Алексей Погорелов

Алексей Погорелов
Алексей Васильевич Погорелов
Рожденный	( 1919-03-03 ) 3 марта 1919 г. Korocha , Kursk Governorate , Russian Empire
Умер	17 декабря 2002 г. (17 декабря 2002 г.) (83 года) Москва , Россия
Альма-матер	Харьковский университет
Известный	Теорема единственности Погорелова Теорема Поголерова Alexandrov–Pogorelov theorem
Награды	Сталинская премия (1950). Премия Лобачевского (1959). Ленинская премия (1962).
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Харьковский университет Физико-технический институт низких температур им. Веркина Математический институт им. Стеклова
Научные консультанты	Николай Ефимов Aleksandr Aleksandrov

Алексей Васильевич Погорелов 3 . — ( , математик 17 декабря 2002) советский марта 1919 Специалист в области выпуклых и дифференциальная геометрия , геометрические УЧП и теория упругих оболочек, автор нового школьного учебника по геометрии и университетских учебников по аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и основам геометрии.

теорема единственности Погорелова и теорема Александрова–Погорелова Его именем названы .

Биография

Он родился в Короче в крестьянской семье. В 1931 году из-за коллективизации родители Погорелова бежали из села в Харьков , где его отец стал рабочим на строительстве Харьковского тракторного завода. В 1935 году Погорелов завоевал первую премию на математической олимпиаде в Харьковском государственном университете . После окончания средней школы в 1937 году он поступил на математический факультет Харьковского государственного университета. Он был лучшим студентом кафедры.

В 1941 году, после вступления Советского Союза во Вторую мировую войну , Погорелова направили на 11-месячное обучение в Военно-воздушную инженерную академию имени Н.Ю. Жуковского. Во время учебы студентов периодически отправляли на несколько месяцев на фронт в качестве техников по авиационному обслуживанию. После победы Красной Армии над фашистами под Москвой обучение продолжалось полный срок. После окончания академии работал в Центральном аэрогидродинамическом институте (ЦАГИ) им. Н.Ю. Жуковского инженером-конструктором.

Желание закончить университетское образование и профессионально специализироваться по геометрии привело Погорелова в МГУ. По рекомендации И.Г. Петровского (декана механико-математического факультета) и известного геометра В.Ф. Кагана Погорелов познакомился с А.Д. Александровым – основоположником теории негладких выпуклых поверхностей. По этой теории возникло много новых вопросов. Александров предложил дать ответ на один из них Погорелову. Через год проблема была решена и Погорелов был зачислен в аспирантуру механико-математического факультета МГУ. Николай Ефимов стал его научным руководителем по вопросам теории Александрова. После защиты кандидатской диссертации. В 1947 году, защитив диссертацию, он был демобилизован и переехал в Харьков, где начал работать в математическом институте Харьковского государственного университета и на кафедре геометрии университета. В 1948 году защитил докторскую диссертацию. В 1951 г. он стал членом-корреспондентом АН Украины, в 1960 г. — членом-корреспондентом АН СССР (Отдел физико-математических наук). В 1961 году он стал академиком Академии наук Украины. В 1976 году он стал академиком АН СССР (отделение математики). С 1950 по 1960 год он был заведующим кафедрой геометрии Харьковского государственного университета. С 1960 по 2000 год был заведующим отделом геометрии в Физико-технический институт низких температур им. Веркина Национальной академии наук Украины.

С 2000 года жил в Москве и работал в Математическом институте им. Стеклова .

Умер 17 декабря 2002 года и похоронен в Москве на Николо-Архангельском кладбище.

