Уравнение Орра – Зоммерфельда

Уравнение Орра -Зоммерфельда в гидродинамике представляет собой уравнение собственных значений , описывающее линейные двумерные режимы возмущения вязкого параллельного потока. Решение уравнений Навье – Стокса для параллельного ламинарного потока может стать неустойчивым, если выполняются определенные условия потока, а уравнение Орра – Зоммерфельда точно определяет, каковы условия гидродинамической устойчивости .

Уравнение названо в честь Уильяма Макфаддена Орра и Арнольда Зоммерфельда , которые вывели его в начале 20 века.

Формулировка

Схематическая диаграмма базового состояния системы. Исследуемое течение представляет собой небольшое возмущение вдали от этого состояния. Хотя базовое состояние параллельно, скорость возмущения имеет компоненты в обоих направлениях.

Уравнение получено путем решения линеаризованной версии уравнения Навье–Стокса для поля скорости возмущения

$\mathbf {u} =\left(U(z)+u'(x,z,t),0,w'(x,z,t)\right)$,

где $(U(z),0,0)$ – невозмущенный или основной поток. Скорость возмущения имеет волнообразное решение $\mathbf {u} '\propto \exp(i\alpha (x-ct))$ (реальная часть понятна). Используя эти знания и представление функции тока для потока, получается следующая размерная форма уравнения Орра – Зоммерфельда:

${\frac {\mu }{i\alpha \rho }}\left({d^{2} \over dz^{2}}-\alpha ^{2}\right)^{2}\varphi =(U-c)\left({d^{2} \over dz^{2}}-\alpha ^{2}\right)\varphi -U''\varphi$,

где $\mu$ – динамическая вязкость жидкости, $\rho$ это его плотность , и $\varphi$ – потенциал или функция потока. В случае нулевой вязкости ( $\mu =0$), уравнение сводится к уравнению Рэлея . Уравнение можно записать в безразмерной форме, измеряя скорости в соответствии с масштабом, заданным некоторой характеристической скоростью. $U_{0}$, и измеряя длину в зависимости от глубины канала $h$. Тогда уравнение примет вид

${1 \over i\alpha \,Re}\left({d^{2} \over dz^{2}}-\alpha ^{2}\right)^{2}\varphi =(U-c)\left({d^{2} \over dz^{2}}-\alpha ^{2}\right)\varphi -U''\varphi$,

где

$Re={\frac {\rho U_{0}h}{\mu }}$

– число Рейнольдса основного потока. Соответствующими граничными условиями являются граничные условия прилипания вверху и внизу канала. $z=z_{1}$ и $z=z_{2}$,

$\alpha \varphi ={d\varphi \over dz}=0$ в $z=z_{1}$ и $z=z_{2},$ в случае, когда $\varphi$ – потенциальная функция.

Или:

$\alpha \varphi ={d\varphi \over dx}=0$ в $z=z_{1}$ и $z=z_{2},$ в случае, когда $\varphi$ — функция потока.

Параметр собственного значения задачи $c$ и собственный вектор $\varphi$. Если мнимая часть скорости волны $c$ положительно, то основной поток неустойчив и малое возмущение, вносимое в систему, усиливается во времени.

Решения

Для всех профилей скорости, кроме простейших. $U$, для расчета решений необходимы численные или асимптотические методы. Некоторые типичные профили потока обсуждаются ниже. В общем случае спектр уравнения дискретен и бесконечен для ограниченного потока, тогда как для неограниченных потоков (таких как течение в пограничном слое ) спектр содержит как непрерывную, так и дискретную части.

Спектр оператора Орра–Зоммерфельда для течения Пуазейля в критичности.

Дисперсионные кривые течения Пуазейля для различных чисел Рейнольдса.

Для плоского потока Пуазейля было показано, что поток неустойчив (т.е. одно или несколько собственных значений $c$ имеет положительную мнимую часть) для некоторых $\alpha$ когда $Re>Re_{c}=5772.22$ и нейтрально-устойчивый режим при $Re=Re_{c}$ имея $\alpha _{c}=1.02056$, $c_{r}=0.264002$. Чтобы увидеть свойства устойчивости системы, принято строить дисперсионную кривую, то есть график скорости роста ${\text{Im}}(\alpha {c})$ как функция волнового числа $\alpha$.

На первом рисунке показан спектр уравнения Орра–Зоммерфельда при перечисленных выше критических значениях. Это график собственных значений (в виде $\lambda =-i\alpha {c}$) в комплексной плоскости. Крайнее правое собственное значение является наиболее нестабильным. При критических значениях числа Рейнольдса и волнового числа самое правое собственное значение равно нулю. Для более высоких (меньших) значений числа Рейнольдса крайнее правое собственное значение смещается в положительную (отрицательную) половину комплексной плоскости. Тогда более полную картину свойств устойчивости дает график функциональной зависимости этого собственного значения; это показано на втором рисунке.

С другой стороны, спектр собственных значений потока Куэтта указывает на стабильность при всех числах Рейнольдса. Однако в экспериментах обнаружено, что течение Куэтта неустойчиво к небольшим, но конечным возмущениям, для которых линейная теория и уравнение Орра – Зоммерфельда неприменимы. Утверждалось, что ненормальность проблемы собственных значений, связанной с потоком Куэтта (и, более того, Пуазейля), может объяснить наблюдаемую нестабильность. То есть собственные функции оператора Орра – Зоммерфельда полны, но неортогональны. Тогда в энергию возмущения входят вклады всех собственных функций уравнения Орра–Зоммерфельда. Даже если энергия, связанная с каждым собственным значением, рассматриваемым отдельно, экспоненциально затухает во времени (как предсказывает анализ Орра – Зоммерфельда для потока Куэтта), перекрестные члены, возникающие из-за неортогональности собственных значений, могут временно увеличиваться. Таким образом, полная энергия кратковременно возрастает (прежде чем асимптотически стремиться к нулю). Аргумент состоит в том, что если величина этого переходного роста достаточно велика, он дестабилизирует ламинарный поток, однако этот аргумент не получил всеобщего признания.

Нелинейная теория, объясняющая переход, также было предложено. Хотя эта теория действительно включает линейный переходный рост, основное внимание уделяется трехмерным нелинейным процессам, которые, как предполагается, лежат в основе перехода к турбулентности в сдвиговых потоках. Теория привела к построению так называемых полных трехмерных стационарных состояний, бегущих волн и периодических по времени решений уравнений Навье-Стокса, которые отражают многие ключевые особенности переходных и когерентных структур, наблюдаемых в пристеночной области турбулентного сдвига. течет. Несмотря на то, что «решение» обычно подразумевает существование аналитического результата, в механике жидкостей принято называть численные результаты «решениями» - независимо от того, удовлетворяют ли приближенные решения уравнениям Навье-Стокса математически удовлетворительным образом или нет. . Постулируется, что переход к турбулентности предполагает динамическое состояние жидкости, развивающееся от одного решения к другому. Таким образом, теория основана на реальном существовании таких решений (многие из которых еще предстоит наблюдать в физической экспериментальной установке). Такое ослабление требований к точным решениям обеспечивает большую гибкость, поскольку точные решения чрезвычайно трудно получить (в отличие от численных решений) за счет строгости и (возможно) правильности. Таким образом, хотя он и не такой строгий, как предыдущие подходы к переходу, он приобрел огромную популярность.

Недавно было предложено распространение уравнения Орра–Зоммерфельда на течение в пористых средах.

Математические методы для течений со свободной поверхностью

Для течения Куэтта можно добиться математического прогресса в решении уравнения Орра – Зоммерфельда. В этом разделе приведена демонстрация этого метода для случая течения со свободной поверхностью, т. е. когда верхняя крышка канала заменена свободной поверхностью. Прежде всего отметим, что необходимо модифицировать верхние граничные условия с учетом свободной поверхности. В безразмерной форме эти условия теперь звучат так:

$\varphi ={d\varphi \over dz}=0,$ в $z=0$,

${\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}+\alpha ^{2}\varphi =0$, $\Omega \equiv {\frac {d^{3}\varphi }{dz^{3}}}+i\alpha Re\left[\left(c-U\left(z_{2}=1\right)\right){\frac {d\varphi }{dz}}+\varphi \right]-i\alpha Re\left({\frac {1}{Fr}}+{\frac {\alpha ^{2}}{We}}\right){\frac {\varphi }{c-U\left(z_{2}=1\right)}}=0,$ в $\,z=1$.

Первое условие свободной поверхности — это утверждение о непрерывности касательного напряжения, а второе условие связывает нормальное напряжение с поверхностным натяжением. Здесь

$Fr={\frac {U_{0}^{2}}{gh}},\,\,\ We={\frac {\rho u_{0}^{2}h}{\sigma }}$

– числа Фруда и Вебера соответственно.

Для течения Куэтта $U\left(z\right)=z$, четыре линейно независимых решения безразмерного уравнения Орра – Зоммерфельда:

$\chi _{1}\left(z\right)=\sinh \left(\alpha z\right),\qquad \chi _{2}\left(z\right)=\cosh \left(\alpha z\right)$,

$\chi _{3}\left(z\right)={\frac {1}{\alpha }}\int _{\infty }^{z}\sinh \left[\alpha \left(z-\xi \right)\right]Ai\left[e^{i\pi /6}\left(\alpha Re\right)^{1/3}\left(\xi -c-{\frac {i\alpha }{Re}}\right)\right]d\xi ,$

$\chi _{4}\left(z\right)={\frac {1}{\alpha }}\int _{\infty }^{z}\sinh \left[\alpha \left(z-\xi \right)\right]Ai\left[e^{5i\pi /6}\left(\alpha Re\right)^{1/3}\left(\xi -c-{\frac {i\alpha }{Re}}\right)\right]d\xi ,$

где $Ai\left(\cdot \right)$ – функция Эйри первого рода. Замена суперпозиции решения $\varphi =\sum _{i=1}^{4}c_{i}\chi _{i}\left(z\right)$ в четыре граничных условия дает четыре уравнения с четырьмя неизвестными константами $c_{i}$. Чтобы уравнения имели нетривиальное решение, необходимо определяющее условие

$\left|{\begin{array}{cccc}\chi _{1}\left(0\right)&\chi _{2}\left(0\right)&\chi _{3}\left(0\right)&\chi _{4}\left(0\right)\\\chi _{1}'\left(0\right)&\chi _{2}'\left(0\right)&\chi _{3}'\left(0\right)&\chi _{4}'\left(0\right)\\\Omega _{1}\left(1\right)&\Omega _{2}\left(1\right)&\Omega _{3}\left(1\right)&\Omega _{4}\left(1\right)\\\chi _{1}''\left(1\right)+\alpha ^{2}\chi _{1}\left(1\right)&\chi _{2}''\left(1\right)+\alpha ^{2}\chi _{2}\left(1\right)&\chi _{3}''\left(1\right)+\alpha ^{2}\chi _{3}\left(1\right)&\chi _{4}''\left(1\right)+\alpha ^{2}\chi _{4}\left(1\right)\end{array}}\right|=0$

должен быть удовлетворен. Это единственное уравнение с неизвестным c , которое можно решить численно или асимптотическими методами. Можно показать, что для диапазона волновых чисел $\alpha$ а при достаточно больших числах Рейнольдса скорость роста $\alpha c_{\text{i}}$ является положительным.

См. также

• Гравитационные события, влияющие на кометы и астероиды
• Гравитационная волна
• Ли машет рукой
• Волна-убийца

Дальнейшее чтение

• Орр, W.M'F. (1907). «Устойчивость или неустойчивость установившихся движений жидкости. Часть I». Труды Королевской ирландской академии . 27 :9–68.
• Орр, W.M'F. (1907). «Устойчивость или неустойчивость установившихся движений жидкости. Часть II». Труды Королевской ирландской академии . 27 : 69–138.
• Зоммерфельд, А. (1908). «Вклад в гидродинамическое объяснение турбулентных движений жидкости». Материалы IV Международного конгресса математиков . Том III. Рим. стр. 116–124. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )