает суперпозиции макроскопических объектов, которые не наблюдаются в природе (см. парадокс кошки Шрёдингера ). Теория не говорит, где находится порог между микроскопическим и макроскопическим мирами, то есть когда квантовая механика должна оставить место классической механике . Вышеупомянутые вопросы составляют проблему измерения в квантовой механике.

Теории коллапса избегают проблемы измерения, объединяя два динамических принципа квантовой механики в уникальное динамическое описание. Физическая идея, лежащая в основе теорий коллапса, заключается в том, что частицы подвергаются спонтанному коллапсу волновой функции, который происходит случайным образом как во времени (с заданной средней скоростью), так и в пространстве (согласно правилу Борна ). Таким образом, удается избежать неточных «наблюдателей» и «измерений», которые мешают ортодоксальной интерпретации, поскольку волновая функция спонтанно коллапсирует. Более того, благодаря так называемому «механизму усиления» (обсуждаемому позже), теории коллапса восстанавливают как квантовую механику для микроскопических объектов, так и классическую механику для макроскопических объектов.

GRW — первая разработанная теория спонтанного коллапса. В последующие годы было предложено несколько различных моделей. Среди них

• модель CSL , которая сформулирована в терминах идентичных частиц;
• модель Диози -Пенроуза , который связывает спонтанный коллапс с гравитацией;
• модель QMUPL, который доказывает важные математические результаты по теориям коллапса; и
• цветная модель QMUPL, это единственная модель коллапса, включающая цветные случайные процессы, для которой известно точное решение.

Описание

Первое предположение теории GRW состоит в том, что волновая функция (или вектор состояния) представляет собой наиболее точную возможную спецификацию состояния физической системы. Это особенность, которая разделяет теорию GRW со стандартными интерпретациями квантовой механики и отличает ее от теорий скрытых переменных , таких как теория де Бройля-Бома , согласно которой волновая функция не дает полного описания физической системы. Теория GRW отличается от стандартной квантовой механики динамическими принципами, согласно которым развивается волновая функция. Более философские вопросы, связанные с теорией GRW и теориями коллапса в целом, обсуждались Жирарди и Басси.

Принципы работы

• Каждая частица системы описывается многочастичной волновой функцией $|\psi \rangle$ самостоятельно претерпевает процесс спонтанной локализации (или скачка):

$|\psi \rangle \rightarrow {\frac {|\psi _{x}^{i}\rangle }{\sqrt {\langle \psi _{x}^{i}|\psi _{x}^{i}\rangle }}}$ ,

где $|\psi _{x}^{i}\rangle ={\hat {L}}_{x}^{i}|\psi \rangle$ это состояние после оператора ${\hat {L}}_{x}^{i}$ локализовал $i$-я частица вокруг позиции $x$.

• Процесс локализации случайен как в пространстве, так и во времени. Скачки распределены по Пуассону во времени со средней скоростью $\lambda$; плотность вероятности того, что прыжок произойдет в позиции $x$ является $P_{i}(x)=\langle \psi _{x}^{i}|\psi _{x}^{i}\rangle$.
• Оператор локализации имеет гауссову форму:

${\hat {L}}_{x}^{i}=\left({\frac {1}{\pi r_{C}^{2}}}\right)^{\frac {3}{4}}e^{-{\frac {({\hat {q}}_{i}-x)^{2}}{2r_{C}^{2}}}}$ ,

где ${\hat {q}}_{i}$ является оператором позиции $i$-я частица, и $r_{C}$ — расстояние локализации.

• Между двумя процессами локализации волновая функция развивается согласно уравнению Шрёдингера .

Эти принципы можно выразить более компактно с помощью формализма статистических операторов . Поскольку процесс локализации является пуассоновским, за интервал времени $dt$ есть вероятность $\lambda dt$ что происходит коллапс, т.е. что чистое состояние $\rho =|\psi \rangle \langle \psi |$ преобразуется в статистическую смесь

${\hat {T}}_{i}[\rho ]\equiv \int dx\,{\hat {L}}_{x}^{i}|\psi \rangle \langle \psi |{\hat {L}}_{x}^{i}$ .

За этот же промежуток времени существует вероятность $1-\lambda dt$ что система продолжает развиваться согласно уравнению Шредингера. Соответственно, основное уравнение GRW для $N$ частицы читает

${\frac {d}{dt}}\rho (t)=-{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},\rho (t)]-\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\left(\rho (t)-{\hat {T}}_{i}[\rho ]\right)$ ,

где ${\hat {H}}$ – гамильтониан системы, а квадратные скобки обозначают коммутатор .

Теория GRW вводит два новых параметра, а именно скорость коллапса. $\lambda$ и расстояние локализации $r_{C}$. Это феноменологические параметры, значения которых не зафиксированы каким-либо принципом и должны пониматься как новые константы Природы. Сравнение предсказаний модели с экспериментальными данными позволяет ограничить значения параметров (см. модель CSL). Скорость коллапса должна быть такой, чтобы микроскопические объекты почти никогда не локализовались, что эффективно восстанавливает стандартную квантовую механику. Первоначально предложенное значение было $\lambda =10^{-16}\mathrm {s} ^{-1}$, а совсем недавно Стивен Л. Адлер предположил, что значение $\lambda =10^{-8}\mathrm {s} ^{-1}$ (с неопределенностью двух порядков) является более адекватным. Существует общее мнение о ценности $r_{C}=10^{-7}\mathrm {m}$ для расстояния локализации. Это мезоскопическое расстояние, при котором микроскопические суперпозиции остаются неизменными, а макроскопические схлопываются.

Примеры

Когда волновая функция сталкивается с внезапным скачком, действие оператора локализации по существу приводит к умножению волновой функции на гауссиану коллапса.

Рассмотрим волновую функцию Гаусса с разбросом $\sigma$, с центром в $x=a$, и предположим, что при этом происходит процесс локализации в позиции $x=a$. Таким образом, мы имеем (в одном измерении)

$\psi (x)={\frac {1}{(\pi \sigma )^{\frac {1}{4}}}}\,e^{-{\frac {(x-a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\quad \longrightarrow \quad \psi _{a}(x)={\hat {L}}_{x=a}\,\psi (x)={\cal {N}}e^{-{\frac {(x-a)^{2}}{2r_{C}^{2}}}}\,e^{-{\frac {(x-a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$ ,

где ${\cal {N}}$ является коэффициентом нормализации. Предположим далее, что начальное состояние делокализовано, т. е. что $\sigma \gg r_{C}$. В этом случае

$\psi _{a}(x)\simeq {\cal {N}}'e^{-{\frac {(x-a)^{2}}{2r_{C}^{2}}}}$,

где ${\cal {N}}'$ является еще одним фактором нормализации. Таким образом, обнаруживается, что после того, как произошел внезапный скачок, первоначально делокализованная волновая функция стала локализованной.

Другой интересный случай — когда начальное состояние представляет собой суперпозицию двух гауссовских состояний с центром в $x=-a$ и $x=a$ соответственно: $\psi (x)={\frac {1}{2(\pi \sigma )^{\frac {1}{4}}}}\,\left[e^{-{\frac {(x+a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}+e^{-{\frac {(x-a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right]$. Если локализация происходит, например, вокруг $x=a$ у одного есть

$\psi _{a}(x)={\cal {N}}e^{-{\frac {(x-a)^{2}}{2r_{C}^{2}}}}\left[e^{-{\frac {(x+a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}+e^{-{\frac {(x-a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right]={\cal {N}}\left[e^{-{\frac {\sigma ^{2}+r_{C}^{2}}{2\sigma ^{2}r_{C}^{2}}}\,\left(x+{\frac {\sigma ^{2}-r_{C}^{2}}{\sigma ^{2}+r_{C}^{2}}}a\right)^{2}-{\frac {2a^{2}}{\sigma ^{2}+r_{C}^{2}}}}+e^{-{\frac {\sigma ^{2}+r_{C}^{2}}{2\sigma ^{2}r_{C}^{2}}}\,(x-a)^{2}}\right]$.

Если предположить, что каждый гауссиан локализован ( $\sigma \ll r_{C}$) и что общая суперпозиция делокализована ( $2a\gg r_{C}$), можно найти

$\psi _{a}(x)\simeq {\cal {N}}'\left[e^{-{\frac {\left(x+a\right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}-{\frac {2a^{2}}{r_{C}^{2}}}}+e^{-{\frac {(x-a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right]$.

