Растянутая экспоненциальная функция

**Рисунок 1** . Иллюстрация растянутой экспоненциальной аппроксимации (с β = 0,52) эмпирической основной кривой. одинарная и двойная экспоненциальная Для сравнения также показаны аппроксимация методом наименьших квадратов. Приведены данные вращательной антрацена в нескольких полиизобутилене анизотропии молекулярных масс . Графики были перекрыты путем деления времени ( t ) на соответствующую характеристическую постоянную времени .

Растянутая показательная функция $f_{\beta }(t)=e^{-t^{\beta }}$ получается подстановкой дробного степенного закона в показательную функцию . В большинстве приложений это имеет смысл только для аргументов $t$ от 0 до +∞. При $β = 1$ восстанавливается обычная показательная функция. При показателе растяжения β между 0 и 1 график зависимости log f от t обычно растягивается , отсюда и название функции. Сжатая показательная функция (с $β > 1$ ) имеет меньшее практическое значение, за заметным исключением $β = 2$ , которое дает нормальное распределение .

В математике растянутая экспонента также известна как дополнительное кумулятивное распределение Вейбулла . Растянутая экспонента также является характеристической функцией , по сути преобразованием Фурье , симметричного альфа-стабильного распределения Леви .

В физике растянутая показательная функция часто используется как феноменологическое описание релаксации в неупорядоченных системах. Впервые он был введен Рудольфом Кольраушем в 1854 году для описания разряда конденсатора; ^[1] поэтому она также известна как функция Кольрауша . В 1970 году Дж. Уильямс и Д. К. Уоттс использовали преобразование Фурье растянутой экспоненты для описания диэлектрических спектров полимеров; ^[2] в этом контексте растянутая экспонента или ее преобразование Фурье также называются функцией Кольрауша-Вильямса-Уоттса (KWW) . Функция Кольрауша-Вильямса-Уоттса (KWW) соответствует зарядовому отклику во временной области основных диэлектрических моделей, таких как уравнение Коула-Коула , уравнение Коула-Дэвидсона и релаксация Гавриляка-Негами , для малых временных аргументов. ^[3]

В феноменологических приложениях часто неясно, следует ли использовать растянутую экспоненциальную функцию для описания дифференциальной или интегральной функции распределения или ни одной из них. В каждом случае получается один и тот же асимптотический распад, но другой префактор степенного закона, что делает аппроксимацию более неоднозначной, чем для простых экспонент. В некоторых случаях ^[4]^[5]^[6]^[7] можно показать, что асимптотическое затухание представляет собой растянутую экспоненту, но предфактор обычно представляет собой несвязанную степень.

Математические свойства

Моменты

Следуя обычной физической интерпретации, мы интерпретируем аргумент функции t как время, а f _β ( t ) — дифференциальное распределение. Таким образом, площадь под кривой можно интерпретировать как среднее время релаксации . Можно найти $\langle \tau \rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,e^{-(t/\tau _{K})^{\beta }}={\tau _{K} \over \beta }\Gamma {\left({\frac {1}{\beta }}\right)}$ где $Γ$ – гамма-функция . Для экспоненциального затухания $⟨ τ ⟩ = τ K.$ восстанавливается

Высшие моменты растянутой показательной функции равны ^[8] $\langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,t^{n-1}\,e^{-(t/\tau _{K})^{\beta }}={{\tau _{K}}^{n} \over \beta }\Gamma {\left({\frac {n}{\beta }}\right)}.$

Функция распределения

В физике предпринимались попытки объяснить поведение растянутой экспоненты как линейную суперпозицию простых экспоненциальных спадов. Для этого требуется нетривиальное распределение времен релаксации ρ ( u ), которое неявно определяется формулой $e^{-t^{\beta }}=\int _{0}^{\infty }du\,\rho (u)\,e^{-t/u}.$

Альтернативно, распределение $G=u\rho (u)$ используется.

