Теорема о разложении Бейлинсона, Бернштейна и Делиня

В математике, особенно в алгебраической геометрии , теорема о разложении Бейлинсона, Бернштейна и Делиня или теорема о разложении BBD представляет собой набор результатов, касающихся когомологий алгебраических многообразий . Первоначально это предположение было высказано Гельфандом и Макферсоном. ^[1]

Заявление

Разложение для гладких правильных отображений

Первый случай теоремы о разложении возникает из жесткой теоремы Лефшеца , которая дает изоморфизмы для гладкого собственного отображения $f:X\to Y$ относительной размерности d между двумя проективными многообразиями ^[2]

-\cup \eta ^{i}:R^{d-i}f_{*}(\mathbb {Q} ){\stackrel {\cong }{\to }}R^{d+i}f_{*}(\mathbb {Q} ).

Здесь $\eta$ — фундаментальный класс гиперплоского сечения , $f_{*}$ это прямое изображение (продвижение вперед) и $R^{n}f_{*}$ — n -й производный функтор прямого образа. Этот производный функтор измеряет n -ые когомологии $f^{-1}(U)$ , для $U\subset Y$ .Фактически, частный случай, когда Y является точкой, сводится к изоморфизму

-\cup \eta ^{i}:H^{d-i}(X,\mathbb {Q} ){\stackrel {\cong }{\to }}H^{d+i}(X,\mathbb {Q} ).

Этот жесткий изоморфизм Лефшеца индуцирует канонические изоморфизмы.

Rf_{*}(\mathbb {Q} ){\stackrel {\cong }{\to }}\bigoplus _{i=-d}^{d}R^{d+i}f_{*}(\mathbb {Q} )[-d-i].

Более того, шкивы $R^{d+i}f_{*}\mathbb {Q}$ в этом разложении появляются локальные системы , т. е. локально свободные пучки Q -векторных пространств, которые при этом являются полупростыми, т. е. представляют собой прямую сумму локальных систем без нетривиальных локальных подсистем.

Разложение для правильных отображений

Теорема о разложении обобщает этот факт на случай правильного, но не обязательно гладкого отображения. $f:X\to Y$ между сортами. Короче говоря, приведенные выше результаты остаются верными, даже когда понятие локальных систем заменяется извращенными пучками .

Приведенная выше жесткая теорема Лефшеца принимает следующую форму: ^[3]^[4] существует изоморфизм в производной категории пучков на Y :

{}^{p}H^{-i}(Rf_{*}\mathbb {Q} )\cong {}^{p}H^{+i}(Rf_{*}\mathbb {Q} ),

где $Rf_{*}$ - полный производный функтор $f_{*}$ и ${}^{p}H^{i}$ является i -м усечением по отношению к извращенной t-структуре .

Более того, существует изоморфизм

Rf_{*}IC_{X}^{\bullet }\cong \bigoplus _{i}{}^{p}H^{i}(Rf_{*}IC_{X}^{\bullet })[-i].

где слагаемые представляют собой полупростые перверсивные пучки, что означает, что они представляют собой прямые суммы перемещений пучков когомологий пересечения. ^[5]

Если X не является гладким, то приведенные выше результаты остаются верными, когда $\mathbb {Q} [\dim X]$ заменяется комплексом пересечения когомологий $IC$ . ^[3]

Доказательства

Теорему о разложении впервые доказали Бейлинсон, Бернштейн и Делинь. ^[6] Их доказательство основано на использовании весов на l-адических пучках положительной характеристики. Другое доказательство с использованием смешанных модулей Ходжа было дано Сайто. Более геометрическое доказательство, основанное на понятии полумалых отображений, было дано де Катальдо и Мильорини. ^[7]

Для полумалых карт теорема о разложении применима и к мотивам Чжоу . ^[8]

Приложения теоремы

Когомологии рационального карандаша Лефшеца

Рассмотрим рациональный морфизм $f:X\rightarrow \mathbb {P} ^{1}$ из гладкого квазипроективного многообразия, заданного формулой $[f_{1}(x):f_{2}(x)]$ . Если мы установим исчезающее множество $f_{1},f_{2}$ как $Y$ тогда существует индуцированный морфизм ${\tilde {X}}=Bl_{Y}(X)\to \mathbb {P} ^{1}$ . Мы можем вычислить когомологии $X$ из когомологий пересечения $Bl_{Y}(X)$ и вычитая когомологии из раздутия вдоль $Y$ . Это можно сделать с помощью извращенной спектральной последовательности

E_{2}^{l,m}=H^{l}(\mathbb {P} ^{1};{}^{\mathfrak {p}}{\mathcal {H}}^{m}(IC_{\tilde {X}}^{\bullet }(\mathbb {Q} ))\Rightarrow IH^{l+m}({\tilde {X}};\mathbb {Q} )\cong H^{l+m}(X;\mathbb {Q} )

