Бэкингема $о π$ Теорема

В инженерии , прикладной математике и физике Бэкингема о $π$ теорема является ключевой теоремой анализа размерностей . Это формализация метода размерного анализа Рэлея . В общих чертах теорема утверждает, что если существует физически значимое уравнение, включающее определенное количество n физических переменных, то исходное уравнение можно переписать в терминах набора p = n - k безразмерных параметров $π$ ₁ , $π$ ₂ ,... ., $π$ _p, построенный по исходным переменным, где k — количество задействованных физических измерений; он получается как ранг конкретной матрицы .

Теорема обеспечивает метод вычисления наборов безразмерных параметров по заданным переменным, или обезразмеривание , даже если форма уравнения еще неизвестна.

Теорема Бэкингема $о π$ указывает на то, что справедливость законов физики не зависит от конкретной системы единиц . Утверждение этой теоремы состоит в том, что любой физический закон может быть выражен как тождество , включающее только безразмерные комбинации (отношения или произведения) переменных, связанных законом (например, давление и объем связаны законом Бойля - они обратно пропорциональны ). . Если бы значения безразмерных комбинаций менялись вместе с системами единиц, то уравнение не было бы тождественным и теорема не выполнялась бы.

История

названа в честь Эдгара Бекингема , $Хотя теорема π$ она была впервые доказана французским математиком Жозефом Бертраном. ^{[ 1 ]} в 1878 г. Бертран рассмотрел лишь частные случаи задач электродинамики и теплопроводности, но его статья в отчетливых выражениях содержит все основные идеи современного доказательства теоремы и ясно указывает на полезность теоремы для моделирования физических явлений. Техника использования теоремы («метод размерностей») получила широкую известность благодаря работам Рэлея . Первое применение теоремы $в$ π общем случае ^{[ примечание 1 ]} О зависимости падения давления в трубе от управляющих параметров датируется, вероятно, 1892 годом, ^{[ 2 ]} эвристическое доказательство с использованием разложения в ряд — до 1894 г. ^{[ 3 ]}

Формальное обобщение $π-$ теоремы на случай произвольного числа величин было впервые дано А. Ваши [ фр ] в 1892 году: ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} затем в 1911 году — по-видимому независимо — обоими А. Федерманом ^{[ 6 ]} и Д. Рябушинский , ^{[ 7 ]} и снова в 1914 году Бэкингемом. ^{[ 8 ]} Именно в статье Бэкингема было введено использование символа « $\pi _{i}$ «для безразмерных переменных (или параметров), и это источник названия теоремы.

Заявление

Более формально, число $p$ безразмерных термов, которые могут быть сформированы, равна нулю размерной матрицы , и $k$ это звание . Для экспериментальных целей различные системы, которые имеют одно и то же описание в терминах этих безразмерных чисел, эквивалентны.

С математической точки зрения, если у нас есть физически значимое уравнение, такое как $f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})=0,$ где $q_{1},\ldots ,q_{n}$ есть какие-нибудь $n$ физические переменные, и существует максимальное размерно независимое подмножество размера $k$ , ^{[ примечание 2 ]} то приведенное выше уравнение можно переформулировать как $F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0,$ где $\pi _{1},\ldots ,\pi _{p}$ представляют собой безразмерные параметры, построенные из $q_{i}$ к $p=n-k$ безразмерные уравнения — так называемые Пи-группы — вида $\pi _{i}=q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{n}^{a_{n}},$ где показатели $a_{i}$ являются рациональными числами. (Их всегда можно считать целыми числами, переопределив $\pi _{i}$ как возведенный в степень, очищающую все знаменатели.) Если есть $\ell$ фундаментальные единицы в игре, то $p\geq n-\ell$ .

Значение

Теорема Бэкингема $о π$ обеспечивает метод вычисления наборов безразмерных параметров по заданным переменным, даже если форма уравнения остается неизвестной. Однако выбор безразмерных параметров не является уникальным; Теорема Бэкингема лишь обеспечивает способ генерации наборов безразмерных параметров и не указывает наиболее «физически значимые».

Две системы, у которых эти параметры совпадают, называются подобными (как и подобные треугольники , они отличаются только масштабом); для целей уравнения они эквивалентны, и экспериментатор, желающий определить вид уравнения, может выбрать наиболее удобный. Самое главное, что теорема Бэкингема описывает связь между количеством переменных и фундаментальными измерениями.

Доказательство

Для простоты предполагается, что пространство фундаментальных и производных физических единиц образует векторное пространство над действительными числами , где фундаментальные единицы являются базисными векторами, а умножение физических единиц является операцией «сложения векторов» и возведением в степени как операция «скалярного умножения»: представляют размерную переменную как набор показателей степени, необходимых для фундаментальных единиц (с нулевой степенью, если конкретная фундаментальная единица отсутствует). Например, стандартная гравитация $g$ имеет единицы ${\mathsf {L}}/{\mathsf {T}}^{2}={\mathsf {L}}^{1}{\mathsf {T}}^{-2}$ (длина в квадрате времени), поэтому она представлена в виде вектора $(1,-2)$ по отношению к основе фундаментальных единиц (длина, время). Мы могли бы также потребовать, чтобы показатели фундаментальных единиц были рациональными числами, и соответствующим образом изменить доказательство, и в этом случае показатели в пи-группах всегда можно рассматривать как рациональные числа или даже целые числа.

Изменение масштаба единиц

Предположим, у нас есть количества $q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}$ , где единицы $q_{i}$ содержать длину, возведенную в степень $c_{i}$ . Если первоначально мы измеряем длину в метрах, а затем перешли на сантиметры, то числовое значение $q_{i}$ будет перемасштабирован в коэффициент $100^{c_{i}}$ . Любой физически значимый закон должен быть инвариантным при произвольном изменении масштаба каждой фундаментальной единицы; на этом и основана теорема Пи.

Формальное доказательство

Учитывая систему $n$ размерные переменные $q_{1},\ldots ,q_{n}$ в $\ell$ фундаментальные (базисные) измерения, размерная матрица – это $\ell \times n$ матрица $M$ чей $\ell$ строки соответствуют основным размерам и чьи $n$ столбцы — это размеры переменных: $(i,j)$ ая запись (где $1\leq i\leq \ell$ и $1\leq j\leq n$ ) — это мощность $i$ фундаментальное измерение в $j$ -я переменная. Матрицу можно интерпретировать как принятие комбинации переменных величин и определение размеров комбинации с точки зрения фундаментальных измерений. Итак, $\ell \times 1$ вектор (столбец), полученный в результате умножения $M{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}$ состоит из единиц $q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{n}^{a_{n}}$ с точки зрения $\ell$ фундаментальные независимые (базисные) единицы. ^{[ примечание 3 ]}

Если мы изменим масштаб $i$ фундаментальная единица в раз $\alpha _{i}$ , затем $q_{j}$ масштабируется на $\alpha _{1}^{-m_{1j}}\,\alpha _{2}^{-m_{2j}}\cdots \alpha _{\ell }^{-m_{\ell j}}$ , где $m_{ij}$ это $(i,j)$ -я запись размерной матрицы. Чтобы преобразовать это в задачу линейной алгебры, мы берем логарифмы (основание не имеет значения), что дает ${\begin{bmatrix}\log {q_{1}}\\\vdots \\\log {q_{n}}\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}\log {q_{1}}\\\vdots \\\log {q_{n}}\end{bmatrix}}-M^{\operatorname {T} }{\begin{bmatrix}\log {\alpha _{1}}\\\vdots \\\log {\alpha _{\ell }}\end{bmatrix}},$ что представляет действие собой $\mathbb {R} ^{\ell }$ на $\mathbb {R} ^{n}$ . Мы определяем физический закон как произвольную функцию $f\colon (\mathbb {R} ^{+})^{n}\to \mathbb {R}$ такой, что $(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})$ – допустимый набор значений для физической системы, когда $f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})=0$ . Мы далее требуем $f$ быть инвариантным относительно этого действия. Следовательно, она сводится к функции $F\colon \mathbb {R} ^{n}/\operatorname {im} {M^{\operatorname {T} }}\to \mathbb {R}$ . Остается только доказать изоморфизм между $\mathbb {R} ^{n}/\operatorname {im} {M^{\operatorname {T} }}$ и $\mathbb {R} ^{p}$ , (логарифмическое) пространство пи-групп $(\log {\pi _{1}},\log {\pi _{2}},\dots ,\log {\pi _{p}})$ .

