Теорема о гребешке

В физике теорема гребешка гласит, что пловец, выполняющий возвратно-поступательное движение, не может достичь чистого смещения в с низким числом Рейнольдса среде ньютоновской жидкости , то есть в жидкости с высокой вязкостью . Такой пловец деформирует свое тело, придавая ему определенную форму посредством последовательности движений, а затем возвращается к исходной форме, выполняя последовательность в обратном порядке. При низком числе Рейнольдса время или инерция не играют роли, и плавательное движение определяется исключительно последовательностью форм, которые принимает пловец.

Эдвард Миллс Перселл сформулировал эту теорему в своей статье 1977 года « Жизнь при низком числе Рейнольдса», объясняющей физические принципы передвижения в воде . ^[1] Теорема названа в честь движения гребешка , который открывает и закрывает простой шарнир за один период. Такого движения недостаточно для возникновения миграции при низких числах Рейнольдса. Гребешок — пример тела с одной степенью свободы, которую можно использовать для движения. Тела с одной степенью свободы деформируются взаимно, и впоследствии тела с одной степенью свободы не способны передвигаться в высоковязкой среде.

Предыстория [ править ]

Анимация Наджафи-Голестанского микропловеца с тремя сферами. ^[2] Он имеет одну степень свободы: левая рука выдвигается и втягивается. В средах с низким числом Рейнольдса это не приводит к чистому смещению всего тела, когда рука завершает цикл разгибания и втягивания.

Теорема гребешка является следствием последующих сил, приложенных к организму, когда он плывет из окружающей жидкости. Для несжимаемой ньютоновской жидкости плотностью $\rho$ и динамическая вязкость $\eta$ , течение удовлетворяет уравнениям Навье–Стокса :

\rho \left({\dfrac {\partial }{\partial \mathrm {t} }}+\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =-\nabla p+\eta \nabla ^{2}\mathbf {u} ,\quad \nabla \cdot \mathbf {u} =0,

где $\mathbf {u}$ обозначает скорость жидкости. Однако при низком пределе числа Рейнольдса инерционные члены уравнений Навье-Стокса в левой части стремятся к нулю. Это становится более очевидным за счет обезразмеривания уравнений Навье – Стокса . Определив характеристическую скорость и длину, $u_{0}$ и $L$ , мы можем привести наши переменные к безразмерной форме:

\mathbf {\tilde {u}} ={\dfrac {\mathbf {u} }{u_{0}}};\quad \mathbf {\tilde {r}} ={\dfrac {\mathbf {r} }{L}};\quad {\tilde {t}}={\dfrac {t}{(L/u_{0})}};\quad {\tilde {p}}={\dfrac {p}{(\eta u_{0}/L)}}.

где безразмерное давление соответствующим образом масштабировано для потока со значительными вязкостными эффектами. Подстановка этих величин в уравнения Навье-Стокса дает нам:

{\dfrac {\rho u_{0}^{2}}{L}}\left({\dfrac {\partial }{\partial {\tilde {t}}}}+\mathbf {\tilde {u}} \cdot {\tilde {\nabla }}\right)\mathbf {\tilde {u}} =-{\dfrac {\eta u_{0}}{L^{2}}}\left({\tilde {\nabla }}{\tilde {p}}+{\tilde {\nabla }}^{2}\mathbf {\tilde {u}} \right),\quad {\tilde {\nabla }}\cdot \mathbf {\tilde {u}} =0.

И переставляя слагаемые, приходим к безразмерной форме:

{\text{Re}}\left({\dfrac {\partial }{\partial {\tilde {t}}}}+\mathbf {\tilde {u}} \cdot {\tilde {\nabla }}\right)\mathbf {\tilde {u}} =-{\tilde {\nabla }}{\tilde {p}}+{\tilde {\nabla }}^{2}\mathbf {\tilde {u}} ,\quad {\tilde {\nabla }}\cdot \mathbf {\tilde {u}} =0,

где ${\text{Re}}=\rho u_{0}L/\eta$ это число Рейнольдса. В пределе малых чисел Рейнольдса (т. $\mathrm {Re} \rightarrow 0$ ), ЛГС стремится к нулю, и мы приходим к безразмерной форме уравнений Стокса. Изменение размеров доходности:

0=-\nabla p+\eta \nabla ^{2}\mathbf {u} ,\quad \nabla \cdot \mathbf {u} =0.