Научные интересы

К началу 20 века были разработаны методы решения локальных задач, связанных с регулярными поверхностями. К тридцатым годам были разработаны методы решения задач геометрии «в целом». Эти методы были связаны главным образом с теорией уравнений в частных производных. Математики были беспомощны, когда поверхности были негладкими (например, с коническими точками, ребристыми точками и т. д.) и когда внутренняя геометрия задавалась не гладкой положительно определенной квадратичной формой, а просто метрическим пространством достаточно общего вида. . Прорыв в изучении негладкой метрики и негладких поверхностей совершил выдающийся геометр А. Д. Александров. Развил теорию метрических пространств неотрицательной кривизны, так называемых метрических пространств Александрова. В качестве частного случая теория охватывала внутреннюю геометрию общих выпуклых поверхностей, то есть границ выпуклых тел. Александров изучал связи между внутренней и внешней геометриями общих выпуклых поверхностей. Он доказал, что всякая метрика неотрицательной кривизны, заданная на двумерной сфере (в том числе негладкие метрики, так называемые внутренние метрики), может быть изометрически погружена в трехмерное евклидово пространство в виде замкнутой выпуклой поверхности, но ответы на следующие фундаментальные вопросы были неизвестны:

1. уникально ли это погружение с точностью до твердого движения?
2. Если заданная на сфере метрика является регулярной и имеет положительную гауссову кривизну , то верно ли, что поверхность с этой метрикой является регулярной?
3. Г. Минковский доказал теорему существования замкнутой выпуклой поверхности с гауссовой кривизной, заданной как функция единичной нормали при некотором естественном условии на эту функцию; открытым был вопрос: если функция регулярна на сфере, регулярна ли сама поверхность?

После решения этих задач теория, созданная Александровым, получила бы «полное гражданство» в математике и могла бы применяться и в классическом регулярном случае. На каждый из этих трех вопросов Погорелов ответил положительно. Используя синтетические геометрические методы, он разработал геометрические методы для получения априорных оценок решений уравнений Монжа–Ампера . С одной стороны, он использовал эти уравнения для решения геометрических задач; с другой стороны, исходя из геометрических соображений, он построил обобщенное решение уравнения Монжа — Ампера и затем доказал его регулярность для регулярной правой части уравнения. Фактически в этих новаторских работах Погорелов заложил основы геометрического анализа. Он доказал следующие фундаментальные результаты:

1. Пусть F ₁ и F ₂ — две замкнутые выпуклые изометрические поверхности в трехмерном евклидовом пространстве или в сферическом пространстве. Тогда поверхности совпадают с точностью до жесткого движения.
2. Замкнутая выпуклая поверхность в пространстве постоянной кривизны является жесткой вне плоских областей на ней. Это означает, что поверхность допускает лишь тривиальные бесконечно малые изгибания.
3. Если метрика выпуклой поверхности регулярна регулярности С ^к , k≥2 , в пространстве постоянной кривизны К* и гауссова кривизна поверхности удовлетворяет условию К>К* , то поверхность есть С ^к-1,α .

Для областей на выпуклых поверхностях утверждения 1) и 2) неверны. Локальные и глобальные свойства поверхностей существенно различаются. Доказав утверждение 1), Погорелов завершил решение проблемы, открытой более века. Первый результат в этом направлении был получен Коши для замкнутых выпуклых многогранников в 1813 году.

Теоремы, доказанные Погореловым, легли в основу его нелинейной теории тонких оболочек. Эта теория рассматривает те упругие состояния оболочки, которые существенно отличаются от первоначальной формы. При таких деформациях срединная поверхность тонкой оболочки испытывает изгиб с сохранением метрики. Это позволяет, используя теоремы, доказанные Погореловым для выпуклых поверхностей, исследовать потерю устойчивости и закритическое упругое состояние выпуклых оболочек при заданном деформировании. Такие ракушки – наиболее распространенные элементы современных конструкций.

Результаты 1) и 2) были обобщены на случай регулярных поверхностей в римановом пространстве. Кроме того, была решена задача Вейля для риманова пространства : доказано, что регулярная метрика гауссовой кривизны, большей некоторой константы с на двумерной сфере, может быть изометрически погружена в полное трехмерное риманово пространство кривизны <с в форма регулярной поверхности. Изучая методы, развитые при доказательстве этого результата, лауреат Абелевской премии М. Громов ввел понятие псевдоголоморфных кривых, которые являются основным инструментом в современной симплектической геометрии .

Замкнутая выпуклая гиперповерхность однозначно определяется не только метрикой, но и гауссовой кривизной как функцией единичных нормалей. При этом гиперповерхность определяется однозначно с точностью до параллельного переноса. Это доказал Г. Минковский. Но является ли гиперповерхность регулярной при условии, что гауссова кривизна K(n) является регулярной функцией единичной нормали? Погорелов доказал, что если положительная функция K(n) принадлежит классу С ^к , k≥3 , то опорная функция будет класса регулярности С ^k+1,v , 0<v<1 .

Самой сложной частью доказательства теоремы было получение априорных оценок производных опорной функции гиперповерхности до третьего порядка включительно. Метод априорных оценок Погорелова использовал С.-Т. Яу для получения априорных оценок решений комплексных уравнений Монжа-Ампера. Это был главный шаг в доказательстве существования многообразий Калаби-Яо, играющих важную роль в теоретической физике. Уравнение Монжа-Ампера имеет вид

$\det(z_{ij})=f(x_{1},\dots ,x_{n},z,z_{1},\dots ,z_{n}).$

Априорные оценки в задаче Минковского являются априорными для решения уравнения Монжа-Ампера с функцией

$f={\frac {1}{K(1+x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})^{{\frac {n}{2}}+1}}}.$

В то время не было подхода к изучению этого совершенно нелинейного уравнения. А. В. Погорелов с помощью геометрических методов создал теорию уравнения Монжа-Ампера. Сначала, исходя из многогранников, он доказал существование обобщенных решений в естественных условиях в правой части. После этого он нашел априорные оценки производных до третьего порядка включительно для регулярных решений. Используя априорные оценки, он доказал регулярность строго выпуклых решений, существование решений задачи Дирихле и их регулярность. Уравнение Монжа-Ампера является важным компонентом транспортной задачи Монжа-Канторовича; он используется в конформной, аффинной, кэлеровой геометрии, в метеорологии и финансовой математике. Погорелов как-то сказал об уравнении Монжа-Ампера: это великое уравнение, с которым я имел честь работать.

Одна из наиболее концептуальных работ Погорелова относится к циклу работ о гладких поверхностях ограниченной внешней кривизны . А. Д. Александров создал теорию общих метрических многообразий, естественным образом обобщающих римановы многообразия . В частности, он ввел класс двумерных многообразий ограниченной кривизны. Они исчерпывают класс всех метризованных двумерных многообразий, допускающих в окрестности каждой точки равномерное приближение римановой метрикой с ограниченной в совокупности абсолютной интегральной кривизной (т. е. интегралом от модуля гауссовой кривизны).

Естественно, возник вопрос о классе поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве, несущих такую ​​метрику с сохранением связей между метрикой и внешней геометрией поверхности. Частично отвечая на этот вопрос, Погорелов ввел класс С ¹ -гладкие поверхности с требованием ограниченности площади сферического изображения с учетом кратности покрытия в некоторой окрестности каждой точки поверхности. Такие поверхности называются поверхностями ограниченной внешней кривизны.

Для таких поверхностей также существует очень тесная связь между внутренней геометрией поверхности и ее внешней формой: полная поверхность с ограниченной внешней кривизной и неотрицательной внутренней кривизной (не равной нулю) является либо замкнутой выпуклой поверхностью, либо неограниченной выпуклая поверхность; полная поверхность с нулевой внутренней кривизной и ограниченной внешней кривизной является цилиндром.

Первая работа А. В. Погорелова о поверхностях ограниченной внешней кривизны была опубликована в 1953 г. В 1954 г. Дж. Нэш опубликовал статью о С ¹ -изометрических погружений, усовершенствованный Н. Койпером в 1955 г. Из этих исследований следует, что риманова метрика, определенная на двумерном многообразии, при весьма общих предположениях допускает реализацию на С ¹ -гладкая поверхность в трехмерном евклидовом пространстве. Причем эта реализация осуществляется так же свободно, как и топологическое погружение в пространство многообразия, на котором задана метрика. Отсюда ясно, что для С ¹ -поверхностей, даже при хорошей внутренней метрике, невозможно сохранить связи между внутренней и внешней кривизной. Даже в случае, если С ¹ -поверхность несет регулярную метрику положительной гауссовой кривизны, то из этого не следует локальная выпуклость поверхности. Это подчеркивает естественность класса поверхностей ограниченной внешней кривизны, введенного Погореловым.

Погорелов решил четвертую проблему Гильберта , поставленную Д. Гильбертом на II Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Он нашел все с точностью до изоморфизма реализации систем аксиом классических геометрий (Евклида, Лобачевского и эллиптической), если опустить аксиомы сравнения, содержащие понятие угла и дополняющие эти системы аксиомой «неравенства треугольника».

Погорелов был одним из первых, кто предложил (в 1970 г.) новую идею конструкции криотурбогенератора со сверхпроводящей обмоткой возбуждения и принимал активное участие в технических расчетах и ​​создании соответствующих промышленных образцов.

Почести

В 2015 году одной из улиц Харькова было присвоено имя Погорелова.

В 2007 году Национальная академия наук Украины учредила Премию Погорелова за достижения в области геометрии и топологии.

Один из астероидов назван в честь Погорелова: (19919) Погорелов .

Награды

• Сталинская премия второй степени (1950) за работы по теории выпуклых поверхностей, представленные в статье «Однозначное определение выпуклых поверхностей» и в серии статей, опубликованных в «Записках Академии наук СССР» (1948- 1949)
• Ленинская премия (1962) — за результаты по геометрии «в целом».
• Премия Лобачевского (1959) — за работу «Некоторые вопросы геометрии в целом в римановом пространстве».
• Крыловская премия Академии наук Украинской ССР (1973).
• Государственная премия Украинской ССР (1974).
• Премия Н.Н. Боголюбова НАН Украины (1998 г.).
• Государственная премия Украины (2005).
• Два ордена Ленина
• Орден Трудового Красного Знамени
• Орден Отечественной войны 2-й степени (06.04.1985).

Избранные публикации

• Вопросы теории поверхностей в эллиптических пространствах . Гордон и Брич. 1961.
• Внешняя геометрия выпуклых поверхностей . АМС . 1973.
• Многомерная задача Минковского . В. Х. Уинстон. 1978.
• Четвертая проблема Гильберта . В. Х. Уинстон. 1979.
• Искривление поверхностей и устойчивость оболочек . АМС. 1988.
• Регулярные G-пространства Буземана . Харвуд. 1999.
• Геометрия [перевод с русского Леонида Леванта, Александра Репьева и Олега Ефимова.]. Москва: Издательство Мир (1987). ISBN   0714725536 . ISBN   978-0714725536 .

См. также

• Теорема Коши

Ссылки

Источники

• А.Д. Александров ; и др. (1999). «Алексей Васильевич Погорелов (к восьмидесятилетию со дня рождения)». Российские математические обзоры . 54 (4): 869–872. Бибкод : 1999РуМаС..54..869А . дои : 10.1070/RM1999v054n04ABEH000201 . S2CID   250828440 .
• В.А. Александров; и др. (2003). «Алексей Васильевич Погорелов (некролог)». Российские математические обзоры . 58 (3): 593–596. Бибкод : 2003РуМаС..58..593А . дои : 10.1070/RM2003v058n03ABEH000638 . S2CID   250896434 .
• А.А. Борисенко (2008). «Алексей Васильевич Погорелов, математик невероятной силы». arXiv : 0810.2641 [ math.DG ].

Внешние ссылки

• Алексей Погорелов на проекте «Математическая генеалогия»
• Сайт, посвященный Погорелову и его творчеству.
• Биография – в Физико-техническом институте низких температур им. Б. Веркина.
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Алексей Погорелов» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс