Три принципа настоящего анализа Литтлвуда

Литтлвуда Три принципа реального анализа — это эвристика Дж . Э. Литтлвуда, помогающая преподавать основы теории меры в математическом анализе .

Принципы

Литтлвуд изложил эти принципы в своих лекциях по теории функций 1944 года. ^{[ 1 ]} как:

Существуют три принципа, грубо выраженные в следующих терминах: каждое ( измеримое ) множество представляет собой почти конечную сумму интервалов; каждая функция (класса L ^п) почти непрерывен ; любая сходящаяся последовательность функций сходится почти равномерно .

Первый принцип основан на том, что внутренняя мера и внешняя мера равны для измеримых множеств, второй основан на теореме Лусина , а третий — на теореме Егорова .

Пример

Три принципа Литтлвуда цитируются в нескольких реальных текстах по анализу, например, в Royden, ^{[ 2 ]} Брессу, ^{[ 3 ]} и Штейн и Шакарчи. ^{[ 4 ]}

Ройден ^{[ 5 ]} дает теорему ограниченной сходимости как приложение третьего принципа. Теорема утверждает, что если равномерно ограниченная последовательность функций сходится поточечно, то их интегралы на множестве конечной меры сходятся к интегралу предельной функции. Если бы сходимость была равномерной, это был бы тривиальный результат, а третий принцип Литтлвуда говорит нам, что сходимость почти равномерна, то есть равномерна вне множества сколь угодно малых мер. Поскольку последовательность ограничена, вклад в интегралы малого набора можно сделать сколь угодно малым, а интегралы по остатку сходятся, поскольку функции там сходятся равномерно.

Примечания

^ Литтлвуд, Дж. Э. (1944). Лекции по теории функций . Издательство Оксфордского университета. п. 26 . ОСЛК 297140 .
^ Ройден, Х.Л. (1988). Реальный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Макмиллан. п. 72 . ISBN 978-0-02-404151-7 .
^ Брессуд, Дэвид (2008). Радикальный подход к теории интеграции Лебега . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 191 . ISBN 978-0-521-88474-7 .
^ Штейн, Элиас ; Рами Шакарчи (2005). Реальный анализ: теория меры, интегрирование и гильбертовые пространства (PDF) . Принстон: Издательство Принстонского университета. п. 33. ISBN 978-0-691-11386-9 . Проверено 3 июля 2008 г.
^ Ройден (1988), с. 84

[1] Литтлвуд, Дж. Э. (1944). Лекции по теории функций . Издательство Оксфордского университета. п. 26 . ОСЛК 297140 .

[Royden-2] Ройден, Х.Л. (1988). Реальный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Макмиллан. п. 72 . ISBN 978-0-02-404151-7 .

[3] Брессуд, Дэвид (2008). Радикальный подход к теории интеграции Лебега . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 191 . ISBN 978-0-521-88474-7 .

[4] Штейн, Элиас ; Рами Шакарчи (2005). Реальный анализ: теория меры, интегрирование и гильбертовые пространства (PDF) . Принстон: Издательство Принстонского университета. п. 33. ISBN 978-0-691-11386-9 . Проверено 3 июля 2008 г.

[5] Ройден (1988), с. 84

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]