Заявление [ править ]

Последствия отсутствия инерционных условий при низком числе Рейнольдса:

Одним из последствий является то, что пловец практически не испытывает чистой силы или крутящего момента.

Второе следствие говорит нам, что скорость линейно пропорциональна силе (то же самое можно сказать и об угловой скорости и крутящем моменте).

Уравнения Стокса становятся линейными и независимыми от времени.

В частности, для пловца, движущегося в режиме низких чисел Рейнольдса, его движение удовлетворяет:

Независимость от времени: одно и то же движение можно ускорить или замедлить, но оно все равно будет удовлетворять уравнениям Стокса. С геометрической точки зрения это означает, что движение пловца в режиме низкого числа Рейнольдса определяется исключительно формой его траектории в конфигурационном пространстве.
Кинематическая обратимость: одно и то же движение можно обратить вспять. Любое мгновенное изменение сил, действующих на тело, не изменит природу потока жидкости вокруг него, а просто изменит направление потока. Эти силы ответственны за создание движения. Когда тело имеет только одну степень свободы, изменение сил приведет к взаимной деформации тела. Например, гребешок, открывающий шарнир, просто закроет его, пытаясь добиться движения. Поскольку изменение направления сил не меняет характер потока, тело будет двигаться в обратном направлении точно таким же образом, что не приведет к полному смещению. Вот как мы приходим к следствиям теоремы о гребешке. ^[3]

Доказательство масштабированием [ править ]

По духу это ближе к наброску доказательства, данному Перселлом. ^[1] Ключевой результат – показать, что пловец в жидкости Стокса не зависит от времени. То есть невозможно определить, замедляется ли фильм о движении пловца, ускоряется или поворачивается вспять. Остальные результаты представляют собой простые следствия.

Тензор напряжений жидкости равен $\sigma _{ij}=-p\delta _{ij}+\mu (\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i})$ .

Позволять $r$ быть ненулевой действительной константой. Предположим, у нас есть плавательное движение, тогда мы можем выполнить следующее масштабирование: $p\mapsto rp;\quad u\mapsto ru;\quad \sigma \mapsto r\sigma$ и получим другое решение уравнения Стокса. То есть, если мы масштабируем гидростатическое давление, скорость потока и тензор напряжений на $r$ , мы все равно получим решение уравнения Стокса.

Поскольку движение происходит в режиме низкого числа Рейнольдса, силы инерции незначительны, а мгновенная общая сила и крутящий момент, действующие на пловца, должны уравновешиваться нулю. Поскольку мгновенная общая сила и крутящий момент, действующие на пловца, вычисляются путем интегрирования тензора напряжений $\sigma$ над его поверхностью мгновенные суммарная сила и крутящий момент увеличиваются на $r$ а также, которые все еще равны нулю.

Таким образом, масштабируя как движение пловца, так и движение окружающей жидкости в одном и том же коэффициенте, мы все равно получаем движение, которое соответствует уравнению Стокса.

Доказательство векторным исчислением [ править ]

Доказательство теоремы о гребешке можно представить математически изящным образом. Для этого мы должны сначала понять математические следствия линейности уравнений Стокса. Подводя итог, можно сказать, что линейность уравнений Стокса позволяет нам использовать теорему обратной связи , чтобы связать скорость плавания пловца с полем скоростей жидкости вокруг его поверхности (известным как плавательная походка), которое изменяется в зависимости от периодического движения, которое он демонстрирует. . Это соотношение позволяет заключить, что локомоция не зависит от скорости плавания. Впоследствии это приводит к открытию, что обращение периодического движения вспять идентично движению вперед из-за симметрии, что позволяет нам заключить, что суммарного смещения быть не может. ^[3]

Независимость от скорости [ править ]

Теорема взаимности описывает взаимосвязь между двумя потоками Стокса в одной и той же геометрии, где инерционные эффекты незначительны по сравнению с вязкими эффектами. Рассмотрим область, заполненную жидкостью. $V$ ограничен поверхностью $S$ с единицей нормальной ${\hat {\mathbf {n} }}$ . Предположим, у нас есть решения уравнений Стокса в области $V$ обладающие формой полей скоростей $\mathbf {u}$ и $\mathbf {u} '$ . Поля скоростей содержат соответствующие поля напряжений. $\mathbf {\sigma }$ и $\mathbf {\sigma } '$ соответственно. Тогда имеет место следующее равенство:

\iint _{S}\mathbf {u} \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}'\cdot {\hat {\mathbf {n} }})~\mathrm {d} S=\iint _{S}\mathbf {u} '\cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {n} }})~\mathrm {d} S.

Теорема взаимности позволяет получить информацию об одном потоке, используя информацию из другого потока. Это предпочтительнее решения уравнений Стокса, которое затруднительно из-за отсутствия известных граничных условий. Это особенно полезно, если кто-то хочет понять поток решения сложной задачи, изучая поток более простой задачи в той же геометрии.

Чтобы связать скорость плавания, можно использовать теорему обратной связи: $\mathbf {U}$ , пловца, находящегося под действием силы $\mathbf {F}$ своей плавательной походке $\mathbf {u} _{S}$ :

{\hat {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {U} =-\iint _{S}\mathbf {u} _{S}\cdot ({\boldsymbol {\hat {\sigma }}}\cdot \mathbf {n} )~\mathrm {d} S.

Теперь, когда мы установили, что связь между мгновенной скоростью плавания в направлении силы, действующей на тело, и его плавательной походкой имеет общий вид

\mathbf {U} =\iint {\dot {\mathbf {r} }}_{S}\cdot \mathbf {g} (\mathbf {r} _{S})~\mathrm {d} S,

где $\mathbf {u} _{S}\equiv {\dot {\mathbf {r} _{S}}}=\mathrm {d} \mathbf {r} _{S}/\mathrm {d} t$ и $\mathbf {r} _{S}$ обозначаем положения точекна поверхности пловца мы можем установить, что передвижение не зависит от скорости. Рассмотрим пловца, который периодически деформируется за счет последовательности движений между моментами $t_{0}$ и $t_{1}.$ Чистое водоизмещение пловца равно

\Delta X=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {U} ~\mathrm {d} t.

Теперь представьте, что пловец деформируется таким же образом, но с другой скоростью. Мы описываем это с помощью отображения

t'=f(t),\quad \mathbf {r} _{S}(t)=\mathbf {r'} _{S}(t'),\quad {\dot {\mathbf {r} }}_{S}(t)={\dfrac {\mathrm {d} \mathbf {r'} _{S}(t')}{\mathrm {d} t}}={\dfrac {\mathrm {d} \mathbf {r'} _{S}(t')}{\mathrm {d} t'}}\cdot {\dfrac {\mathrm {d} t'}{\mathrm {d} t}}={\dot {\mathbf {r} }}_{S}'(t'){\dot {f}}(t).

Используя это отображение, мы видим, что

\Delta X'=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {U} '(t')~\mathrm {d} t'=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {U} '(f(t)){\dot {f}}~\mathrm {d} t=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint {\dot {\mathbf {r} }}_{S}'{\dot {f}}\cdot \mathbf {g} (\mathbf {r'} _{S})~\mathrm {d} S\mathrm {d} t=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint {\dot {\mathbf {r} _{S}}}\cdot \mathbf {g} (\mathbf {r} _{S})~\mathrm {d} S\mathrm {d} t

=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {U} (t)~\mathrm {d} t\rightarrow \Delta X'=\Delta X.

