Групповые действия в вычислительной анатомии

Групповые действия занимают центральное место в римановой геометрии и определении орбит (теории управления) . Орбиты компьютерной анатомии состоят из анатомических форм и медицинских изображений ; Анатомические формы представляют собой подмногообразия дифференциальной геометрии, состоящие из точек, кривых, поверхностей и подобъемов.Это обобщило идеи более известных орбит линейной алгебры , которые являются линейными векторными пространствами . Медицинские изображения — это скалярные и тензорные изображения, полученные из медицинских изображений . Групповые действия используются для определения моделей человеческого тела, допускающих вариации. Эти орбиты представляют собой деформируемые шаблоны, первоначально сформулированные более абстрактно в теории паттернов .

Орбитальная модель вычислительной анатомии

Центральной моделью анатомии человека в вычислительной анатомии являются группы и групповые действия , классическая формулировка дифференциальной геометрии . Орбитой называют пространство форм и форм . ^[1] Пространство фигур обозначается $m\in {\mathcal {M}}$ , с группой $({\mathcal {G}},\circ )$ с законом композиции $\circ$ ; действие группы на фигуры обозначается $g\cdot m$ , где действие группы $g\cdot m\in {\mathcal {M}},m\in {\mathcal {M}}$ определяется для удовлетворения

(g\circ g^{\prime })\cdot m=g\cdot (g^{\prime }\cdot m)\in {\mathcal {M}}.

Орбита ${\mathcal {M}}$ шаблона становится пространством всех форм, ${\mathcal {M}}\doteq \{m=g\cdot m_{\mathrm {temp} },g\in {\mathcal {G}}\}$ .

Некоторые групповые действия в вычислительной анатомии

Центральная группа в ЦА определена по объемам в ${\mathbb {R} }^{3}$ являются группой диффеоморфизмов ${\mathcal {G}}\doteq \mathrm {Diff}$ которые являются отображениями с 3-компонентами $\phi (\cdot )=(\phi _{1}(\cdot ),\phi _{2}(\cdot ),\phi _{3}(\cdot ))$ , закон композиции функций $\phi \circ \phi ^{\prime }(\cdot )\doteq \phi (\phi ^{\prime }(\cdot ))$ , с обратным $\phi \circ \phi ^{-1}(\cdot )=\phi (\phi ^{-1}(\cdot ))=\operatorname {id}$ .

Субмногообразия: органы, подкорковые структуры, схемы и погружения.

Для подраспределителей $X\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}$ , параметризованный диаграммой или погружением $m(u),u\in U$ , диффеоморфное действие поток позиции

\phi \cdot m(u)\doteq \phi \circ m(u),u\in U

.

Скалярные изображения, такие как МРТ, КТ, ПЭТ.

Наиболее популярны скалярные изображения, $I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}$ , с действием справа через обратное.

\phi \cdot I(x)=I\circ \phi ^{-1}(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}

.

Ориентированные касательные к кривым, собственные векторы тензорных матриц

Для различных действий используется множество различных методов визуализации. Для изображений таких, что $I(x)$ является трехмерным вектором, тогда

\varphi \cdot I=((D\varphi )\,I)\circ \varphi ^{-1},

\varphi \star I=((D\varphi ^{T})^{-1}I)\circ \varphi ^{-1}

Тензорные матрицы

Цао и др. ^[2] исследовали действия по картированию МРТ-изображений, измеренных с помощью диффузионно-тензорной визуализации и представленных с помощью принципа собственного вектора. Для тензорных полей положительно ориентированный ортонормированный базис $I(x)=(I_{1}(x),I_{2}(x),I_{3}(x))$ из ${\mathbb {R} }^{3}$ , называемые кадрами, векторное векторное произведение обозначается $I_{1}\times I_{2}$ затем

\varphi \cdot I=\left({\frac {D\varphi I_{1}}{\|D\varphi \,I_{1}\|}},{\frac {(D\varphi ^{T})^{-1}I_{3}\times D\varphi \,I_{1}}{\|(D\varphi ^{T})^{-1}I_{3}\times D\varphi \,I_{1}\|}},{\frac {(D\varphi ^{T})^{-1}I_{3}}{\|(D\varphi ^{T})^{-1}I_{3}\|}}\right)\circ \varphi ^{-1}\ ,

Система Френе из трех ортонормированных векторов, $I_{1}$ деформируется по касательной, $I_{3}$ деформируется какнормаль к плоскости, порожденная $I_{1}\times I_{2}$ , и $I_{3}$ . H однозначно ограниченбазис положителен и ортонормирован.