Таким образом, мы видим, что гауссиан, на который влияет локализация, остается неизменным, в то время как другой экспоненциально подавляется.

Механизм усиления

Это одна из наиболее важных особенностей теории GRW, поскольку она позволяет восстановить классическую механику для макроскопических объектов. Рассмотрим твердое тело $N$ частицы, статистический оператор которых развивается в соответствии с основным уравнением, описанным выше. Введем центр масс ( ${\hat {Q}}$) и относительный ( ${\hat {r}}_{i}$) операторы положения, которые позволяют нам переписать оператор положения каждой частицы следующим образом: ${\hat {q}}_{i}={\hat {Q}}+{\hat {r}}_{i}$. Можно показать, что, когда гамильтониан системы можно разложить на гамильтониан центра масс $H_{\mathrm {CM} }$ и относительный гамильтониан $H_{r}$, статистический оператор центра масс $\rho _{\mathrm {CM} }$ развивается согласно следующему главному уравнению:

${\frac {d}{dt}}\rho _{\mathrm {CM} }(t)=-{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}}_{\mathrm {CM} },\rho _{\mathrm {CM} }(t)]-\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\left(\rho _{\mathrm {CM} }(t)-{\hat {T}}_{\mathrm {CM} }[\rho _{\mathrm {CM} }(t)]\right)$,

где

${\hat {T}}_{\mathrm {CM} }[\rho _{\mathrm {CM} }(t)]=\left({\frac {1}{\pi r_{C}^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}\int _{\infty }^{\infty }d^{3}x\,e^{-{\frac {({\hat {Q}}-x)^{2}}{2r_{C}^{2}}}}\,\rho _{\mathrm {CM} }(t)\,e^{-{\frac {({\hat {Q}}-x)^{2}}{2r_{C}^{2}}}}$.

Таким образом, видно, что центр масс коллапсирует со скоростью $\Lambda$ это сумма скоростей его составляющих: это механизм усиления. Если для простоты предположить, что все частицы коллапсируют с одинаковой скоростью $\lambda$, человек просто получает $\Lambda =N\,\lambda$.

Объект, состоящий из числа нуклонов порядка Авогадро ( $N\simeq 10^{23}$) коллапсирует почти мгновенно: значения GRW и Адлера $\lambda$ дать соответственно $\Lambda =10^{7}\,\mathrm {s} ^{-1}$ и $\Lambda =10^{15}\,\mathrm {s} ^{-1}$. Таким образом, гарантируется быстрое уменьшение суперпозиций макроскопических объектов, а теория GRW эффективно восстанавливает классическую механику для макроскопических объектов.

Другие особенности

• Теория GRW делает другие предсказания, чем стандартная квантовая механика . и поэтому может быть проверено на его соответствие (см. модель CSL).
• Шум коллапса неоднократно толкает частицы, вызывая тем самым процесс диффузии ( броуновское движение ). Это вносит в систему постоянное количество энергии, что приводит к нарушению принципа сохранения энергии . Для модели GRW можно показать, что энергия растет линейно со временем со скоростью $\lambda \hbar ^{2}/4mr_{C}^{2}$ , что для макроскопического объекта составляет $\simeq 10^{-14}\mathrm {erg\,\,s} ^{-1}$. Хотя такое увеличение энергии незначительно, эта особенность модели не привлекает внимания. По этой причине было исследовано диссипативное расширение теории GRW.
• Теория GRW не допускает существования одинаковых частиц. Расширение теории идентичными частицами было предложено Тумулкой.
• GRW — это нерелятивистская теория, ее релятивистское расширение для невзаимодействующих частиц было исследовано Тумулкой, в то время как взаимодействующие модели все еще находятся в стадии исследования.
• Главное уравнение теории GRW описывает процесс декогеренции , согласно которому недиагональные элементы статистического оператора подавляются экспоненциально. Это общая черта теории GRW с другими теориями коллапса: теории, включающие белый шум, связаны с Линдблада : основными уравнениями в то время как цветная модель QMUPL следует немарковскому главному уравнению Гаусса.

См. также

• Квантовая декогеренция
• Интерпретация Пенроуза
• Интерпретации квантовой механики