Этот результат означает, что чистое расстояние, пройденное пловцом, не зависит от скоростипри котором он деформируется, а только от геометрической последовательности формы. Это первый ключевой результат.

Симметрия движения вперед и назад [ править ]

Если пловец движется периодически, независимо от времени, мы знаем, что среднее перемещение за один период должно быть равно нулю. Для иллюстрации доказательства рассмотрим пловца, деформирующегося в течение одного периода, который начинается и заканчивается в разы. $t_{0}$ и $t_{1}$ . Это означает, что его форма в начале и конце одинакова, т.е. $\mathbf {r} _{S}(t_{0})=\mathbf {r} _{S}(t_{1}).$ Далее мы рассматриваем движение, полученное обращением временисимметрия первого движения, происходящего в течение периода, начинающегося и заканчивающегося в разы $t_{2}$ и $t_{3}.$ используя аналогичное отображение, как в предыдущем разделе, мы определяем $t_{2}=f(t_{1})$ и $t_{3}=f(t_{0})$ и определите форму при обратном движении, чтобы она была такой же, как форма при прямом движении, $\mathbf {r} _{S}(t)=\mathbf {r'} _{S}(t').$ Теперь найдем связь между чистыми перемещениями в этих двух случаях:

\Delta X'=\int _{t_{2}}^{t_{3}}\mathbf {U} '(t')~\mathrm {d} t'=\int _{t_{1}}^{t_{0}}\mathbf {U} (t)~\mathrm {d} t=-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {U} (t)~\mathrm {d} t=-\Delta X.

Это второй ключевой результат. Объединив наш первый ключевой результат из предыдущего раздела, мы видим, что $\Delta X'=\Delta X=-\Delta X\rightarrow \Delta X=0.$ Мы видим, что пловец, который меняет свое движение, изменяя последовательность изменений формы, приводит к прохождению противоположного расстояния. Кроме того, поскольку у пловца наблюдается реципрокная деформация тела, последовательность движений между ними одинакова. $t_{2}$ и $t_{3}$ и $t_{0}$ и $t_{1}.$ Таким образом, пройденное расстояние должнобыть одинаковыми независимо от направления времени, а это означает, что возвратно-поступательное движение не может использоваться для чистого движения в средах с низким числом Рейнольдса.

Исключения [ править ]

Теорема гребешка справедлива, если предположить, что пловец совершает возвратно-поступательное движение в бесконечной покоящейся ньютоновской жидкости в отсутствие инерции и внешних массовых сил. Однако бывают случаи, когда предположения теоремы о гребешке нарушаются. ^[4] В одном случае успешные пловцы в вязкой среде должны демонстрировать невзаимную кинематику тела. В другом случае, если пловец находится в неньютоновской жидкости , передвижение также может быть достигнуто.

Виды невозвратного движения [ править ]

В своей оригинальной статье Перселл предложил простой пример невзаимной деформации тела, широко известный теперь как пловец Перселла. Этот простой пловец обладает двумя степенями свободы движения: двухшарнирное тело, состоящее из трех жестких звеньев, вращающихся в противофазе друг с другом. Однако любое тело, обладающее более чем одной степенью свободы движения, также может осуществлять передвижение.

В целом, микроскопические организмы, такие как бактерии, развили различные механизмы выполнения невозвратного движения:

Использование жгутика , который вращается, толкая среду назад, а клетку вперед — почти так же, как корабельный винт перемещает корабль. Так передвигаются некоторые бактерии; жгутик прикреплен одним концом к сложному вращающемуся двигателю, жестко удерживаемому на поверхности бактериальной клетки. ^[5]^[6]
Использование гибкой руки: это можно сделать разными способами. Например, у сперматозоидов млекопитающих есть жгутик, который, похожий на хлыст, извивается на конце клетки, толкая клетку вперед. ^[7] Реснички очень похожи на жгутики млекопитающих; они могут продвигать клетку, как инфузорию , сложными движениями, похожими на брасс .