ρ можно вычислить путем разложения в ряд: ^[9] $\rho (u)=-{1 \over \pi u}\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k} \over k!}\sin(\pi \beta k)\Gamma (\beta k+1)u^{\beta k}$

Для рациональных значений ρ β ( u ) можно вычислить через элементарные функции. Но выражение, как правило, слишком сложное, чтобы его можно было использовать, за исключением случая $β = 1/2$ , где $G(u)=u\rho (u)={1 \over 2{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {u}}e^{-u/4}$

На рисунке 2 показаны одни и те же результаты, представленные как в линейном , так и в логарифмическом представлении. Кривые сходятся к дельта-функции Дирака с максимумом при $u = 1,$ когда β приближается к 1, что соответствует простой показательной функции.


Рисунок 2 . Линейные и логарифмические графики растянутой экспоненциальной функции распределения $G$ против $t/\tau$ для значений параметра растяжения β от 0,1 до 0,9.

Моменты исходной функции можно выразить как $\langle \tau ^{n}\rangle =\Gamma (n)\int _{0}^{\infty }d\tau \,t^{n}\,\rho (\tau ).$

Первый логарифмический момент распределения времен просто-экспоненциальной релаксации равен $\langle \ln \tau \rangle =\left(1-{1 \over \beta }\right){\rm {Eu}}+\ln \tau _{K}$ где Eu — постоянная Эйлера . ^[10]

Преобразование Фурье

Для описания результатов спектроскопии или неупругого рассеяния необходимо синусоидальное или косинусоидальное преобразование Фурье растянутой экспоненты. Его необходимо рассчитывать либо путем числового интегрирования, либо путем разложения в ряд. ^[11] Ряд здесь, как и ряд для функции распределения, являются частными случаями функции Фокса–Райта . ^[12] Для практических целей преобразование Фурье можно аппроксимировать функцией Гавриляка – Негами : ^[13] хотя в настоящее время числовые вычисления могут выполняться настолько эффективно ^[14] что больше нет причин не использовать функцию Кольрауша-Вильямса-Уоттса в частотной области.

История и дальнейшее применение

Как сказано во введении, растянутая экспонента была введена немецким физиком Рудольфом Кольраушем в 1854 году для описания разряда конденсатора ( лейденской банки ), в котором в качестве диэлектрической среды использовалось стекло. Следующее задокументированное использование принадлежит Фридриху Кольраушу , сыну Рудольфа, для описания торсионной релаксации. А. Вернер использовал его в 1907 для описания сложных затухов люминесценции; Теодор Фёрстер в 1949 году как закон затухания флуоресценции доноров электронной энергии. ^{[ нужна ссылка ]}

За пределами физики конденсированного состояния растянутая экспонента использовалась для описания скорости удаления небольших блуждающих тел в Солнечной системе. ^[15] диффузионно-взвешенный сигнал МРТ в головном мозге, ^[16] и добыча из нетрадиционных газовых скважин. ^[17]

По вероятности

Если интегрированное распределение представляет собой растянутую экспоненту, нормализованная функция плотности вероятности определяется выражением ^{[ нужна ссылка ]} $p(\tau \mid \lambda ,\beta )~d\tau ={\frac {\lambda }{\Gamma (1+\beta ^{-1})}}~e^{-(\tau \lambda )^{\beta }}~d\tau$

Обратите внимание, что некоторые авторы, как известно, используют название «растянутая экспонента» для обозначения распределения Вейбулла . ^[18]

Модифицированные функции

Модифицированная растянутая экспоненциальная функция $f_{\beta }(t)=e^{-t^{\beta (t)}}$ с медленно от t зависящим показателем степени β использовался для кривых биологической выживаемости. ^[19]^[20]

Беспроводная связь

Было показано, что в беспроводной связи масштабированная версия растянутой экспоненциальной функции появляется в преобразовании Лапласа для мощности помех. $I$ когда местоположения передатчиков моделируются как двумерный процесс точки Пуассона без исключенной области вокруг приемника. ^[21]

