Теоремы о неподвижной точке в бесконечномерных пространствах
В математике ряд теорем о неподвижной точке в бесконечномерных пространствах обобщают теорему Брауэра о неподвижной точке . Они имеют приложения, например, к доказательству теорем существования уравнений в частных производных .
Первым результатом в этой области была теорема Шаудера о неподвижной точке , доказанная в 1930 году Юлиушем Шаудером (предыдущий результат в другом ключе, теорема Банаха о неподвижной точке для сжимающих отображений в полных метрических пространствах, была доказана в 1922 году). За этим последовало немало дальнейших результатов. Одним из способов, благодаря которому теоремы о неподвижной точке такого рода оказали большее влияние на математику в целом, была попытка перенести методы алгебраической топологии , впервые доказанные для конечных симплициальных комплексов , на пространства бесконечной размерности. Например, исследования Жана Лере , основателя теории снопов, стали результатом попыток расширить работу Шаудера.
Теорема Шаудера о неподвижной точке : пусть C — непустое замкнутое выпуклое подмножество пространства V. банахова Если f : C → C непрерывно . с компактным образом, то f имеет неподвижную точку
Теорема Тихонова (Тихонова) о неподвижной точке: Пусть V — локально выпуклое топологическое векторное пространство . Для любого непустого компактного выпуклого множества X в V любая непрерывная функция f : X → X имеет неподвижную точку.
Теорема Браудера о неподвижной точке: пусть K — непустое замкнутое ограниченное выпуклое множество в равномерно выпуклом банаховом пространстве . Тогда любая нерастягивающая функция f : K → K имеет неподвижную точку. (Функция называется нерасширяющим, если для каждого и .)
Другие результаты включают теорему Маркова-Какутани о неподвижной точке (1936-1938) и теорему Рилла-Нардзевского о неподвижной точке (1967) для непрерывных аффинных самоотображений компактных выпуклых множеств, а также теорему Эрла-Гамильтона о неподвижной точке. (1968) для голоморфных самоотображений открытых областей.
Теорема Какутани о неподвижной точке : каждое соответствие, которое отображает компактное выпуклое подмножество локально выпуклого пространства в себя с замкнутым графиком и выпуклыми непустыми изображениями, имеет неподвижную точку.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- Василе Истратеску, Теория неподвижной точки, Введение , Д. Рейдель, Голландия (1981). ISBN 90-277-1224-7 .
- Анджей Гранас и Джеймс Дугунджи , Теория фиксированной точки (2003), Springer-Verlag, Нью-Йорк, ISBN 0-387-00173-5 .
- Уильям А. Кирк и Брейли Симс , Справочник по метрической теории фиксированной точки (2001), Kluwer Academic, Лондон ISBN 0-7923-7073-2 .