Совместная квантовая энтропия

Совместная квантовая энтропия обобщает классическую совместную энтропию на контекст квантовой теории информации . Интуитивно, учитывая два квантовых состояния $\rho$ и $\sigma$ , представленные как операторы плотности, которые являются частями квантовой системы, совместная квантовая энтропия является мерой полной неопределенности или энтропии совместной системы. Это написано $S(\rho ,\sigma )$ или $H(\rho ,\sigma )$ , в зависимости от обозначения, используемого для энтропии фон Неймана . Как и другие энтропии, совместная квантовая энтропия измеряется в битах , то есть логарифм берется по основанию 2.

В этой статье мы будем использовать $S(\rho ,\sigma )$ для совместной квантовой энтропии.

Фон

В теории информации для любой классической случайной величины $X$ , классическая энтропия Шеннона $H(X)$ является мерой того, насколько мы не уверены в результате $X$ . Например, если $X$ распределение вероятностей, сосредоточенное в одной точке, результат $X$ определена и, следовательно, ее энтропия $H(X)=0$ . Другая крайность, если $X$ — равномерное распределение вероятностей с $n$ возможные значения, интуитивно можно было бы ожидать $X$ связано с наибольшей неопределенностью. Действительно, такие равномерные распределения вероятностей имеют максимально возможную энтропию $H(X)=\log _{2}(n)$ .

В квантовой теории информации понятие энтропии распространяется от распределений вероятностей до квантовых состояний или матриц плотности . Для государства $\rho$ энтропия фон Неймана определяется выражением

-\operatorname {Tr} \rho \log \rho .

Применяя спектральную теорему или функциональное исчисление Бореля для бесконечномерных систем, мы видим, что она обобщает классическую энтропию. Физический смысл остается прежним. Максимально смешанное состояние , квантовый аналог равномерного распределения вероятностей, имеет максимальную энтропию фон Неймана. С другой стороны, чистое состояние или проекция ранга один будет иметь нулевую энтропию фон Неймана. Запишем энтропию фон Неймана $S(\rho )$ (или иногда $H(\rho )$ .

Определение

Учитывая квантовую систему с двумя подсистемами A и B , термин « совместная квантовая энтропия» просто относится к энтропии фон Неймана объединенной системы. Это нужно отличать от энтропии подсистем.В условных обозначениях, если объединенная система находится в состоянии $\rho ^{AB}$ ,

тогда совместная квантовая энтропия равна

S(\rho ^{A},\rho ^{B})=S(\rho ^{AB})=-\operatorname {Tr} (\rho ^{AB}\log(\rho ^{AB})).

Каждая подсистема имеет свою энтропию. Состояние подсистем задается с помощью операции частичной трассировки .

Характеристики

Классическая совместная энтропия всегда как минимум равна энтропии каждой отдельной системы. Это не относится к совместной квантовой энтропии. Если квантовое состояние $\rho ^{AB}$ демонстрирует квантовую запутанность , то энтропия каждой подсистемы может быть больше совместной энтропии. Это эквивалентно тому, что условная квантовая энтропия может быть отрицательной, тогда как классическая условная энтропия никогда не может быть отрицательной.

Рассмотрим максимально запутанное состояние, такое как состояние Белла . Если $\rho ^{AB}$ является состоянием Белла, скажем,

\left|\Psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|00\rangle +|11\rangle \right),

тогда вся система представляет собой чистое состояние с энтропией 0, а каждая отдельная подсистема представляет собой максимально смешанное состояние с максимальной энтропией фон Неймана. $\log 2=1$ . Таким образом, совместная энтропия объединенной системы меньше, чем у подсистем. Это связано с тем, что для запутанных состояний определенные состояния не могут быть отнесены к подсистемам, что приводит к положительной энтропии.

Обратите внимание, что описанное выше явление не может произойти, если состояние является отделимым чистым состоянием. В этом случае приведенные состояния подсистем также являются чистыми. Следовательно, все энтропии равны нулю.

Связь с другими мерами энтропии

Совместная квантовая энтропия $S(\rho ^{AB})$ может быть использован для определения условной квантовой энтропии :

S(\rho ^{A}|\rho ^{B})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ S(\rho ^{A},\rho ^{B})-S(\rho ^{B})

и квантовая взаимная информация :

I(\rho ^{A}:\rho ^{B})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ S(\rho ^{A})+S(\rho ^{B})-S(\rho ^{A},\rho ^{B})

Эти определения параллельны использованию классической совместной энтропии для определения условной энтропии и взаимной информации .

См. также

Ссылки

Нильсен, Майкл А. и Исаак Л. Чуанг, Квантовые вычисления и квантовая информация . Издательство Кембриджского университета, 2000. ISBN 0-521-63235-8