Для $3\times 3$ неотрицательных симметричных матриц, действие станет $\varphi \cdot I=(D\varphi \,ID\varphi ^{T})\circ \varphi ^{-1}$ .

Для картирования изображений МРТ DTI ^[3]^[4] (тензоры), то собственные значения сохраняются, а диффеоморфизм вращает собственные векторы и сохраняет собственные значения. Учитывая собственные элементы $\{\lambda _{i},e_{i},i=1,2,3\}$ , то действие становится

\varphi \cdot I\doteq (\lambda _{1}{\hat {e}}_{1}{\hat {e}}_{1}^{T}+\lambda _{2}{\hat {e}}_{2}{\hat {e}}_{2}^{T}+\lambda _{3}{\hat {e}}_{3}{\hat {e}}_{3}^{T})\circ \varphi ^{-1}

{\hat {e}}_{1}={\frac {D\varphi e_{1}}{\|D\varphi e_{1}\|}}\ ,{\hat {e}}_{2}={\frac {D\varphi e_{2}-\langle {\hat {e}}_{1},(D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}}{\|D\varphi e_{2}-\langle {\hat {e}}_{1},(D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}\|}}\ ,\ {\hat {e}}_{3}\doteq {\hat {e}}_{1}\times {\hat {e}}_{2}\ .

Функция распределения ориентации и высокое угловое разрешение HARDI

Функция распределения ориентации (ODF) характеризует угловой профиль функции плотности вероятности диффузии молекул воды и может быть восстановлена с помощью диффузионной визуализации высокого углового разрешения (HARDI). ODF - это функция плотности вероятности, определенная на единичной сфере, ${\mathbb {S} }^{2}$ . В области информационной геометрии , ^[5] пространство ОДФ образует риманово многообразие с метрикой Фишера-Рао. Для целей отображения ODF LDDMM выбирается представление с квадратным корнем, поскольку оно является одним из наиболее эффективных представлений, найденных на сегодняшний день, поскольку различные римановы операции, такие как геодезические, экспоненциальные карты и карты логарифмов, доступны в закрытой форме. Далее будем обозначать ODF с квадратным корнем ( ${\sqrt {\text{ODF}}}$ ) как $\psi ({\bf {s}})$ , где $\psi ({\bf {s}})$ неотрицательен, чтобы обеспечить уникальность и $\int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi ^{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}=1$ .

Обозначим диффеоморфное преобразование как $\phi$ . Групповое действие диффеоморфизма на $\psi ({\bf {s}})$ , $\phi \cdot \psi$ , необходимо гарантировать неотрицательность и $\int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\phi \cdot \psi ^{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}=1$ . На основании вывода в, ^[6] это групповое действие определяется как

{\begin{aligned}(D\phi )\psi \circ \phi ^{-1}(x)={\sqrt {\frac {\det {{\bigl (}D_{\phi ^{-1}}\phi {\bigr )}^{-1}}}{\left\|{{\bigl (}D_{\phi ^{-1}}\phi {\bigr )}^{-1}}{\bf {s}}\right\|^{3}}}}\quad \psi \left({\frac {(D_{\phi ^{-1}}\phi {\bigr )}^{-1}{\bf {s}}}{\|(D_{\phi ^{-1}}\phi {\bigr )}^{-1}{\bf {s}}\|}},\phi ^{-1}(x)\right),\end{aligned}}

где $(D\phi )$ является якобианом $\phi$ .

Ссылки

^ Миллер, Майкл И.; Юнес, Лоран; Труве, Ален (01 марта 2014 г.). «Диффеоморфометрия и системы геодезического позиционирования для анатомии человека» . Технология . 2 (1): 36. дои : 10.1142/S2339547814500010 . ISSN 2339-5478 . ПМК 4041578 . ПМИД 24904924 .
^ Цао Y1, Миллер М.И., Уинслоу Р.Л., Юнес, Диффеоморфное метрическое отображение большой деформации векторных полей. IEEE Трансмедицинская визуализация. Сентябрь 2005 г., 24(9):1216-30.
^ Александр, округ Колумбия; Пьерпаоли, К.; Бассер, П.Дж.; Ну и дела, Джей Си (01 ноября 2001 г.). «Пространственные преобразования диффузионно-тензорных магнитно-резонансных изображений» (PDF) . Транзакции IEEE по медицинской визуализации . 20 (11): 1131–1139. дои : 10.1109/42.963816 . ISSN 0278-0062 . ПМИД 11700739 . S2CID 6559551 .
^ Цао, Ян; Миллер, Майкл И.; Мори, Сусуму; Уинслоу, Раймонд Л.; Юнес, Лоран (5 июля 2006 г.). «Диффеоморфное сопоставление тензорных изображений диффузии». 2006 г. Конференция по компьютерному зрению и распознаванию образов (CVPRW'06) . Том. 2006. с. 67. дои : 10.1109/CVPRW.2006.65 . ISBN 978-0-7695-2646-1 . ISSN 1063-6919 . ПМК 2920614 . ПМИД 20711423 .
^ Амари, С. (1985). Дифференциально-геометрические методы в статистике . Спрингер.
^ Ду, Дж; Гох, А; Цю, А (2012). «Диффеоморфное метрическое отображение диффузионных изображений с высоким угловым разрешением на основе римановой структуры функций распределения ориентации». IEEE Трансмедицинская визуализация . 31 (5): 1021–1033. дои : 10.1109/TMI.2011.2178253 . ПМИД 22156979 . S2CID 11533837 .

[1] Миллер, Майкл И.; Юнес, Лоран; Труве, Ален (01 марта 2014 г.). «Диффеоморфометрия и системы геодезического позиционирования для анатомии человека» . Технология . 2 (1): 36. дои : 10.1142/S2339547814500010 . ISSN 2339-5478 . ПМК 4041578 . ПМИД 24904924 .

[2] Цао Y1, Миллер М.И., Уинслоу Р.Л., Юнес, Диффеоморфное метрическое отображение большой деформации векторных полей. IEEE Трансмедицинская визуализация. Сентябрь 2005 г., 24(9):1216-30.

[3] Александр, округ Колумбия; Пьерпаоли, К.; Бассер, П.Дж.; Ну и дела, Джей Си (01 ноября 2001 г.). «Пространственные преобразования диффузионно-тензорных магнитно-резонансных изображений» (PDF) . Транзакции IEEE по медицинской визуализации . 20 (11): 1131–1139. дои : 10.1109/42.963816 . ISSN 0278-0062 . ПМИД 11700739 . S2CID 6559551 .

[4] Цао, Ян; Миллер, Майкл И.; Мори, Сусуму; Уинслоу, Раймонд Л.; Юнес, Лоран (5 июля 2006 г.). «Диффеоморфное сопоставление тензорных изображений диффузии». 2006 г. Конференция по компьютерному зрению и распознаванию образов (CVPRW'06) . Том. 2006. с. 67. дои : 10.1109/CVPRW.2006.65 . ISBN 978-0-7695-2646-1 . ISSN 1063-6919 . ПМК 2920614 . ПМИД 20711423 .

[5] Амари, С. (1985). Дифференциально-геометрические методы в статистике . Спрингер.

[6] Ду, Дж; Гох, А; Цю, А (2012). «Диффеоморфное метрическое отображение диффузионных изображений с высоким угловым разрешением на основе римановой структуры функций распределения ориентации». IEEE Трансмедицинская визуализация . 31 (5): 1021–1033. дои : 10.1109/TMI.2011.2178253 . ПМИД 22156979 . S2CID 11533837 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]