Исчезновение в бесконечности

В математике исчезает функция говорят, что на бесконечности , если ее значения приближаются к 0 по мере неограниченного роста входных данных. Есть два разных способа определить это: одно определение применяется к функциям, определенным в нормированных векторных пространствах , а другое — к функциям, определенным в локально компактных пространствах . Помимо этого различия, оба эти понятия соответствуют интуитивному представлению о добавлении точки на бесконечности и требованию, чтобы значения функции сколь угодно приближались к нулю при приближении к нему. Во многих случаях это определение можно формализовать, добавив (фактическую) точку на бесконечности .

Определения

функция в нормированном векторном пространстве Говорят, что обращается в нуль на бесконечности, если функция приближается к $0$ поскольку входные данные растут без ограничений (т. е. $f(x)\to 0$ как $\|x\|\to \infty$). Или,

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }f(x)=0.$

в конкретном случае функций на действительной прямой.

Например, функция

$f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}$

определенное на действительной прямой, обращается в нуль на бесконечности.

Альтернативно, функция $f$ в локально компактном пространстве обращается в нуль на бесконечности , если для любого положительного числа ε существует компактное подмножество $K$ такой, что

$\|f(x)\|<\varepsilon$

всякий раз, когда точка $x$ лежит за пределами $K.$ Другими словами, для каждого положительного числа ε множество $\left\{x\in X:\|f(x)\|\geq \varepsilon \right\}$ имеет компактное закрытие. Для данного локально компактного пространства $\Omega$ набор функций таких

$f:\Omega \to \mathbb {K}$

ценится в $\mathbb {K} ,$ что либо $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C} ,$ образует $\mathbb {K}$— векторное пространство относительно поточечного скалярного умножения и сложения , которое часто обозначают $C_{0}(\Omega ).$

Например, функция

$h(x,y)={\frac {1}{x+y}}$

где $x$ и $y$ больше действительные числа или равны 1 и соответствуют точке $(x,y)$ на $\mathbb {R} _{\geq 1}^{2}$ исчезает в бесконечности.

Нормированное пространство является локально компактным тогда и только тогда, когда оно конечномерно, поэтому в этом конкретном случае существует два разных определения функции, «исчезающей на бесконечности». Эти два определения могут быть несовместимы друг с другом: если $f(x)=\|x\|^{-1}$ в бесконечномерном банаховом пространстве , то $f$ исчезает в бесконечности $\|f(x)\|\to 0$ определению, но не по определению компакта.

Быстро снижается

Основная статья: пространство Шварца

Уточняя эту концепцию, можно более внимательно рассмотреть скорость исчезновения функций на бесконечности. Одна из основных интуиций математического анализа заключается в том, что преобразование Фурье меняет условия гладкости на условия скорости при исчезновении на бесконечности. Быстро убывающие пробные функции распределения умеренной теории представляют собой гладкие функции, которые

$O\left(|x|^{-N}\right)$

для всех $N$, как $|x|\to \infty$, и такие, что все их частные производные также удовлетворяют тому же условию. Это условие задано так, чтобы оно было самодвойственным относительно преобразования Фурье, так что соответствующая теория распределения умеренных распределений будет обладать тем же свойством.

См. также

• Бесконечность – математическое понятие
• Проективно расширенная действительная линия - Действительные числа с добавленной точкой на бесконечности.
• Ноль функции – точка, в которой значение функции равно нулю.

Ссылки

• Хьюитт Э. и Стромберг К. (1963). Реальный и абстрактный анализ . Спрингер-Верлаг. {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )