Алгебра Темперли–Либа

В статистической механике алгебра Темперли -Либа — алгебра, из которой строятся определенные трансфер-матрицы , изобретенные Невиллом Темперли и Эллиотом Либом . Это также связано с интегрируемыми моделями , теорией узлов и группой кос , квантовыми группами и подфакторами алгебр фон Неймана .

Структура

Генераторы и отношения

Позволять $R$ быть коммутативным кольцом и исправить $\delta \in R$ . Алгебра Темперли–Либа $TL_{n}(\delta )$ это $R$ -алгебра, порожденная элементами $e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n-1}$ , с учетом соотношений Джонса:

$e_{i}^{2}=\delta e_{i}$ для всех $1\leq i\leq n-1$
$e_{i}e_{i+1}e_{i}=e_{i}$ для всех $1\leq i\leq n-2$
$e_{i}e_{i-1}e_{i}=e_{i}$ для всех $2\leq i\leq n-1$
$e_{i}e_{j}=e_{j}e_{i}$ для всех $1\leq i,j\leq n-1$ такой, что $|i-j|\neq 1$

Используя эти соотношения, любое произведение образующих $e_{i}$ можно привести к нормальной форме Джонса:

E={\big (}e_{i_{1}}e_{i_{1}-1}\cdots e_{j_{1}}{\big )}{\big (}e_{i_{2}}e_{i_{2}-1}\cdots e_{j_{2}}{\big )}\cdots {\big (}e_{i_{r}}e_{i_{r}-1}\cdots e_{j_{r}}{\big )}

где $(i_{1},i_{2},\dots ,i_{r})$ и $(j_{1},j_{2},\dots ,j_{r})$ две строго возрастающие последовательности в $\{1,2,\dots ,n-1\}$ . Элементы этого типа составляют основу алгебры Темперли-Либа. ^[1]

Размерностями алгебр Темперли-Либа являются каталонские числа : ^[2]

\dim(TL_{n}(\delta ))={\frac {(2n)!}{n!(n+1)!}}

Алгебра Темперли–Либа $TL_{n}(\delta )$ является подалгеброй алгебры Брауэра ${\mathfrak {B}}_{n}(\delta )$ , ^[3] и, следовательно, также алгебры разбиения $P_{n}(\delta )$ . Алгебра Темперли–Либа $TL_{n}(\delta )$ является полупростым для $\delta \in \mathbb {C} -F_{n}$ где $F_{n}$ — известное конечное множество. ^[4] Для данного $n$ , все полупростые алгебры Темперли–Либа изоморфны. ^[3]

Диаграммная алгебра

$TL_{n}(\delta )$ может быть представлено схематически как векторное пространство над непересекающимися парами $2n$ точки на двух противоположных сторонах прямоугольника с n точками на каждой из двух сторон.

Элемент идентификации — это диаграмма, на которой каждая точка соединена с точкой, расположенной непосредственно напротив нее в прямоугольнике. Генератор $e_{i}$ представляет собой диаграмму, на которой $i$ -й и $(i+1)$ -я точка на левой стороне соединены друг с другом, аналогично две точки, противоположные этим на правой стороне, а все остальные точки соединены с точкой непосредственно поперек прямоугольника.

Генераторы $TL_{5}(\delta )$ являются:

Слева направо энергоблок №1 и генераторы. $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ , $e_{4}$ .

Умножение базовых элементов можно выполнить путем конкатенации: размещения двух прямоугольников рядом и замены любых замкнутых циклов на коэффициент. $\delta$ , например $e_{1}e_{4}e_{3}e_{2}\times e_{2}e_{4}e_{3}=\delta \,e_{1}e_{4}e_{3}e_{2}e_{4}e_{3}$ :

× = = $\delta$ .

Отношения Джонса можно увидеть графически:

= $\delta$

=

Пять основных элементов $TL_{3}(\delta )$ следующие:

.

Слева направо блок 1, генераторы $e_{2}$ , $e_{1}$ , и $e_{1}e_{2}$ , $e_{2}e_{1}$ .

Представительства

Структура

Для $\delta$ такой, что $TL_{n}(\delta )$ полупростой, полный набор $\{W_{\ell }\}$ простых модулей параметризуется целыми числами $0\leq \ell \leq n$ с $\ell \equiv n{\bmod {2}}$ . Размерность простого модуля записывается через биномиальные коэффициенты как ^[4]

\dim(W_{\ell })={\binom {n}{\frac {n-\ell }{2}}}-{\binom {n}{{\frac {n-\ell }{2}}-1}}

Основа простого модуля $W_{\ell }$ это набор $M_{n,\ell }$ унитарных непересекающихся пар из $n$ указывает слева на $\ell$ точки справа. (Моника означает, что каждая точка справа соединена с точкой слева.) Существует естественная биекция между $\cup _{\begin{array}{c}0\leq \ell \leq n\\\ell \equiv n{\bmod {2}}\end{array}}M_{n,\ell }\times M_{n,\ell }$ и набор диаграмм, которые генерируют $TL_{n}(\delta )$ : любую такую диаграмму можно разрезать на два элемента $M_{n,\ell }$ для некоторых $\ell$ .

Затем $TL_{n}(\delta )$ действует на $W_{\ell }$ путем объединения диаграмм слева. ^[3] (Конкатенация может создавать немонические пары, которые необходимо модифицировать.) Модуль $W_{\ell }$ может называться стандартным модулем или модулем связи . ^[1]

Если $\delta =q+q^{-1}$ с $q$ корень единства, $TL_{n}(\delta )$ не может быть полупростым, и $W_{\ell }$ не может быть неприводимым:

W_{\ell }{\text{ reducible }}\iff \exists j\in \{1,2,\dots ,\ell \},\ q^{2n-4\ell +2+2j}=1

Если $W_{\ell }$ приводим, то его фактор по максимальному собственному подмодулю неприводим. ^[1]

Правила ветвления алгебры Брауэра

Простые модули алгебры Брауэра ${\mathfrak {B}}_{n}(\delta )$ можно разложить на простые модули алгебры Темперли-Либа. Разложение называется правилом ветвления и представляет собой прямую сумму с целыми положительными коэффициентами:

W_{\lambda }\left({\mathfrak {B}}_{n}(\delta )\right)=\bigoplus _{\begin{array}{c}|\lambda |\leq \ell \leq n\\\ell \equiv |\lambda |{\bmod {2}}\end{array}}c_{\ell }^{\lambda }W_{\ell }\left(TL_{n}(\delta )\right)

Коэффициенты $c_{\ell }^{\lambda }$ не зависеть от $n,\delta$ , и даны ^[4]

c_{\ell }^{\lambda }=f^{\lambda }\sum _{r=0}^{\frac {\ell -|\lambda |}{2}}(-1)^{r}{\binom {\ell -r}{r}}{\binom {\ell -2r}{\ell -|\lambda |-2r}}(\ell -|\lambda |-2r)!!

где $f^{\lambda }$ — количество стандартных таблиц Юнга формы $\lambda$ , определяемый формулой длины крючка .

Аффинная алгебра Темперли-Либа

Аффинная алгебра Темперли–Либа $aTL_{n}(\delta )$ — бесконечномерная алгебра такая, что $TL_{n}(\delta )\subset aTL_{n}(\delta )$ . Оно получается сложением образующих $e_{n},\tau ,\tau ^{-1}$ такой, что ^[5]

$\tau e_{i}=e_{i+1}\tau$ для всех $1\leq i\leq n$ ,
$e_{1}\tau ^{2}=e_{1}e_{2}\cdots e_{n-1}$ ,
$\tau \tau ^{-1}=\tau ^{-1}\tau ={\text{id}}$ .

Индексы должны быть периодическими, т.е. $e_{n+1}=e_{1},e_{n}=e_{0}$ и отношения Темперли-Либа должны выполняться для всех $1\leq i\leq n$ . Затем $\tau ^{n}$ является центральным. Конечномерный фактор алгебры $aTL_{n}(\delta )$ , иногда называемая неориентированной алгеброй Джонса-Темперли-Либа , ^[6] получается путемпредполагая $\tau ^{n}={\text{id}}$ , и заменив нестягиваемые линии тем же множителем $\delta$ как стягиваемые прямые (например, в случае $n=4$ , это подразумевает $e_{1}e_{3}e_{2}e_{4}e_{1}e_{3}=\delta ^{2}e_{1}e_{3}$ ).

Алгебра диаграмм для $aTL_{n}(\delta )$ выводится из алгебры диаграмм для $TL_{n}(\delta )$ превращая прямоугольники в цилиндры. Алгебра $aTL_{n}(\delta )$ бесконечномерен, поскольку линии могут обвивать цилиндр. Если $n$ четна, могут существовать даже замкнутые извилистые линии, несжимаемые.

Алгебра Темперли-Либа является фактором соответствующей аффинной алгебры Темперли-Либа. ^[5]

ячейки Модуль $W_{\ell ,z}$ из $aTL_{n}(\delta )$ генерируется набором монических пар из $n$ указывает на $\ell$ точки, как и модуль $W_{\ell }$ из $TL_{n}(\delta )$ . Однако пары теперь находятся на цилиндре, и правое умножение с $\tau$ отождествляется с $z\cdot {\text{id}}$ для некоторых $z\in \mathbb {C} ^{*}$ . Если $\ell =0$ , не существует правильного умножения на $\tau$ , и именно добавление несжимаемой петли справа отождествляется с $z+z^{-1}$ . Модули ячеек конечномерны, с

\dim(W_{\ell ,z})={\binom {n}{\frac {n-\ell }{2}}}

Модуль ячейки $W_{\ell ,z}$ является неприводимым для всех $z\in \mathbb {C} ^{*}-R(\delta )$ , где множество $R(\delta )$ является счетным. Для $z\in R(\delta )$ , $W_{\ell ,z}$ имеет несократимое частное. Неприводимые клеточные модули и их факторы образуют полный набор неприводимых модулей $aTL_{n}(\delta )$ . ^[5] Клеточные модули неориентированной алгебры Джонса-Темперли-Либа должны подчиняться $z^{\ell }=1$ если $\ell \neq 0$ , и $z+z^{-1}=\delta$ если $\ell =0$ .

Приложения

Гамильтониан Темперли – Либа

Рассмотрим модель взаимодействия вокруг лица, например, модель квадратной решетки , и пусть $n$ — число узлов на решетке. Вслед за Темперли и Либом ^[7] Темперли–Либа мы определяем гамильтониан (гамильтониан TL) как

${\mathcal {H}}=\sum _{j=1}^{n-1}(\delta -e_{j})$

Далее мы рассмотрим частный случай $\delta =1$ .

Сначала мы рассмотрим случай $n=3$ . Гамильтониан TL ${\mathcal {H}}=2-e_{1}-e_{2}$ , а именно

${\mathcal {H}}$ = 2 - - .

У нас есть два возможных состояния,

и .

Действуя ${\mathcal {H}}$ в этих состояниях мы находим

${\mathcal {H}}$ = 2 - - = - ,

и

${\mathcal {H}}$ = 2 - - = - + .

Письмо ${\mathcal {H}}$ как матрица в основе возможных состояний мы имеем,

${\mathcal {H}}=\left({\begin{array}{rr}1&-1\\-1&1\end{array}}\right)$

Собственный вектор ${\mathcal {H}}$ состояние с наименьшим собственным значением называется основным состоянием . В этом случае наименьшее собственное значение $\lambda _{0}$ для ${\mathcal {H}}$ является $\lambda _{0}=0$ . Соответствующий собственный вектор $\psi _{0}=(1,1)$ . Поскольку мы варьируем количество сайтов $n$ мы находим следующую таблицу ^[8]

$n$	$\psi _{0}$	$n$	$\psi _{0}$
2	(1)	3	(1, 1)
4	(2, 1)	5	$(3_{3},1_{2})$
6	$(11,5_{2},4,1)$	7	$(26_{4},10_{2},9_{2},8_{2},5_{2},1_{2})$
8	$(170,75_{2},71,56_{2},50,30,14_{4},6,1)$	9	$(646,\ldots )$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$

где мы использовали обозначение $m_{j}=(m,\ldots ,m)$ $j$ -раз, например, $5_{2}=(5,5)$ .

Интересное наблюдение состоит в том, что самые большие компоненты основного состояния ${\mathcal {H}}$ иметь комбинаторное перечисление, поскольку мы варьируем количество сайтов, ^[9] как впервые заметили Мюррей Бэтчелор , Ян де Жир и Бернар Ниенхейс. ^[8] Используя ресурсы онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей , Batchelor et al. найдено для четного числа сайтов

$1,2,11,170,\ldots =\prod _{j=0}^{\frac {n-2}{2}}\left(3j+1\right){\frac {(2j)!(6j)!}{(4j)!(4j+1)!}}\qquad (n=2,4,6,\dots )$

и для нечетного количества сайтов

$1,3,26,646,\ldots =\prod _{j=0}^{\frac {n-3}{2}}(3j+2){\frac {(2j+1)!(6j+3)!}{(4j+2)!(4j+3)!}}\qquad (n=3,5,7,\dots )$

Удивительно, но эти последовательности соответствовали хорошо известным комбинаторным объектам. Для $n$ даже это (последовательность A051255 в OEIS ) соответствует циклически симметричным транспонированным дополнительным плоским разбиениям, а для $n$ нечетные (последовательность A005156 в OEIS ), они соответствуют матрицам чередующихся знаков, симметричным относительно вертикальной оси.

XXZ спин-цепочка

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с Ридаут, Дэвид; Сен-Обен, Иван (20 апреля 2012 г.). «Стандартные модули, индукция и алгебра Темперли-Либа». arXiv : 1204.4505v4 [ math-ph ].
^ Кассель, Кристиан; Тураев, Владимир (2008). «Группы кос». Тексты для аспирантов по математике . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. дои : 10.1007/978-0-387-68548-9 . ISBN 978-0-387-33841-5 . ISSN 0072-5285 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Халверсон, Том; Джейкобсон, Теодор Н. (24 августа 2018 г.). «Таблицы множеств-разбиений и представления диаграммных алгебр». arXiv : 1808.08118v2 [ math.RT ].
^ Jump up to: ^а ^б ^с Бенкарт, Джорджия ; Мун, Донхо (26 апреля 2005 г.), «Тензорные представления произведений алгебр Темперли-Либа и полиномов Чебышева», «Представления алгебр и смежные темы » , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 57–80, doi : 10.1090 /фик/045/05 , ISBN 9780821834152
^ Jump up to: ^а ^б ^с Беллетет, Джонатан; Сен-Обен, Иван (10 февраля 2018 г.). «О вычислении слияния над аффинной алгеброй Темперли-Либа». Ядерная физика Б . 937 : 333–370. arXiv : 1802.03575v1 . Бибкод : 2018НуФБ.937..333Б . дои : 10.1016/j.nuclphysb.2018.10.016 . S2CID 119131017 .
^ Рид, Н.; Салер, Х. (11 января 2007 г.). «Расширенные алгебры симметрии спиновых цепочек, петлевых моделей и S-матриц». Ядерная физика Б . 777 (3): 263–315. arXiv : cond-mat/0701259 . Бибкод : 2007НуФБ.777..263Р . doi : 10.1016/j.nuclphysb.2007.03.007 . S2CID 119152756 .
^ Темперли, Невилл ; Либ, Эллиотт (1971). «Связь между проблемами« перколяции »и« раскраски »и другими проблемами теории графов, связанными с регулярными плоскими решетками: некоторые точные результаты для проблемы« перколяции »». Труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 322 (1549): 251–280. Бибкод : 1971RSPSA.322..251T . дои : 10.1098/rspa.1971.0067 . JSTOR 77727 . МР 0498284 . S2CID 122770421 .
^ Jump up to: ^а ^б Бэтчелор, Мюррей ; де Жир, Ян; Ниенхейс, Бернар (2001). «Квантовая симметричная $XXZ$ цепочка на $\Delta =-1/2$ , матрицы чередующихся знаков и плоские разбиения». Journal of Physics A. 34 ( 19): L265–L270. arXiv : -mat/0101385 . doi : 10.1088/0305-4470/34/19/101 . MR 1836155. cond S2CID 118048447 .
^ де Жир, Ян (2005). «Петли, паросочетания и матрицы переменных знаков». Дискретная математика . 298 (1–3): 365–388. arXiv : math/0211285 . дои : 10.1016/j.disc.2003.11.060 . МР 2163456 . S2CID 2129159 .

Дальнейшее чтение

Кауфман, Луи Х. (1991). Узлы и физика . Всемирная научная. ISBN 978-981-02-0343-6 .
Кауфман, Луи Х. (1987). «Модели состояний и полином Джонса» . Топология . 26 (3): 395–407. дои : 10.1016/0040-9383(87)90009-7 . МР 0899057 .
Бакстер, Родни Дж. (1982). Точно решенные модели статистической механики . Academic Press Inc. Лондон: ISBN 0-12-083180-5 . МР 0690578 .

[rsa12-1] Jump up to: ^а ^б ^с Ридаут, Дэвид; Сен-Обен, Иван (20 апреля 2012 г.). «Стандартные модули, индукция и алгебра Темперли-Либа». arXiv : 1204.4505v4 [ math-ph ].

[kt08-2] Кассель, Кристиан; Тураев, Владимир (2008). «Группы кос». Тексты для аспирантов по математике . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. дои : 10.1007/978-0-387-68548-9 . ISBN 978-0-387-33841-5 . ISSN 0072-5285 .

[hj18-3] Jump up to: ^а ^б ^с Халверсон, Том; Джейкобсон, Теодор Н. (24 августа 2018 г.). «Таблицы множеств-разбиений и представления диаграммных алгебр». arXiv : 1808.08118v2 [ math.RT ].

[bm05-4] Jump up to: ^а ^б ^с Бенкарт, Джорджия ; Мун, Донхо (26 апреля 2005 г.), «Тензорные представления произведений алгебр Темперли-Либа и полиномов Чебышева», «Представления алгебр и смежные темы » , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 57–80, doi : 10.1090 /фик/045/05 , ISBN 9780821834152

[bsa18-5] Jump up to: ^а ^б ^с Беллетет, Джонатан; Сен-Обен, Иван (10 февраля 2018 г.). «О вычислении слияния над аффинной алгеброй Темперли-Либа». Ядерная физика Б . 937 : 333–370. arXiv : 1802.03575v1 . Бибкод : 2018НуФБ.937..333Б . дои : 10.1016/j.nuclphysb.2018.10.016 . S2CID 119131017 .

[rs07-6] Рид, Н.; Салер, Х. (11 января 2007 г.). «Расширенные алгебры симметрии спиновых цепочек, петлевых моделей и S-матриц». Ядерная физика Б . 777 (3): 263–315. arXiv : cond-mat/0701259 . Бибкод : 2007НуФБ.777..263Р . doi : 10.1016/j.nuclphysb.2007.03.007 . S2CID 119152756 .

[7] Темперли, Невилл ; Либ, Эллиотт (1971). «Связь между проблемами« перколяции »и« раскраски »и другими проблемами теории графов, связанными с регулярными плоскими решетками: некоторые точные результаты для проблемы« перколяции »». Труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 322 (1549): 251–280. Бибкод : 1971RSPSA.322..251T . дои : 10.1098/rspa.1971.0067 . JSTOR 77727 . МР 0498284 . S2CID 122770421 .

[bach-8] Jump up to: ^а ^б Бэтчелор, Мюррей ; де Жир, Ян; Ниенхейс, Бернар (2001). «Квантовая симметричная $XXZ$ цепочка на $\Delta =-1/2$ , матрицы чередующихся знаков и плоские разбиения». Journal of Physics A. 34 ( 19): L265–L270. arXiv : -mat/0101385 . doi : 10.1088/0305-4470/34/19/101 . MR 1836155. cond S2CID 118048447 .

[9] де Жир, Ян (2005). «Петли, паросочетания и матрицы переменных знаков». Дискретная математика . 298 (1–3): 365–388. arXiv : math/0211285 . дои : 10.1016/j.disc.2003.11.060 . МР 2163456 . S2CID 2129159 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]