Мы строим $n\times p$ матрица $K$ чьи столбцы являются основой для $\ker {M}$ . Он говорит нам, как встроить $\mathbb {R} ^{p}$ в $\mathbb {R} ^{n}$ как ядро $M$ . То есть мы имеем точную последовательность

0\to \mathbb {R} ^{p}\xrightarrow {\ K\ } \mathbb {R} ^{n}\xrightarrow {\ M\ } \mathbb {R} ^{\ell }.

Транспонирование дает еще одну точную последовательность.

\mathbb {R} ^{\ell }\xrightarrow {\ M^{\operatorname {T} }\ } \mathbb {R} ^{n}\xrightarrow {\ K^{\operatorname {T} }\ } \mathbb {R} ^{p}\to 0.

Первая теорема об изоморфизме дает желаемый изоморфизм, который отправляет смежный класс $v+M^{\operatorname {T} }\mathbb {R} ^{\ell }$ к $K^{\operatorname {T} }v$ . Это соответствует переписыванию кортежа $(\log q_{1},\log q_{2},\dots ,\log q_{n})$ в группы пи $(\log \pi _{1},\log \pi _{2},\dots ,\log \pi _{p})$ исходящий из колонн $K$ .

Международная система единиц определяет семь основных единиц: ампер , кельвин , секунда , метр , килограмм , кандела и моль . Иногда бывает полезно ввести дополнительные базовые единицы и методы для усовершенствования метода анализа размерностей. (См. ориентационный анализ и ссылки. ^{[ 9 ]})

Примеры

Скорость

Этот пример элементарен, но служит для демонстрации процедуры.

Предположим, машина едет со скоростью 100 км/ч; сколько времени нужно, чтобы проехать 200 км?

Этот вопрос рассматривает $n=3$ размерные переменные: расстояние $d,$ время $t,$ и скорость $v,$ и мы ищем некоторый закон вида $t=\operatorname {Duration} (v,d).$ Любые две из этих переменных являются размерно независимыми, а три, взятые вместе, — нет. Таким образом, существует $p=n-k=3-2=1$ безразмерная величина.

Размерная матрица $M={\begin{bmatrix}1&0&\;\;\;1\\0&1&-1\end{bmatrix}}$ в котором строки соответствуют размерам основы $L$ и $T,$ и колонны по рассматриваемым размерам $L,T,{\text{ and }}V,$ где последнее означает измерение скорости. Элементы матрицы соответствуют степеням, до которых должны быть возведены соответствующие измерения. Например, третий столбец $(1,-1),$ заявляет, что $V=L^{0}T^{0}V^{1},$ представленный вектор-столбцом $\mathbf {v} =[0,0,1],$ выражается через базисные размерности как $V=L^{1}T^{-1}=L/T,$ с $M\mathbf {v} =[1,-1].$

Для безразмерной константы $\pi =L^{a_{1}}T^{a_{2}}V^{a_{3}},$ мы ищем векторы $\mathbf {a} =[a_{1},a_{2},a_{3}]$ такое, что произведение матрицы на вектор $M\mathbf {a}$ равен нулевому вектору $[0,0].$ В линейной алгебре набор векторов с этим свойством известен как ядро (или нулевое пространство) размерной матрицы. В данном конкретном случае его ядро одномерно. Размерная матрица, как написано выше, имеет форму сокращенного звена строк , поэтому можно считать ненулевой вектор ядра с точностью до мультипликативной константы: $\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}-1\\\;\;\;1\\\;\;\;1\\\end{bmatrix}}.$

Если бы размерная матрица еще не была уменьшена, можно было бы выполнить исключение Гаусса – Жордана для размерной матрицы, чтобы легче определить ядро. Отсюда следует, что безразмерную константу, заменяющую размерности соответствующими размерными переменными, можно записать: $\pi =d^{-1}t^{1}v^{1}=tv/d.$

Поскольку ядро определяется только с точностью до мультипликативной константы, указанная выше безразмерная константа, возведенная в любую произвольную степень, дает другую (эквивалентную) безразмерную константу.