Теорема о локальном инвариантном цикле

Позволять $f:X\to Y$ — собственный морфизм комплексных алгебраических многообразий такой, что $X$ гладкий. Кроме того, пусть $y_{0}$ быть регулярным значением $f$ то есть в открытом шаре B с центром в $y$ . Тогда карта ограничений

\operatorname {H} ^{*}(f^{-1}(y),\mathbb {Q} )=\operatorname {H} ^{*}(f^{-1}(B),\mathbb {Q} )\to \operatorname {H} ^{*}(f^{-1}(y_{0}),\mathbb {Q} )^{\pi _{1,{\textrm {loc}}}}

является сюръективным, где $\pi _{1,{\textrm {loc}}}$ является фундаментальной группой пересечения $B$ с набором регулярных значений f . ^[9]

Ссылки

^ Гипотеза 2.10. Сергея Гельфанда и Роберта Макферсона, Модули Верма и ячейки Шуберта: Словарь.
^ Делинь, Пьер (1968), «Теорема Лефшеца и критерии вырождения спектральных последовательностей» , Опубл. Математика. Инст. Высшие исследования Sci. , 35 : 107–126, doi : 10.1007/BF02698925 , S2CID 121086388 , Zbl 0159.22501
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Бейлинсон, Бернштейн и Делин 1982 , Теорема 6.2.10. Примечание. Если быть точным, речь идет о разложении.
^ Макферсон 1990 , Теорема 1.12. NB: Точнее, речь идет о разложении.
^ Бейлинсон, Бернштейн и Делин 1982 , Теорема 6.2.5.
^ Бейлинсон, Александр А .; Бернштейн, Джозеф ; Делинь, Пьер (1982). «Извращенные связки». Звездочка (на французском языке). 100 . Математическое общество Франции, Париж.
^ де Катальдо, Марк Андреа ; Мильорини, Лука (2005). «Теория Ходжа алгебраических отображений» . Научные анналы Высшей нормальной школы . 38 (5): 693–750. arXiv : математика/0306030 . Бибкод : 2003math......6030D . дои : 10.1016/j.ansens.2005.07.001 . S2CID 54046571 .
^ де Катальдо, Марк Андреа ; Мильорини, Лука (2004), «Мотив Чоу полумалых разрешений», Math. Рез. Летт. , 11 (2–3): 151–170, arXiv : math/0204067 , doi : 10.4310/MRL.2004.v11.n2.a2 , MR 2067464 , S2CID 53323330
^ де Катальдо, 2015 , Теорема 1.4.1.

Обзорные статьи

де Катальдо, Марк (2015), Перверсивные пучки и топология алгебраических многообразий. Пять лекций на PCMI 2015 г. (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 21 ноября 2015 г. , получено 19 августа 2017 г.
де Катальдо, Марк; Мильджорини, Лука, Теорема о разложении, извращенные пучки и топология алгебраических карт (PDF)
Макферсон, Р. (1990). «Гомологии пересечений и перверсивные пучки» (PDF) .

Педагогические ссылки

Хотта, Такеучи, Киёси, Тошиюки, D-модули, перверсивные пучки и теория представлений;

Дальнейшее чтение

Теорема о разложении BBDG в nLab

[1] Гипотеза 2.10. Сергея Гельфанда и Роберта Макферсона, Модули Верма и ячейки Шуберта: Словарь.

[2] Делинь, Пьер (1968), «Теорема Лефшеца и критерии вырождения спектральных последовательностей» , Опубл. Математика. Инст. Высшие исследования Sci. , 35 : 107–126, doi : 10.1007/BF02698925 , S2CID 121086388 , Zbl 0159.22501

[cohomology_decomposition-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Бейлинсон, Бернштейн и Делин 1982 , Теорема 6.2.10. Примечание. Если быть точным, речь идет о разложении.

[4] Макферсон 1990 , Теорема 1.12. NB: Точнее, речь идет о разложении.

[5] Бейлинсон, Бернштейн и Делин 1982 , Теорема 6.2.5.

[6] Бейлинсон, Александр А .; Бернштейн, Джозеф ; Делинь, Пьер (1982). «Извращенные связки». Звездочка (на французском языке). 100 . Математическое общество Франции, Париж.

[7] де Катальдо, Марк Андреа ; Мильорини, Лука (2005). «Теория Ходжа алгебраических отображений» . Научные анналы Высшей нормальной школы . 38 (5): 693–750. arXiv : математика/0306030 . Бибкод : 2003math......6030D . дои : 10.1016/j.ansens.2005.07.001 . S2CID 54046571 .

[8] де Катальдо, Марк Андреа ; Мильорини, Лука (2004), «Мотив Чоу полумалых разрешений», Math. Рез. Летт. , 11 (2–3): 151–170, arXiv : math/0204067 , doi : 10.4310/MRL.2004.v11.n2.a2 , MR 2067464 , S2CID 53323330

[9] де Катальдо, 2015 , Теорема 1.4.1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]