Теорема Зигеля о целых точках

В математике определенной теорема Зигеля о целых точках что для гладкой алгебраической кривой C рода утверждает , g, над числовым полем K , представленной в аффинном пространстве в данной системе координат, существует только конечное число точек на C с координатами в кольце целые числа O из K при условии, что g > 0.

Теорема была впервые доказана в 1929 году Карлом Людвигом Зигелем и стала первым крупным результатом о диофантовых уравнениях , которые зависели только от рода, а не от какой-либо специальной алгебраической формы уравнений. Для g > 1 она была заменена теоремой Фалтингса в 1983 году.

История [ править ]

В 1926 году Сигел эффективно доказал теорему в частном случае. $g=1$ , так что он доказал эту теорему условно при условии, что гипотеза Морделла верна.

В 1929 году Сигел безоговорочно доказал теорему, объединив версию теоремы Туэ-Зигеля-Рота из диофантовой аппроксимации с теоремой Морделла-Вейля из диофантовой геометрии (требуемой в версии Вейля для применения к якобиану многообразия C ) .

В 2002 году Умберто Заньер и Пьетро Корвая дали новое доказательство, используя новый метод, основанный на теореме о подпространстве . ^[1]

Действующие версии [ править ]

Результат Сигела оказался неэффективным для $g\geq 2$ (см. эффективные результаты в теории чисел ), поскольку метод Туэ в диофантовом приближении также неэффективен при описании возможных очень хороших рациональных приближений почти всех алгебраических чисел степени $d\geq 5$ . Сигел доказал это эффективно только в частном случае. $g=1$ в 1926 году. Эффективные результаты в некоторых случаях дает метод Бейкера .

См. также [ править ]

Диофантова геометрия

Ссылки [ править ]

^ Корвая П. и Заньер У. «Подход к целым точкам на кривых на основе теоремы о подпространстве», Compte Rendu Acad. Sci., 334, 2002, стр. 267–271. два : 10.1016/S1631-073X(02)02240-9

Бомбьери, Энрико ; Габлер, Уолтер (2006). Высоты в диофантовой геометрии . Новые математические монографии. Том. 4. Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-71229-3 . Збл 1130.11034 .
Ланг, Серж (1978). Эллиптические кривые: Диофантов анализ . Основные принципы математических наук. Том 231. С. 128–153. ISBN 3-540-08489-4 . Збл 0388.10001 .
Сигель, Карл Людвиг (1929). «О некоторых приложениях диофантовых приближений». Труды Прусской академии наук (на немецком языке).

[1] Корвая П. и Заньер У. «Подход к целым точкам на кривых на основе теоремы о подпространстве», Compte Rendu Acad. Sci., 334, 2002, стр. 267–271. два : 10.1016/S1631-073X(02)02240-9

[1]