Таким образом, размерный анализ позволил получить общее уравнение, связывающее три физические переменные: $F(\pi )=0,$ или, позволяя $C$ обозначим ноль функции $F,$ $\pi =C,$ который можно записать в нужной форме (какой отзыв был $t=\operatorname {Duration} (v,d)$ ) как $t=C{\frac {d}{v}}.$

Фактическая связь между тремя переменными просто $d=vt.$ Другими словами, в этом случае $F$ имеет один физически значимый корень, и это единица. Тот факт, что только одно значение $C$ подойдет, и то, что оно равно 1, методом анализа размерностей не обнаруживается.

Простой маятник

Мы хотим определить период $T$ малых колебаний простого маятника . Предполагается, что она является функцией длины $L,$ масса $M,$ и ускорение силы тяжести на поверхности Земли $g,$ который имеет размеры длины, деленной на квадрат времени. Модель имеет вид $f(T,M,L,g)=0.$

(Обратите внимание, что оно записано как отношение, а не как функция: $T$ здесь не записано как функция $M,L,{\text{ and }}g.$ )

Период, масса и длина не зависят от размеров, но ускорение можно выразить через время и длину, а это означает, что четыре переменные, взятые вместе, не являются независимыми от размеров. Таким образом, нам нужно только $p=n-k=4-3=1$ безразмерный параметр, обозначаемый $\pi ,$ и модель может быть перевыражена как $F(\pi )=0,$ где $\pi$ дается $\pi =T^{a_{1}}M^{a_{2}}L^{a_{3}}g^{a_{4}}$ для некоторых значений $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}.$

Размеры размерных величин составляют: $T=t,M=m,L=\ell ,g=\ell /t^{2}.$

Размерная матрица: $\mathbf {M} ={\begin{bmatrix}1&0&0&-2\\0&1&0&0\\0&0&1&1\end{bmatrix}}.$

(Ряды соответствуют размерам $t,m,$ и $\ell ,$ а столбцы - размерным переменным $T,M,L,{\text{ and }}g.$ Например, 4-й столбец, $(-2,0,1),$ заявляет, что $g$ переменная имеет размеры $t^{-2}m^{0}\ell ^{1}.$ )

Ищем вектор ядра $a=\left[a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right]$ такая, что матричное произведение $\mathbf {M}$ на $a$ дает нулевой вектор $[0,0,0].$ Размерная матрица, как написано выше, имеет форму уменьшенного эшелона строк, поэтому можно считать вектор ядра внутри мультипликативной константы: $a={\begin{bmatrix}2\\0\\-1\\1\end{bmatrix}}.$

Если бы оно еще не было уменьшено, можно было бы выполнить исключение Гаусса – Жордана в размерной матрице, чтобы легче определить ядро. Отсюда следует, что безразмерную константу можно записать: ${\begin{aligned}\pi &=T^{2}M^{0}L^{-1}g^{1}\\&=gT^{2}/L\end{aligned}}.$ В фундаментальном плане: $\pi =(t)^{2}(m)^{0}(\ell )^{-1}\left(\ell /t^{2}\right)^{1}=1,$ который безразмерен. Поскольку ядро определяется только с точностью до мультипликативной константы, если указанную выше безразмерную константу возвести в любую произвольную степень, это даст другую эквивалентную безразмерную константу.

В этом примере три из четырехмерных величин являются фундаментальными единицами, поэтому последняя (то есть $g$ ) должно быть комбинацией предыдущего. Обратите внимание, что если $a_{2}$ (коэффициент $M$ ) было ненулевым, то не было бы возможности отменить $M$ ценить; поэтому $a_{2}$ должно быть равно нулю. Размерный анализ позволил нам сделать вывод, что период маятника не является функцией его массы. $M.$ (В трехмерном пространстве степеней массы, времени и расстояния мы можем сказать, что вектор массы линейно независим от векторов трех других переменных. С точностью до масштабного коэффициента ${\vec {g}}+2{\vec {T}}-{\vec {L}}$ — единственный нетривиальный способ построить вектор безразмерного параметра.)

