Честная монета

В теории вероятностей и статистике последовательность независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха 1/2 в каждом испытании метафорически называется честной монетой . Монета, для которой вероятность не равна 1/2, называется необъективной или несправедливой монетой . В теоретических исследованиях предположение о том, что монета честная, часто делается на основе идеальной монеты .

Джон Эдмунд Керрич провел эксперименты по подбрасыванию монет и обнаружил, что монета, сделанная из деревянного диска размером с корону и покрытого с одной стороны свинцовым орелом, приземлилась (деревянной стороной вверх) 679 раз из 1000. ^[1] В этом эксперименте монету подбрасывали, балансируя на указательном пальце, а затем подбрасывали ее большим пальцем так, чтобы она пролетела в воздухе около фута, прежде чем приземлиться на плоскую ткань, разложенную на столе. Эдвин Томпсон Джейнс утверждал, что, когда монета попадает в руку, а не отскакивает, физическое смещение монеты незначительно по сравнению с методом подбрасывания, при котором при достаточной практике можно заставить монету упасть орлом 100. % времени. ^[2] Исследование проблемы проверки честности монеты является хорошо зарекомендовавшим себя педагогическим инструментом при обучении статистике .

Определение вероятностного пространства

В теории вероятностей честная монета определяется как вероятностное пространство. $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ , которое, в свою очередь, определяется пространством выборки , пространством событий и мерой вероятности . С использованием $H$ для головы и $T$ для решки пространство выборки монеты определяется как:

$\Omega =\{H,T\}$

Пространство событий для монеты включает в себя все наборы результатов из пространства выборки, которым можно присвоить вероятность, которая представляет собой набор полной мощности. $2^{\Omega }$ . Таким образом, пространство событий определяется как:

${\mathcal {F}}=\{\{\},\{H\},\{T\},\{H,T\}\}$

$\{\}$ - это событие, при котором не происходит ни одного исхода (что невозможно и поэтому ему может быть присвоена вероятность 0), и $\{H,T\}$ — это событие, при котором происходит любой исход (который гарантирован и ему может быть присвоена вероятность 1). Поскольку монета честная, вероятность любого исхода составляет 50 на 50. Тогда вероятностная мера определяется функцией:

$x$	$\{\}$	$\{H\}$	$\{T\}$	$\{H,T\}$
$P(x)$	0	0.5	0.5	1

Таким образом, полное вероятностное пространство, определяющее честную монету, представляет собой тройку $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ как определено выше. Обратите внимание, что это не случайная величина , поскольку орел и решка не имеют собственных числовых значений, которые можно найти на честном двузначном кубике. Случайная величина добавляет дополнительную структуру присвоения числового значения каждому результату. Распространенный выбор: $(H,T)\to (1,0)$ или $(H,T)\to (1,-1)$ .

Роль в статистическом преподавании и теории

Вероятностные и статистические свойства игр с подбрасыванием монеты часто используются в качестве примеров как в вводных, так и в учебниках для продвинутого уровня, и они в основном основаны на предположении, что монета честная или «идеальная». Например, Феллер использует эту основу для введения как идеи случайных блужданий , так и для разработки тестов на однородность в последовательности наблюдений, рассматривая свойства серий идентичных значений внутри последовательности. ^[3] Последнее приводит к запуску теста . Временной ряд, состоящий из результата подбрасывания честной монеты, называется процессом Бернулли .

Справедливые результаты от смещенной монеты

Если мошенник изменил монету, отдав предпочтение одной стороне другой (предвзятая монета), монету все равно можно использовать для достижения справедливых результатов, слегка изменив игру. Джон фон Нейман предложил следующую процедуру: ^[4]

Дважды подбросьте монету.
Если результаты совпадают, начните заново, забыв оба результата.
Если результаты различаются, используйте первый результат, забывая о втором.

Причина, по которой этот процесс дает справедливый результат, заключается в том, что вероятность выпадения орла, а затем решки должна быть такой же, как и вероятность выпадения решки, а затем решки, поскольку монета не меняет своего смещения между бросками, и эти два броска независимы. Это работает только в том случае, если получение одного результата в испытании не меняет предвзятость в последующих испытаниях, что имеет место для большинства нековких монет (но не для таких процессов, как урна Полиа ). Исключив события с двумя орлами и двумя решками путем повторения процедуры, у подбрасывателя монеты остаются только два оставшихся исхода с одинаковой вероятностью. Эта процедура работает только в том случае, если броски составлены правильно; если часть пары повторно используется в другой паре, справедливость может быть нарушена. Кроме того, монета не должна быть настолько смещенной, чтобы вероятность одной стороны была равна нулю .

Этот метод можно расширить, рассмотрев также последовательность из четырех бросков. То есть, если монету подбрасывают дважды, но результаты совпадают, и монету подбрасывают еще раз, но теперь результаты совпадают для противоположной стороны, то можно использовать первый результат. Это потому, что HHTT и TTHH одинаково вероятны. Это значение можно расширить до любого числа, кратного 2.

Ожидаемая ценность бросков в игре n $E(F_{n})$ вычислить несложно, сначала обратите внимание, что на шаге 3 независимо от события $HT$ или $TH$ мы дважды подбросили монету, так что $E(F_{n}|HT,TH)=2$ но на шаге 2( $TT$ или $HH$ ) нам также придется все переделать, чтобы у нас было 2 броска плюс ожидаемое значение бросков в следующей игре, то есть $E(F_{n}|TT,HH)=2+E(F_{n+1})$ но когда мы начинаем заново, ожидаемая ценность следующей игры такая же, как ценность предыдущей игры или любой другой игры, поэтому она на самом деле не зависит от n, таким образом $E(F)=E(F_{n})=E(F_{n+1})$ (под этим можно понимать процесс мартингейла $E(F_{n+1}|F_{n},...,F_{1})=F_{n}$ где, снова ожидая, мы получим это $E(E(F_{n+1}|F_{n},...,X_{1}))=E(F_{n})$ но по закону полного ожидания мы получаем, что $E(F_{n+1})=E(E(F_{n+1}|F_{n},...,F_{1}))=E(F_{n})$ ), следовательно, имеем:

График ${\frac {1}{P(H)(1-P(H))}}$ чем дальше $P(H)$ из $0.5$ дальнейшее ожидаемое количество бросков до успешного результата

${\begin{aligned}E(F)&=E(F_{n})\\&=E(F_{n}|TT,HH)P(TT,HH)+E(F_{n}|HT,TH)P(HT,TH)\\&=(2+E(F_{n+1}))P(TT,HH)+2P(HT,TH)\\&=(2+E(F))P(TT,HH))+2P(HT,TH)\\&=(2+E(F))(P(TT)+P(HH))+2(P(HT)+P(TH))\\&=(2+E(F))(P(T)^{2}+P(H)^{2})+4P(H)P(T)\\&=(2+E(F))(1-2P(H)P(T))+4P(H)P(T)\\&=2+E(F)-2P(H)P(T)E(F)\\\end{aligned}}$

$\therefore E(F)=2+E(F)-2P(H)P(T)E(F)\Rightarrow E(F)={\frac {1}{P(H)P(T)}}={\frac {1}{P(H)(1-P(H))}}$

Чем более предвзятой является наша монета, тем больше вероятность того, что нам придется выполнить большее количество испытаний, прежде чем будет получен справедливый результат.

Лучший алгоритм, когда известен P(H)

Предположим, что смещение $b:=P({\mathtt {H}})$ известно.В этом разделе мы предоставим простой алгоритм ^[5] это увеличивает ожидаемое количество бросков монеты.Алгоритм использует идеальную вероятность $p$ , который Сначала мы рассмотрим алгоритм генерации произвольной монеты со смещением $b$ . Чтобы получить честную монету, алгоритм сначала устанавливает $p=0.5$ а затем выполняет следующий алгоритм.

Бросьте предвзятую монету, пусть $X\in \{{\mathtt {H}},{\mathtt {T}}\}$ быть результатом.
Если $p\geq b$ , использовать ${\mathtt {H}}$ если результат переворота $X={\mathtt {H}}$ . В противном случае замените $p$ быть $p\gets {\frac {p-b}{1-b}}$ и вернитесь к шагу 1.
В противном случае, $p<b$ , использовать ${\mathtt {T}}$ если результат переворота $X={\mathtt {T}}$ . В противном случае установите $p$ быть $p\gets {\frac {p}{b}}$ и вернитесь к шагу 1.

Обратите внимание, что приведенный выше алгоритм не достигает оптимального ожидаемого количества бросков монеты, которое составляет $1/H(b)$ , здесь $H(b)$ — двоичная функция энтропии .Существуют алгоритмы, которые в ожидании достигают этого оптимального значения. Однако эти алгоритмы более сложны, чем показанный выше.

В приведенном выше алгоритме ожидаемое количество смещенных койнфлипов равно ${\frac {1}{2b(1-b)}}$ , что ровно вполовину по сравнению с трюком фон Неймана.

Анализ

Корректность приведенного выше алгоритма является идеальным примером условного ожидания.Теперь проанализируем ожидаемое количество койнфлипов.

Учитывая предвзятость $b=P(H)$ и текущая стоимость $p$ , можно определить функцию $f_{b}(p)$ который представляет собой ожидаемое количество бросков монеты, прежде чем будет возвращен результат. Рекуррентное соотношение $f_{b}(p)$ можно описать следующим образом.

$f_{b}(p)={\begin{cases}1+b\cdot f_{b}\left({\frac {p}{b}}\right)&{\text{if }}p<b\\1+(1-b)\cdot f_{b}\left({\frac {p-b}{1-b}}\right)&{\text{if }}p\geq b\end{cases}}$

Это волшебным образом решает следующую функцию:

$f_{b}(p)={\frac {b+(1-2b)p}{b(1-b)}}$

Когда $p=0.5$ , ожидаемое количество койнфлипов равно $f_{b}(0.5)={\frac {1}{2b(1-b)}}$ по желанию.

Примечание

Идея этого алгоритма может быть расширена до генерации любой смещенной монеты с заданной вероятностью.

См. также

Ссылки

^ Керрич, Джон Эдмунд (1946). Экспериментальное введение в теорию вероятностей . Э. Мунксгаард.
^ Джейнс, ET (2003). Теория вероятностей: логика науки . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. п. 318. ИСБН 9780521592710 . Архивировано из оригинала 5 февраля 2002 г. Любой, кто знаком с законом сохранения углового момента, может, после некоторой практики, схитрить в обычной игре с подбрасыванием монеты и выполнить свои броски со 100-процентной точностью. Вы можете получить любую частоту орлов, какую захотите; и уклон монеты вообще не влияет на результаты! {{cite book}}: CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )
^ Феллер, В. (1968). Введение в теорию вероятностей и ее приложения . Уайли. ISBN 978-0-471-25708-0 .
^ фон Нейман, Джон (1951). «Различные методы, используемые в связи со случайными цифрами». Серия Национального бюро стандартов по прикладной математике . 12:36 .
↑ Генри Цай, 12 апреля 2024 г.

Дальнейшее чтение

Гельман, Эндрю; Дебора Нолан (2002). «Уголок учителя: можно загрузить игральную кость, но нельзя сместить монету». Американский статистик . 56 (4): 308–311. дои : 10.1198/000313002605 . Доступно на Эндрю Гельмана. сайте
«Пожизненный разоблачитель берет на себя роль арбитра нейтрального выбора: волшебник, ставший математиком, обнаруживает предвзятость, подбрасывая монету» . Стэнфордский отчет . 07.06.2004 . Проверено 5 марта 2008 г.
Джон фон Нейман, «Различные методы, используемые в связи со случайными цифрами», в книге AS Householder, GE Forsythe и HH Germond, ред., « Метод Монте-Карло» , серия Национального бюро стандартов по прикладной математике, 12 (Вашингтон, округ Колумбия: Печать правительства США). Офис, 1951): 36-38.

[Kerrich-1] Керрич, Джон Эдмунд (1946). Экспериментальное введение в теорию вероятностей . Э. Мунксгаард.

[Jaynes-2] Джейнс, ET (2003). Теория вероятностей: логика науки . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. п. 318. ИСБН 9780521592710 . Архивировано из оригинала 5 февраля 2002 г. Любой, кто знаком с законом сохранения углового момента, может, после некоторой практики, схитрить в обычной игре с подбрасыванием монеты и выполнить свои броски со 100-процентной точностью. Вы можете получить любую частоту орлов, какую захотите; и уклон монеты вообще не влияет на результаты! {{cite book}}: CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )

[feller-3] Феллер, В. (1968). Введение в теорию вероятностей и ее приложения . Уайли. ISBN 978-0-471-25708-0 .

[4] фон Нейман, Джон (1951). «Различные методы, используемые в связи со случайными цифрами». Серия Национального бюро стандартов по прикладной математике . 12:36 .

[5] Генри Цай, 12 апреля 2024 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]