Унитарное преобразование

В математике унитарное преобразование — это линейный изоморфизм , сохраняющий внутренний продукт : внутренний продукт двух векторов до преобразования равен их внутреннему продукту после преобразования.

Формальное определение

Точнее, унитарное преобразование — это изометрический изоморфизм между двумя пространствами внутреннего произведения (например, гильбертовыми пространствами ). Другими словами, унитарное преобразование — это биективная функция

U:H_{1}\to H_{2}

между двумя внутренними пространствами продукта, $H_{1}$ и $H_{2},$ такой, что

\langle Ux,Uy\rangle _{H_{2}}=\langle x,y\rangle _{H_{1}}\quad {\text{ for all }}x,y\in H_{1}.

Это линейная изометрия , как можно увидеть, установив $x=y.$

Унитарный оператор

В случае, когда $H_{1}$ и $H_{2}$ являются одним и тем же пространством, унитарное преобразование является автоморфизмом этого гильбертова пространства, и тогда оно также называется унитарным оператором .

Антиунитарная трансформация

Близкое к этому понятие — антиунитарное преобразование , которое является биективной функцией.

U:H_{1}\to H_{2}\,

между двумя комплексными гильбертовыми пространствами такими, что

\langle Ux,Uy\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}=\langle y,x\rangle

для всех $x$ и $y$ в $H_{1}$ , где горизонтальная черта представляет комплексно-сопряженное число .

См. также