можно Преобразование Лапласа записать для произвольного распределения замираний следующим образом: $L_{I}(s)=\exp \left(-\pi \lambda \mathbb {E} {\left[g^{\frac {2}{\eta }}\right]}\Gamma {\left(1-{\frac {2}{\eta }}\right)}s^{\frac {2}{\eta }}\right)=\exp \left(-ts^{\beta }\right)$ где $g$ это сила угасания, $\eta$ — показатель потерь на пути , $\lambda$ - плотность двумерного точечного процесса Пуассона, $\Gamma (\cdot )$ - гамма-функция, а $\mathbb {E} [x]$ это математическое ожидание переменной $x$ . ^{[ нужна ссылка ]}

В той же ссылке также показано, как получить обратное преобразование Лапласа для растянутой экспоненты. $\exp \left(-s^{\beta }\right)$ для целого числа более высокого порядка $\beta =\beta _{q}\beta _{b}$ из целых чисел младшего порядка $\beta _{a}$ и $\beta _{b}$ . ^{[ нужна ссылка ]}

Интернет-стриминг

Растянутая экспонента использовалась для характеристики моделей доступа к интернет-медиа, таким как YouTube и другие стабильные сайты потокового мультимедиа. ^[22] Общепринятые степенные шаблоны доступа к веб-рабочим нагрузкам в основном отражают веб-рабочие нагрузки с текстовым контентом, такие как ежедневно обновляемые новостные сайты. ^[23]