Теперь модель можно выразить следующим образом: $F\left(gT^{2}/L\right)=0.$

Тогда это означает, что $gT^{2}/L=C_{i}$ за какой-то ноль $C_{i}$ функции $F.$ Если есть только один ноль, назовите его $C,$ затем $gT^{2}/L=C.$ Требуется больше физического понимания или эксперимента, чтобы показать, что действительно существует только один ноль и что константа на самом деле определяется выражением $C=4\pi ^{2}.$

При больших колебаниях маятника анализ усложняется дополнительным безразмерным параметром — максимальным углом качания. Приведенный выше анализ является хорошим приближением, поскольку угол приближается к нулю .

Электроэнергия

Чтобы продемонстрировать применение $теоремы π$ , рассмотрим мощность потребляемую мешалки заданной формы. Мощность P в размерах [M · L ²/Т ³], является функцией плотности , ρ [ M/L ³] и вязкость перемешиваемой жидкости, ц [М/(Л · Т)], а также размер мешалки, определяемый ее диаметром , D [л], и угловой скоростью мешалки, n [1/Т]. Таким образом, у нас есть всего n = 5 переменных, представляющих наш пример. Эти n = 5 переменных состоят из k = 3 независимых измерений, например, длины: L ( единицы СИ : м ), времени: T ( с ) и массы: M ( кг ).

Согласно $π$ -теореме, n = 5 переменных можно уменьшить по k = 3 измерениям, чтобы сформировать p = n - k = 5 - 3 = 2 независимых безразмерных числа. Обычно эти величины выбирают как ${\textstyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho nD^{2}}{\mu }}}$ , обычно называемое числом Рейнольдса , которое описывает режим потока жидкости, и ${\textstyle N_{\mathrm {p} }={\frac {P}{\rho n^{3}D^{5}}}}$ , число мощности , которое является безразмерным описанием мешалки.

Обратите внимание, что две безразмерные величины не уникальны и зависят от того, какая из n = 5 переменных выбрана в качестве k = 3 размерно независимых базисных переменных, которые в этом примере появляются в обеих безразмерных величинах. Число Рейнольдса и число степени выпадают из приведенного выше анализа, если ${\textstyle \rho }$ , n и D выбраны в качестве базовых переменных. Если вместо этого ${\textstyle \mu }$ выбраны , n и D , число Рейнольдса восстанавливается, а вторая безразмерная величина становится ${\textstyle N_{\mathrm {Rep} }={\frac {P}{\mu D^{3}n^{2}}}}$ . Мы отмечаем, что ${\textstyle N_{\mathrm {Rep} }}$ является произведением числа Рейнольдса и числа степени.

Другие примеры

Пример анализа размеров можно найти на примере механики тонкого твердого вращающегося диска с параллельными сторонами. Здесь задействовано пять переменных, которые сводятся к двум безразмерным группам. Связь между ними может быть определена численным экспериментом с использованием, например, метода конечных элементов. ^{[ 10 ]}

Теорема также использовалась в других областях, помимо физики, например, в спортивной науке . ^{[ 11 ]}

См. также

Ссылки

Примечания

^ При применении $π$ –теоремы возникает произвольная функция безразмерных чисел.
^ Размерно независимый набор переменных - это набор, для которого единственные показатели степени $q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{k}^{a_{k}}$ дающие безразмерную величину, $a_{1}=a_{2}=\cdots =0$ . В этом и заключается понятие линейной независимости .
^ Если эти базисные единицы $b_{1},\ldots ,b_{\ell }$ и если единицы $q_{j}=m_{1j}b_{1}+\cdots +m_{\ell j}b_{\ell }$ для каждого $1\leq j\leq n$ , затем $M={\begin{bmatrix}m_{11}&\cdots &m_{1j}&\cdots &m_{1n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\m_{\ell 1}&\cdots &m_{\ell j}&\cdots &m_{\ell n}\\\end{bmatrix}}$ так что, например, единицы $q_{1}$ в этих базисных единицах $M\left(\left[1\ 0\ \cdots \ 0\right]^{\operatorname {T} }\right)={\begin{bmatrix}m_{11}\\\vdots \\m_{\ell 1}\\\end{bmatrix}}.$ В качестве конкретного примера предположим, что $\ell =2$ основные единицы - метры $b_{1}=m$ и секунды $b_{2}=s,$ и что есть $n=3$ размерные переменные: $q_{1}=m/s^{2},q_{2}=1/m,q_{3}=s/m.$ По определению векторного сложения и скалярного умножения единиц, $q_{1}=ms^{-2}=1m+(-2)s,\quad q_{2}=m^{-1}=(-1)m+0s,\quad {\text{and}}\quad q_{3}=m^{-1}s=(-1)m+1s,$ так что $M={\begin{bmatrix}m_{11}&m_{12}&m_{13}\\m_{21}&m_{22}&m_{23}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&-1&-1\\-2&0&1\\\end{bmatrix}}.$ По определению, безразмерными переменными являются те, единицы измерения которых $m^{0}s^{0},$ какие именно векторы в $\ker M=\operatorname {span} \left\{[1,-1,2]^{\operatorname {T} }\right\}=\left\{\left(q_{1}-q_{2}+2q_{3}\right)^{s}:s\in \mathbb {Q} \right\}.$ В этом можно убедиться непосредственным вычислением: $q_{1}-q_{2}+2q_{3}=\left(ms^{-2}\right)^{1}+\left(m^{-1}\right)^{-1}+\left(sm^{-1}\right)^{2}=m^{1}s^{-2}+m^{1}+m^{-2}s^{2}=m^{1+1+(-2)}s^{-2+0+2}=m^{0}s^{0},$ который действительно безразмерен. Следовательно, если какой-то физический закон утверждает, что $q_{1},q_{2},q_{3}$ обязательно связаны (предположительно неизвестным) уравнением вида $f\left(q_{1},q_{2},q_{3}\right)=0$ для некоторой (неизвестной) функции $f$ с $\operatorname {domain} (f)\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ (то есть кортеж $\left(q_{1},q_{2},q_{3}\right)$ обязательно является нулем $f$ ), то существует некоторая (также неизвестная) функция $F:\mathbb {R} ^{1}\to \mathbb {R}$ это зависит только от $p=3-2=1$ переменная, безразмерная переменная $\pi _{1}:=q_{1}-q_{2}+2q_{3}=q_{1}q_{3}^{2}/q_{2}$ (или любая ненулевая рациональная степень ${\hat {\pi }}_{1}:=\pi _{1}^{s}$ из $\pi _{1},$ где $0\neq s\in \mathbb {Q}$ ), такой, что $F\left(\pi _{1}\right)=0$ имеет место (если ${\hat {\pi }}_{1}:=\pi _{1}^{s}$ используется вместо $\pi _{1}$ затем $F$ можно заменить на ${\hat {F}}(x):=F\left(x^{1/s}\right)$ и еще раз ${\hat {F}}\left({\hat {\pi }}_{1}\right)=0$ держится). Таким образом, в терминах исходных переменных $F\left(q_{1}q_{3}^{2}/q_{2}\right)=0$ должен удерживаться (альтернативно, если используется ${\hat {\pi }}_{1}:=\pi _{1}^{1/2}={\sqrt {\pi _{1}}}$ например, тогда ${\hat {F}}\left({\sqrt {q_{1}q_{3}^{2}/q_{2}}}\right)=0$ должен держаться). Другими словами, из теоремы Букингема $о π$ следует, что $q_{1}q_{3}^{2}/q_{2}\in F^{-1}(0),$ так что, если случится так, что это $F$ имеет ровно один ноль, назовите его $C,$ тогда уравнение $q_{1}q_{3}^{2}/q_{2}=C$ обязательно будет выполняться (теорема не дает информации о том, каково точное значение константы $C$ будет, и это не гарантирует, что $F$ имеет ровно один ноль).