Техника треугольника пространства-времени

В физике и математике используется метод треугольной диаграммы пространства-времени (STTD) . также известный как метод Смирнова неполного разделения переменных , представляет собой прямой метод пространственно-временной области для электромагнитных и скалярных волновых движений.

Основные этапы

1. ( Электромагнетизм ) Система уравнений Максвелла сводится к УЧП второго порядка для компонент поля, или потенциалов, или их производных.
2. Пространственные переменные разделяются с помощью удобных разложений в ряды и/или интегральных преобразований, за исключением того, которое остается ограниченным временной переменной, что приводит к УЧП гиперболического типа .
3. Полученное гиперболическое УЧП и одновременно преобразованные начальные условия составляют задачу, которая решается с использованием интегральной формулы Римана–Вольтерра . Это дает общее решение, выраженное через двойной интеграл по треугольной области в пространстве с ограниченными координатами. Затем эта область заменяется более сложной, но меньшей, в которой интегрант существенно отличен от нуля и находится с помощью строго формализованной процедуры с использованием конкретных пространственно-временных треугольных диаграмм (см. ).
4. В большинстве случаев полученные решения при умножении на известные функции ранее выделенных переменных приводят к выражениям, имеющим ясный физический смысл (нестационарные режимы). Однако во многих случаях более явные решения можно найти, суммируя разложения или выполняя обратное интегральное преобразование.

STTD в сравнении с методом функции Грина

Метод STTD принадлежит ко второму из двух основных методов теоретической обработки волн — частотной области и прямой области пространства-времени. Наиболее хорошо зарекомендовавшим себя методом решения неоднородных (связанных с источником) описательных уравнений волнового движения является метод, основанный на методе функции Грина. Джексона» Для обстоятельств, описанных в разделе 6.4 и главе 14 «Классической электродинамики , его можно свести к расчету волнового поля через запаздывающие потенциалы (в частности, потенциалы Льенара–Вихерта ).

Несмотря на определенное сходство методов Грина и методов Римана–Вольтерра (в некоторой литературе функцию Римана называют функцией Римана–Грина ), их применение к задачам волнового движения приводит к различным ситуациям:

• Определения как функции Грина, так и соответствующего решения Грина не уникальны, поскольку оставляют место для добавления произвольного решения однородного уравнения; в некоторых случаях конкретный выбор функции Грина и окончательное решение определяются граничными условиями или правдоподобием и физической допустимостью построенных волновых функций. Функция Римана является решением однородного уравнения, которое дополнительно должно принимать определенное значение в характеристиках и, таким образом, определяется единственным образом.
• В отличие от метода Грина, который обеспечивает частное решение неоднородного уравнения , метод Римана-Вольтерра связан с соответствующей задачей , включающей УЧП и начальные условия:

и именно представление Римана–Вольтерра было использовано Смирновым в « Курсе высшей математики» для доказательства единственности решения поставленной задачи (см. пункт 143).

• В общем случае формула Грина предполагает интегрирование по всей области изменения координат и времени, а интегрирование в решении Римана–Вольтерра проводится в пределах ограниченной области треугольника, обеспечивая ограниченность носителя решения .
• Причинность (единственного) решения Римана–Вольтерра обеспечивается автоматически, без необходимости обращения к дополнительным соображениям, таким как запаздывающий характер аргумента, распространение волны в определенном направлении, конкретный выбор пути интегрирования и т. д. (Обычно описательный уравнения, такие как классическое скалярное волновое уравнение, обладают Т-симметрией . Именно асимметричные по времени начальные условия определяют стрелу времени посредством ограничения области интегрирования в формуле Римана. $t>0$, см. больше в и конкретный пример, приведенный ниже.)
• Функцию Грина можно легко вывести из потенциала Льенара-Вихерта движущегося точечного источника, но конкретное вычисление волновой функции, неизбежно включающее анализ запаздывающего аргумента, может превратиться в довольно сложную задачу, если не использовать специальные методы, такие как параметрический метод. ,