Ссылки

^ Кольрауш, Р. (1854). «Теория электрического остатка в бутылке Лейднера» . Анналы физики и химии . 91 (1): 56–82, 179–213. Стартовый код : 1854АнП...167...56К . дои : 10.1002/andp.18541670103 . .
^ Уильямс, Г. и Уоттс, округ Колумбия (1970). «Несимметричное поведение диэлектрической релаксации, возникающее из простой эмпирической функции распада». Труды Фарадеевского общества . 66 : 80–85. дои : 10.1039/tf9706600080 . S2CID 95007734 . .
^ Холм, Сверре (2020). «Характеристика диэлектрической модели Коула-Коула во временной области» . Журнал электрического биоимпеданса . 11 (1): 101–105. дои : 10.2478/joeb-2020-0015 . ПМК 7851980 . ПМИД 33584910 .
^ Донскер, доктор медицинских наук и Варадхан, SRS (1975). «Асимптотическая оценка некоторых ожиданий марковского процесса на большом времени». Комм. Чистое приложение. Математика . 28 : 1–47. дои : 10.1002/cpa.3160280102 .
^ Такано Х., Наканиси Х. и Мияшита С. (1988). «Растянутое экспоненциальное затухание спин-корреляционной функции в кинетической модели Изинга ниже критической температуры». Физ. Преподобный Б. 37 (7): 3716–3719. Бибкод : 1988PhRvB..37.3716T . дои : 10.1103/PhysRevB.37.3716 . ПМИД 9944981 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Шор, Джон Э. и Цванциг, Роберт (1975). «Диэлектрическая релаксация и динамическая восприимчивость одномерной модели перпендикулярно-дипольных полимеров». Журнал химической физики . 63 (12): 5445–5458. Бибкод : 1975ЖЧФ..63.5445С . дои : 10.1063/1.431279 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Брей, Джей-Джей и Прадос, А. (1993). «Растянутое экспоненциальное затухание в промежуточные моменты времени в одномерной модели Изинга при низких температурах». Физика А. 197 (4): 569–582. Бибкод : 1993PhyA..197..569B . дои : 10.1016/0378-4371(93)90015-В . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Градштейн Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Героним Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014 г.]. «3.478.». В Цвиллингере, Дэниел; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, рядов и произведений . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. с. 372. ИСБН 978-0-12-384933-5 . LCCN 2014010276 .
^ Линдси, К. П. и Паттерсон, Г. Д. (1980). «Детальное сравнение функций Уильямса-Уоттса и Коула-Дэвидсона». Журнал химической физики . 73 (7): 3348–3357. Бибкод : 1980JChPh..73.3348L . дои : 10.1063/1.440530 . .Более недавнее и общее обсуждение см. Берберан-Сантос, М.Н., Бодунов, Э.Н. и Валер, Б. (2005). «Математические функции для анализа затухания люминесценции с основными распределениями 1. Функция затухания Кольрауша (растянутая экспонента)». Химическая физика . 315 (1–2): 171–182. Бибкод : 2005CP....315..171B . doi : 10.1016/j.chemphys.2005.04.006 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) .
^ Зорн, Р. (2002). «Логарифмические моменты распределения времени релаксации» (PDF) . Журнал химической физики . 116 (8): 3204–3209. Бибкод : 2002JChPh.116.3204Z . дои : 10.1063/1.1446035 .
^ Дишон и др. 1985.
^ Хилфер, Дж. (2002). « Представления H -функции для расширенной экспоненциальной релаксации и недебаевской восприимчивости в стеклообразных системах». Физический обзор E . 65 (6): 061510. Бибкод : 2002PhRvE..65f1510H . дои : 10.1103/physreve.65.061510 . ПМИД 12188735 . S2CID 16276298 .
^ Альварес Ф., Алегрия А. и Кольменеро Дж. (1991). «Связь между функциями релаксации Кольрауша-Вильямса-Уоттса во временной области и функциями релаксации Гавриляка-Негами в частотной области». Физический обзор B . 44 (14): 7306–7312. Бибкод : 1991PhRvB..44.7306A . дои : 10.1103/PhysRevB.44.7306 . ПМИД 9998642 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Вуттке, Дж. (2012). «Преобразование Лапласа – Фурье растянутой экспоненциальной функции: аналитические границы ошибок, двойное экспоненциальное преобразование и реализация с открытым исходным кодом «libkww» » . Алгоритмы . 5 (4): 604–628. arXiv : 0911.4796 . дои : 10.3390/a5040604 . S2CID 15030084 .
^ Добровольскис А., Альвареллос Дж. и Лиссауэр Дж. (2007). «Время жизни малых тел на планетоцентрических (или гелиоцентрических) орбитах». Икар . 188 (2): 481–505. Бибкод : 2007Icar..188..481D . дои : 10.1016/j.icarus.2006.11.024 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Беннетт, К.; и др. (2003). «Характеристика непрерывно распределенных скоростей диффузии воды в коре головного мозга с помощью растянутой экспоненциальной модели» . Магн. Резон. Мед . 50 (4): 727–734. дои : 10.1002/mrm.10581 . ПМИД 14523958 .
^ Валко, Питер П.; Ли, В. Джон (1 января 2010 г.). «Лучший способ прогнозирования добычи из нетрадиционных газовых скважин». Ежегодная техническая конференция и выставка SPE . Общество инженеров-нефтяников. дои : 10.2118/134231-мс . ISBN 9781555633004 .
^ Сорнетт, Д. (2004). Критические явления в естествознании: хаос, фракталы, самоорганизация и беспорядок . .
^ Б.М. Веон и Дж.Х. Дже (2009). «Теоретическая оценка максимальной продолжительности жизни человека». Биогеронтология . 10 (1): 65–71. дои : 10.1007/s10522-008-9156-4 . ПМИД 18560989 . S2CID 8554128 .
^ Б.М. Веон (2016). «Тираннозавры как виды-долгожители» . Научные отчеты . 6 : 19554. Бибкод : 2016NatSR...619554W . дои : 10.1038/srep19554 . ПМЦ 4726238 . ПМИД 26790747 .
^ Аммар Х.А., Насер Ю. и Артайль Х. (2018). «Выражения в закрытой форме для функции плотности вероятности мощности помех в сетях PPP». Международная конференция IEEE по коммуникациям (ICC) 2018 . стр. 1–6. arXiv : 1803.10440 . дои : 10.1109/ICC.2018.8422214 . ISBN 978-1-5386-3180-5 . S2CID 4374550 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Лэй Го, Эньхуа Тан, Сунцин Чен, Чжэнь Сяо и Сяодун Чжан (2008). «Растянутое экспоненциальное распределение моделей доступа к СМИ в Интернете» . ПОДК'08. С. 283–294. дои : 10.1145/1400751.1400789 . {{cite conference}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Адамич, Лада А.; Бернардо А., Хуберман (2000). «Распределение Всемирной паутины по степенному закону». Наука . 287 (5461): 2115–2115. дои : 10.1126/science.287.5461.2115a .

Внешние ссылки

Дж. Вуттке: библиотека libkww C для вычисления преобразования Фурье растянутой экспоненциальной функции.

[1] Кольрауш, Р. (1854). «Теория электрического остатка в бутылке Лейднера» . Анналы физики и химии . 91 (1): 56–82, 179–213. Стартовый код : 1854АнП...167...56К . дои : 10.1002/andp.18541670103 . .

[2] Уильямс, Г. и Уоттс, округ Колумбия (1970). «Несимметричное поведение диэлектрической релаксации, возникающее из простой эмпирической функции распада». Труды Фарадеевского общества . 66 : 80–85. дои : 10.1039/tf9706600080 . S2CID 95007734 . .

[3] Холм, Сверре (2020). «Характеристика диэлектрической модели Коула-Коула во временной области» . Журнал электрического биоимпеданса . 11 (1): 101–105. дои : 10.2478/joeb-2020-0015 . ПМК 7851980 . ПМИД 33584910 .

[4] Донскер, доктор медицинских наук и Варадхан, SRS (1975). «Асимптотическая оценка некоторых ожиданий марковского процесса на большом времени». Комм. Чистое приложение. Математика . 28 : 1–47. дои : 10.1002/cpa.3160280102 .

[5] Такано Х., Наканиси Х. и Мияшита С. (1988). «Растянутое экспоненциальное затухание спин-корреляционной функции в кинетической модели Изинга ниже критической температуры». Физ. Преподобный Б. 37 (7): 3716–3719. Бибкод : 1988PhRvB..37.3716T . дои : 10.1103/PhysRevB.37.3716 . ПМИД 9944981 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[6] Шор, Джон Э. и Цванциг, Роберт (1975). «Диэлектрическая релаксация и динамическая восприимчивость одномерной модели перпендикулярно-дипольных полимеров». Журнал химической физики . 63 (12): 5445–5458. Бибкод : 1975ЖЧФ..63.5445С . дои : 10.1063/1.431279 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[7] Брей, Джей-Джей и Прадос, А. (1993). «Растянутое экспоненциальное затухание в промежуточные моменты времени в одномерной модели Изинга при низких температурах». Физика А. 197 (4): 569–582. Бибкод : 1993PhyA..197..569B . дои : 10.1016/0378-4371(93)90015-В . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[Zwillinger_2014-8] Градштейн Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Героним Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014 г.]. «3.478.». В Цвиллингере, Дэниел; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, рядов и произведений . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. с. 372. ИСБН 978-0-12-384933-5 . LCCN 2014010276 .

[9] Линдси, К. П. и Паттерсон, Г. Д. (1980). «Детальное сравнение функций Уильямса-Уоттса и Коула-Дэвидсона». Журнал химической физики . 73 (7): 3348–3357. Бибкод : 1980JChPh..73.3348L . дои : 10.1063/1.440530 . .Более недавнее и общее обсуждение см. Берберан-Сантос, М.Н., Бодунов, Э.Н. и Валер, Б. (2005). «Математические функции для анализа затухания люминесценции с основными распределениями 1. Функция затухания Кольрауша (растянутая экспонента)». Химическая физика . 315 (1–2): 171–182. Бибкод : 2005CP....315..171B . doi : 10.1016/j.chemphys.2005.04.006 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) .

[10] Зорн, Р. (2002). «Логарифмические моменты распределения времени релаксации» (PDF) . Журнал химической физики . 116 (8): 3204–3209. Бибкод : 2002JChPh.116.3204Z . дои : 10.1063/1.1446035 .

[11] Дишон и др. 1985.

[12] Хилфер, Дж. (2002). « Представления H -функции для расширенной экспоненциальной релаксации и недебаевской восприимчивости в стеклообразных системах». Физический обзор E . 65 (6): 061510. Бибкод : 2002PhRvE..65f1510H . дои : 10.1103/physreve.65.061510 . ПМИД 12188735 . S2CID 16276298 .

[13] Альварес Ф., Алегрия А. и Кольменеро Дж. (1991). «Связь между функциями релаксации Кольрауша-Вильямса-Уоттса во временной области и функциями релаксации Гавриляка-Негами в частотной области». Физический обзор B . 44 (14): 7306–7312. Бибкод : 1991PhRvB..44.7306A . дои : 10.1103/PhysRevB.44.7306 . ПМИД 9998642 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[14] Вуттке, Дж. (2012). «Преобразование Лапласа – Фурье растянутой экспоненциальной функции: аналитические границы ошибок, двойное экспоненциальное преобразование и реализация с открытым исходным кодом «libkww» » . Алгоритмы . 5 (4): 604–628. arXiv : 0911.4796 . дои : 10.3390/a5040604 . S2CID 15030084 .

[15] Добровольскис А., Альвареллос Дж. и Лиссауэр Дж. (2007). «Время жизни малых тел на планетоцентрических (или гелиоцентрических) орбитах». Икар . 188 (2): 481–505. Бибкод : 2007Icar..188..481D . дои : 10.1016/j.icarus.2006.11.024 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[16] Беннетт, К.; и др. (2003). «Характеристика непрерывно распределенных скоростей диффузии воды в коре головного мозга с помощью растянутой экспоненциальной модели» . Магн. Резон. Мед . 50 (4): 727–734. дои : 10.1002/mrm.10581 . ПМИД 14523958 .

[17] Валко, Питер П.; Ли, В. Джон (1 января 2010 г.). «Лучший способ прогнозирования добычи из нетрадиционных газовых скважин». Ежегодная техническая конференция и выставка SPE . Общество инженеров-нефтяников. дои : 10.2118/134231-мс . ISBN 9781555633004 .

[18] Сорнетт, Д. (2004). Критические явления в естествознании: хаос, фракталы, самоорганизация и беспорядок . .

[19] Б.М. Веон и Дж.Х. Дже (2009). «Теоретическая оценка максимальной продолжительности жизни человека». Биогеронтология . 10 (1): 65–71. дои : 10.1007/s10522-008-9156-4 . ПМИД 18560989 . S2CID 8554128 .

[20] Б.М. Веон (2016). «Тираннозавры как виды-долгожители» . Научные отчеты . 6 : 19554. Бибкод : 2016NatSR...619554W . дои : 10.1038/srep19554 . ПМЦ 4726238 . ПМИД 26790747 .

[21] Аммар Х.А., Насер Ю. и Артайль Х. (2018). «Выражения в закрытой форме для функции плотности вероятности мощности помех в сетях PPP». Международная конференция IEEE по коммуникациям (ICC) 2018 . стр. 1–6. arXiv : 1803.10440 . дои : 10.1109/ICC.2018.8422214 . ISBN 978-1-5386-3180-5 . S2CID 4374550 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[22] Лэй Го, Эньхуа Тан, Сунцин Чен, Чжэнь Сяо и Сяодун Чжан (2008). «Растянутое экспоненциальное распределение моделей доступа к СМИ в Интернете» . ПОДК'08. С. 283–294. дои : 10.1145/1400751.1400789 . {{cite conference}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[23] Адамич, Лада А.; Бернардо А., Хуберман (2000). «Распределение Всемирной паутины по степенному закону». Наука . 287 (5461): 2115–2115. дои : 10.1126/science.287.5461.2115a .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]