Модель Диксита – Стиглица

Модель Диксита-Стиглица — это модель монополистической конкуренции, разработанная Авинашем Дикшитом и Джозефом Стиглицем (1977). Он использовался во многих областях экономики, включая макроэкономику , экономическую географию и теорию международной торговли . Модель формализует предпочтения потребителей в отношении разнообразия продуктов с помощью функции CES . Предыдущие попытки создать модель, учитывающую предпочтения сортов (например, Гарольда Хотеллинга ) модель местоположения , были косвенными и не смогли обеспечить легко интерпретируемую и удобную форму для дальнейшего изучения. В модели Диксита-Стиглица предпочтение разнообразия присуще предположению о монотонности предпочтений , поскольку потребитель с такими предпочтениями предпочитает иметь среднее значение любых двух наборов товаров, а не крайности.

Математический вывод

Модель начинается со стандартной служебной функции CES :

$u=\left[\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}\right]^{\frac {\sigma }{\sigma -1}}$

где N — количество доступных товаров, x _i — количество товара i, а σ — эластичность замещения . Наложение ограничения σ > 1 гарантирует, что предпочтения будут выпуклыми и, следовательно, монотонными для любого диапазона оптимизации. Кроме того, все CES функции однородны степени 1 и, следовательно, представляют однородные предпочтения .

Кроме того, у потребителя есть бюджетный набор , определяемый:

$B=\{{\boldsymbol {x}}:\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}\leq M\}$

Для любого рационального потребителя цель состоит в том, чтобы максимизировать свои функции полезности с учетом бюджетного ограничения (M), которое устанавливается экзогенно . потребителя Такой процесс позволяет нам рассчитать маршаллов спрос . Математически это означает, что потребитель работает над достижением:

$\max\{u=[\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}]^{\frac {\sigma }{\sigma -1}}\}\ st.\ {\boldsymbol {x}}\in B$

Поскольку функции полезности являются порядковыми , а не кардинальными, любое монотонное преобразование функции полезности представляет одни и те же предпочтения. Таким образом, описанная выше задача оптимизации с ограничениями аналогична:

$\max\{u=\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}\}\ st.\ {\boldsymbol {x}}\in B$

с $f(u)=u^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}$ строго возрастает.

Используя множитель Лагранжа, мы можем преобразовать приведенную выше основную задачу в двойственную, представленную ниже (см. Двойственность ).

$\nabla =\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}-\lambda [\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}-M]$

Беря условия первого порядка двух товаров x _i и x _j, мы имеем

$\nabla x_{i}={\frac {\sigma -1}{\sigma }}x_{i}^{-{\frac {1}{\sigma }}}-\lambda p_{i}=0$

$\nabla x_{j}={\frac {\sigma -1}{\sigma }}x_{j}^{-{\frac {1}{\sigma }}}-\lambda p_{j}=0$

деление через:

$({\frac {x_{i}}{x_{j}}})^{-{\frac {1}{\sigma }}}={\frac {p_{i}}{p_{j}}}$

таким образом,

$p_{j}x_{j}=p_{i}^{\sigma }x_{i}p_{j}^{1-\sigma }$

суммируя левую и правую части по 'j' и используя тот факт, что $\sum _{j=1}^{N}p_{j}x_{j}=M$ у нас есть

$M=p_{i}^{\sigma }x_{i}P^{1-\sigma }$

где P — индекс цен, представленный как $P=(\sum _{j=1}^{N}p_{j}^{1-\sigma })^{\frac {1}{1-\sigma }}$

Следовательно, функция спроса Маршалла имеет вид:

$x_{i}={\frac {M}{P}}({\frac {p_{i}}{P}})^{-\sigma }$

В условиях монополистической конкуренции , когда товары являются почти идеальными заменителями, цены, вероятно, будут относительно близкими. Следовательно, предполагая $p_{i}=p$ у нас есть:

$x_{i}^{m}(\mathbf {p} ,M)={\frac {M}{Np}}$

Отсюда мы видим, что косвенная функция полезности будет иметь вид

$v(\mathbf {p} ,x_{i}^{m})=\left(\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {M}{Np}}\right)^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}\right)^{\frac {\sigma }{\sigma -1}}$

следовательно,

$v(\mathbf {p} ,x_{i}^{m})={\frac {M}{p}}N^{\frac {1}{\sigma -1}}$

поскольку σ > 1, мы обнаруживаем, что полезность строго увеличивается с увеличением N, а это означает, что потребители становятся в строгом лучшем положении по мере увеличения разнообразия, т. е. количества предлагаемых продуктов.

Вывод также может быть выполнен с использованием континуума разновидностей без существенной разницы в подходе.

Дальнейшее чтение

• Брэкман, Стивен; Хейдра, Бен Дж., ред. (2001). Революция монополистической конкуренции в ретроспективе . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-81991-1 .