вызываются. Подход Римана-Вольтерра представляет те же или даже более серьезные трудности, особенно когда речь идет об источниках с ограниченным носителем: здесь фактические пределы интегрирования должны быть определены из системы неравенств, включающих пространственно-временные переменные и параметры источника срок. Однако это определение можно строго формализовать с помощью треугольников пространства-времени. Играя ту же роль, что и диаграммы Фейнмана в физике элементарных частиц, STTD обеспечивают строгую и наглядную процедуру определения областей с одинаковым аналитическим представлением области интегрирования в двумерном пространстве, охватываемом неразделенными пространственной переменной и временем.

Недостатки метода

• Метод применим только к задачам, имеющим известную функцию Римана.
• Применение метода и анализ полученных результатов требуют более глубоких знаний специальных функций математической физики (например, оперирования обобщенными функциями , функциями Матье разных видов и функциями Ломмеля двух переменных ), чем метод функций Грина.
• В некоторых случаях окончательные интегралы требуют специального рассмотрения в областях быстрых колебаний функции Римана.

Наиболее важные конкретизации

Общие соображения

Несколько эффективных методов скаляризации электромагнитных задач в ортогональных координатах $x_{1},x_{2},x_{3}$ обсуждались Борисовым в работе. Важнейшими условиями их применимости являются $h_{3}=1$ и $\partial _{3}(h_{1}/h_{2})=0$, где $h_{i},i=1,2,3$ являются метрические коэффициенты (Ламе) (так что квадрат элемента длины равен $ds^{2}=h_{1}^{2}dx_{1}^{2}+h_{2}^{2}dx_{2}^{2}+h_{3}^{2}dx_{3}^{2}$). Примечательно, что это условие выполняется для большинства практически важных систем координат, включая декартову, цилиндрическую и сферическую общего типа.

Для задач движения волн в свободном пространстве основным методом разделения пространственных переменных является применение интегральных преобразований, а для задач генерации и распространения волн в направляющих системах переменные обычно разделяются с помощью разложений по основным функциям. (режимы), удовлетворяющие требуемым граничным условиям на поверхности направляющей системы.

Декартовы и цилиндрические координаты

В картезианском $\left\{x_{1}=x,\;x_{2}=y,\;x_{3}=z\right\}$ и цилиндрические координаты общего типа $\left\{x_{1}=x_{1}(x,y),\;x_{2}=x_{2}(x,y),\;x_{3}=z\right\}$ разделение пространственных переменных приводит к задаче начального значения для гиперболического УЧП, известного как 1D уравнение Клейна – Гордона (KGE).

${\begin{aligned}&\left(\partial _{\tau }^{2}-\partial _{z}^{2}+k^{2}\right)\psi (\tau ,z)=f(\tau ,z)\\&\psi (\tau ,z)=0{\text{ for }}\tau <0\end{aligned}}$

Здесь $\tau$ переменная времени, выраженная в единицах длины с использованием некоторой характеристической скорости (например, скорости света или звука), $k$ - константа, возникшая в результате разделения переменных, и $f(\tau ,z)$ представляет собой часть источникачлен исходного волнового уравнения, остающийся после применения процедур разделения переменных (коэффициент ряда или результатинтегральное преобразование).

В приведенной выше задаче существует известная функция Римана

$R_{k}(\tau ,z;\tau ',z')=J_{0}\left(k{\sqrt {(\tau -\tau ')^{2}-(z-z')^{2}}}\right),$

где $J_{0}(\cdot )$ – функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Канонические переменные ξ , η .

Начальные переменные z , τ .

Простейший STTD, представляющий область интегрирования треугольника, получен из интегральной формулы Римана – Вольтерра .

Переход к каноническим переменным $z,\tau \to \xi ,\eta$ получается простейшая STTD-диаграмма, отражающая прямое применение метода Римана – Вольтерра: с фундаментальной областью интеграции, представленной треугольником пространства-времени MPQ (темно-серым).

Поворот STTD на 45° против часовой стрелки дает более распространенную форму STTD в обычное пространство-время $z,\tau$.

Для однородных начальных условий (единственное ) решение задачи дается формулой Римана

$\psi (\tau ,z)={\frac {1}{2}}\iint \limits _{\triangle MPQ}\,d\tau '\,dz'R(\tau ,z;\tau ',z')f(\tau ',z').$

Эволюцию волнового процесса можно проследить с помощью фиксированной точки наблюдения ( $z={\text{const}}$) последовательно увеличивая высоту треугольника ( $\tau$) или, альтернативно, получение «мгновенного изображения» волновой функции $\psi$ сместив треугольник пространства-времени вдоль $z$ ось ( $\tau ={\text{const}}$).

Более полезные и сложные STTD соответствуют импульсным источникам, поддержка которых ограничена в пространстве-времени. Каждое ограничение приводит к определенным изменениям в STTD, что приводит к уменьшению и усложнению областей интеграции, в которыхПодынтегральная функция по существу отлична от нуля. Ниже приведены примеры наиболее распространенных модификаций и их совместного действия.

Статические ограничения исходной области

STTD для источника, ограниченного слева плоскостью $z=0$, то есть $f(\tau ,z)=0{\text{ for }}z<0$, что имеет место, например, для бегущего источника, распространяющегося вдоль полубесконечного излучателя $l$.

STTD для источника, ограниченного справа плоскостью $z=l$, то есть $f(\tau ,z)=0{\text{ for }}z>l.$

STTD для источника, ограниченного с обеих сторон, т.е. $f(\tau ,z)=0{\text{ for }}z\notin [0,l]$, что имеет место, например, для бегущего источника, распространяющегося вдоль излучателя конечной длины $l$.

Совместное действие ограничений разного типа см. подробности и более сложные примеры

STTD для полубесконечного движущегося импульса источника.

STTD для конечного импульса движущегося источника.

ПВРП для конечного импульса бегущего источника, распространяющегося вдоль полубесконечного излучателя $z\in \left[0,\infty \right)$.

Последовательность общих STTD для «короткого» импульса источника конечной длительности. $T$ распространяющийся вдоль конечного радиатора $z\in [0,l]$ с постоянной скоростью $\beta$. В этом случае источник можно выразить в виде

$f(\tau ,z)=f_{0}(\tau ,z)\times h(z)h(l-z)h\left(\tau -{\frac {z}{\beta }}\right)h\left(T-\tau +{\frac {z}{\beta }}\right),$

где $h(\cdot )$ – ступенчатая функция Хевисайда .

Та же последовательность STTD для «длинного» импульса.

Сферические координаты

В сферической системе координат — которую ввиду общих соображений необходимо представить в последовательности $\left\{x_{1}=\theta ,\;x_{2}=\varphi ,\;x_{3}=r\right\}$, заверяя $h_{3}=1$ - можно скаляризировать задачи для поперечных электрических (TE) или поперечных магнитных (TM) волн, используя функции Боргниса, потенциалы Дебая или векторы Герца. Последующее разделение угловых переменных $\theta ,\varphi$ за счет расширения исходной волновой функции $\psi \left(\tau ,\theta ,\varphi ,r\right)$ и источник

$\;f\left(\tau ,\theta ,\varphi ,r\right)$ с точки зрения

$\left({\begin{array}{c}\sin m\varphi \\\cos m\varphi \end{array}}\right)P_{n}^{(m)}(\cos \theta ),$

где $P_{n}^{(m)}\!\left(\cdot \right)$ – ассоциированный полином Лежандра степени $n$ и заказать $m$, приводит к задаче начального значения для гиперболического Уравнение Эйлера–Пуассона–Дарбу.