Геометрически вращающийся жгутик представляет собой одномерный пловец, и он работает, потому что его движение происходит вокруг конфигурационного пространства в форме круга, а круг не является возвратно-поступательным движением. Гибкая рука — это многомерный пловец, и она работает, потому что ее движение происходит по кругу в пространстве квадратной формы. Обратите внимание, что первый вид движения имеет нетривиальную гомотопию , а второй вид имеет тривиальную гомотопию.

Неньютоновские жидкости [ править ]

Предположение о ньютоновской жидкости важно, поскольку уравнения Стокса не останутся линейными и независимыми от времени в среде, обладающей сложными механическими и реологическими свойствами. Также общеизвестно, что многие живые микроорганизмы живут в сложных неньютоновских жидкостях, которые распространены в биологически значимых средах. Например, ползущие клетки частомигрируют в эластичные полимерныежидкости.Неньютоновские жидкости обладают несколькими свойствами, которыми можно манипулировать для создания мелкомасштабного передвижения. ^[4]

Во-первых, одно такое эксплуатируемое свойство является нормальным.стрессовые различия. Эти различия возникнут из-за растяжения жидкости потокомпловец. Еще одно полезное свойство — релаксация стресса. Такая временная эволюция таких стрессов содержит термин памяти, хотя степень его использования в значительной степени не изучена. Наконец, неньютоновские жидкости обладают вязкостью, зависящей от скорости сдвига. Другими словами, пловец будет испытывать другую среду чисел Рейнольдса, изменяя скорость своего движения. Многие биологически значимые жидкости разжижаются при сдвиге, то есть вязкость уменьшается со скоростью сдвига. В такой среде скорость, с которой пловец совершает возвратно-поступательное движение, будет значительной, поскольку она больше не будет инвариантной во времени. Это резко контрастирует с тем, что мы установили, когда скорость движения пловца не имеет значения для установления локомоции. Таким образом, возвратно-поступательный пловец можно сконструировать в неньютоновской жидкости. Цю и др . (2014) смогли спроектировать микрогребешок в неньютоновской жидкости. ^[8]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: ^а ^б Перселл, Э.М. (1977), «Жизнь при низком числе Рейнольдса», Американский журнал физики , 45 (1): 3–11, Бибкод : 1977AmJPh..45....3P , doi : 10.1119/1.10903 , hdl : 2433 /226838
^ Наджафи, Али; Голестанян, Рамин (16 июня 2004 г.). «Простой пловец с низким числом Рейнольдса: три связанных сферы» . Физический обзор E . 69 (6): 062901. arXiv : cond-mat/0402070 . дои : 10.1103/PhysRevE.69.062901 .
^ Jump up to: ^а ^б Лауга, Эрик; Пауэрс, Томас Р. (2009), «Гидродинамика плавающих микроорганизмов», Reports on Progress in Physics , 72 (9): 096601, arXiv : 0812.2887 , Bibcode : 2009RPPh...72i6601L , doi : 10.1088/0034-4885/ 72/9/096601 , S2CID 3932471
^ Jump up to: ^а ^б Лауга, Эрик (2011), «Жизнь вокруг теоремы о гребешке», Soft Matter , 7 (7): 3060–3065, arXiv : 1011.3051 , Bibcode : 2011SMat....7.3060L , doi : 10.1039/C0SM00953A , S2CID 96762619
^ Берг ХК и Андерсон Р.А. (1973). «Бактерии плавают, вращая свои жгутиковые нити». Природа . 245 (5425): 380–382. Бибкод : 1973Natur.245..380B . дои : 10.1038/245380a0 . ПМИД 4593496 . S2CID 4173914 .
^ Сильверман М. и Саймон М. (1974). «Вращение жгутиков и механизм подвижности бактерий». Природа . 249 (100): 73–74. Бибкод : 1974Natur.249...73S . дои : 10.1038/249073a0 . ПМИД 4598030 . S2CID 10370084 .
^ Брокау CJ (1991). «Скольжение микротрубочек в жгутиках плавающего сперматозоида: прямые и косвенные измерения на морских ежах и оболочечных сперматозоидах» . J Клеточная Биол . 114 (6): 1201–1215. дои : 10.1083/jcb.114.6.1201 . ПМК 2289132 . ПМИД 1894694 .
^ Цю, Тянь; Ли, Тунг-Чун; Марк, Эндрю Г.; Морозов Константин Игоревич; Мюнстер, Рафаэль; Мирка, Отто; Турек, Стефан; Лешанский Александр Михайлович; Фишер, Пер (2014), «Плавание возвратно-поступательным движением при низком числе Рейнольдса», Nature Communications , 5 : 5119, Bibcode : 2014NatCo...5.5119Q , doi : 10.1038/ncomms6119 , PMC 4241991 , PMID 25369018