${\begin{aligned}&\left(\partial _{\tau }^{2}-\partial _{r}^{2}+{\frac {n(n+1)}{r^{2}}}\right)\psi _{nm}(\tau ,r)=f_{nm}(\tau ,r)\\&\psi _{nm}(\tau ,r)=0{\text{ for }}\tau <0\end{aligned}}$

известно, что он имеет функцию Римана

$R(\tau ,r;\tau ',r')={P_{n}}\left({\frac {r^{2}+{r'}^{2}-(\tau -\tau ')^{2}}{2rr'}}\right),$

где $P_{n}\!\left(\cdot \right)$ – (обычный) полином Лежандра степени $n$.

Эквивалентность решений STTD (Римана) и функции Грина

Метод STTD представляет собой альтернативу классическому методу функции Грина. Ввиду единственности решения рассматриваемой начальной задачи в частном случае нулевых начальных условий решение Римана, полученное с помощью метода STTD, должно совпадать со сверткой причинной функции Грина и исходного члена.

Эти два метода дают, по-видимому, разные описания волновой функции: например, функция Римана в задаче Клейна-Гордона представляет собой функцию Бесселя (которая должна быть проинтегрирована вместе с исходным членом по ограниченной области, представленной фундаментальным треугольником MPQ ), тогда как запаздывающая функция Грина уравнения Клейна – Гордона представляет собой преобразование Фурье мнимого экспоненциального члена (который необходимо проинтегрировать по всей плоскости $z',\tau '$, см., например, гл. 3.1. исх. ) сводимый к

$G_{k}(\tau ,z;\tau ',z')=-{\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dp\,{\rm {e}}^{ip(z-z')}\int \limits _{-\infty }^{\infty }d\Omega \,{\frac {{\rm {e}}^{i\Omega (\tau -\tau ')}}{\Omega ^{2}-p^{2}-k^{2}}}.$

Расширение интеграции в отношении $\Omega$ в комплексную область, используя теорему о вычетах ( с шестами $\Omega _{1,2}$ выбран как $\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\pm {\sqrt {p^{2}+k^{2}+i\varepsilon }}\right)$ для удовлетворения условий причинности ) получим

$G_{k}(\tau ,z;\tau ',z')={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }dp\,{\frac {\sin \left((\tau -\tau '){\sqrt {p^{2}+k^{2}}}\right)}{\sqrt {p^{2}+k^{2}}}}\cos(p(z-z')).$

Используя формулу 3.876-1 Градштейна и Рыжика ,

$\int \limits _{0}^{\infty }dx\,{\frac {\sin(p{\sqrt {x^{2}+a^{2}}})}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}\cos(bx)=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\pi }{2}}J_{0}(a{\sqrt {p^{2}-b^{2}}})&{\text{ for }}&0<b<p\\&0&{\text{ for }}&b>p>0\end{aligned}}\right.\qquad (a>0),$

последнее представление функции Грина сводится к выражению

${\frac {1}{2}}J_{0}\left(k{\sqrt {(\tau -\tau ')^{2}-(z-z')^{2}}}\right)h(\tau -\tau '-|z-z'|),$

где 1/2 — масштабный коэффициент формулы Римана, а $J_{0}(\cdot )$ функция Римана, а ступенчатая функция Хевисайда $h(\cdot )$ уменьшает, ибо $\tau >0$, область интегрирования фундаментального треугольника MPQ , что делает решение функции Грина равным решению, обеспечиваемому методом STTD.

Ссылки и примечания

• В. В. Борисов, Н. М. Реутова, А. Б. Уткин, Электромагнитные волны, создаваемые бегущим импульсом тока с высокочастотным заполнением. Журнал физики A: Mathematical and General , 38 (10), 2225–2240 (2005), doi: 10.1088/0305-4470/38/10/012.
• Борисов В.В. Нестационарные электромагнитные волны . Ленинград: Издательство ЛГУ: Ленинград (1987, на русском языке).