Внешние ссылки [ править ]

[Purcell1977-1] Jump up to: ^а ^б Перселл, Э.М. (1977), «Жизнь при низком числе Рейнольдса», Американский журнал физики , 45 (1): 3–11, Бибкод : 1977AmJPh..45....3P , doi : 10.1119/1.10903 , hdl : 2433 /226838

[2] Наджафи, Али; Голестанян, Рамин (16 июня 2004 г.). «Простой пловец с низким числом Рейнольдса: три связанных сферы» . Физический обзор E . 69 (6): 062901. arXiv : cond-mat/0402070 . дои : 10.1103/PhysRevE.69.062901 .

[:0-3] Jump up to: ^а ^б Лауга, Эрик; Пауэрс, Томас Р. (2009), «Гидродинамика плавающих микроорганизмов», Reports on Progress in Physics , 72 (9): 096601, arXiv : 0812.2887 , Bibcode : 2009RPPh...72i6601L , doi : 10.1088/0034-4885/ 72/9/096601 , S2CID 3932471

[:1-4] Jump up to: ^а ^б Лауга, Эрик (2011), «Жизнь вокруг теоремы о гребешке», Soft Matter , 7 (7): 3060–3065, arXiv : 1011.3051 , Bibcode : 2011SMat....7.3060L , doi : 10.1039/C0SM00953A , S2CID 96762619

[Berg1973-5] Берг ХК и Андерсон Р.А. (1973). «Бактерии плавают, вращая свои жгутиковые нити». Природа . 245 (5425): 380–382. Бибкод : 1973Natur.245..380B . дои : 10.1038/245380a0 . ПМИД 4593496 . S2CID 4173914 .

[Silverman1974-6] Сильверман М. и Саймон М. (1974). «Вращение жгутиков и механизм подвижности бактерий». Природа . 249 (100): 73–74. Бибкод : 1974Natur.249...73S . дои : 10.1038/249073a0 . ПМИД 4598030 . S2CID 10370084 .

[Brokaw1991-7] Брокау CJ (1991). «Скольжение микротрубочек в жгутиках плавающего сперматозоида: прямые и косвенные измерения на морских ежах и оболочечных сперматозоидах» . J Клеточная Биол . 114 (6): 1201–1215. дои : 10.1083/jcb.114.6.1201 . ПМК 2289132 . ПМИД 1894694 .

[8] Цю, Тянь; Ли, Тунг-Чун; Марк, Эндрю Г.; Морозов Константин Игоревич; Мюнстер, Рафаэль; Мирка, Отто; Турек, Стефан; Лешанский Александр Михайлович; Фишер, Пер (2014), «Плавание возвратно-поступательным движением при низком числе Рейнольдса», Nature Communications , 5 : 5119, Bibcode : 2014NatCo...5.5119Q , doi : 10.1038/ncomms6119 , PMC 4241991 , PMID 25369018

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]