Неравенство Нётер

В математике неравенство Нётер , названное в честь Макса Нётера , — это свойство компактных минимальных комплексных поверхностей , которое ограничивает топологический тип лежащего в основе топологического 4-многообразия . В более общем смысле это справедливо для минимальных проективных поверхностей общего типа над алгебраически замкнутым полем.

Формулировка неравенства

Пусть X — гладкая минимальная проективная поверхность общего типа, определенная над алгебраически замкнутым полем (или гладкая минимальная компактная комплексная поверхность общего типа) с каноническим дивизором K = − c ₁ ( X ), и пусть p _g = h ⁰ ( K ) — размерность пространства двух голоморфных форм, тогда

$p_{g}\leq {\frac {1}{2}}c_{1}(X)^{2}+2.$

Для комплексных поверхностей альтернативная формулировка выражает это неравенство через топологические инварианты лежащего в основе вещественного ориентированного четырехмногообразия. Поскольку поверхность общего типа является кэлеровой поверхностью, размерность максимального положительного подпространства в форме пересечения на вторых когомологиях равна b ₊ = 1 + 2 p _g . Более того, по сигнатурной теореме Хирцебруха c ₁ ² ( X ) знак равно 2 e + 3 σ , где e = c ₂ ( X ) — топологическая эйлерова характеристика , а σ = b ₊ − b ₋ сигнатура формы пересечения . Следовательно, неравенство Нётер также можно выразить как

$b_{+}\leq 2e+3\sigma +5$

или, что то же самое, используя e = 2 – 2 b ₁ + b ₊ + b ₋

$b_{-}+4b_{1}\leq 4b_{+}+9.$

Комбинируя неравенство Нётер с формулой Нётер 12χ= c ₁ ² + c ₂ дает

$5c_{1}(X)^{2}-c_{2}(X)+36\geq 12q$

где q — неровность поверхности , приводящая к несколько более слабое неравенство, которое также часто называют неравенством Нётер:

$5c_{1}(X)^{2}-c_{2}(X)+36\geq 0\quad (c_{1}^{2}(X){\text{ even}})$

$5c_{1}(X)^{2}-c_{2}(X)+30\geq 0\quad (c_{1}^{2}(X){\text{ odd}}).$

Поверхности, на которых выполняется равенство (т. е. на линии Нётер), называются поверхностями Хорикавы .

Эскиз доказательства

Из условия минимальности общего типа следует, что K ² > 0. Таким образом, мы можем предположить, что p _g > 1, поскольку в противном случае неравенство выполняется автоматически. В частности, мы можем предположить, что существует эффективный дивизор D, представляющий K . Тогда мы имеем точную последовательность

$0\to H^{0}({\mathcal {O}}_{X})\to H^{0}(K)\to H^{0}(K|_{D})\to H^{1}({\mathcal {O}}_{X})\to$

так $p_{g}-1\leq h^{0}(K|_{D}).$

Предположим, что D гладкая. По формуле присоединения D имеет каноническое линейное расслоение ${\mathcal {O}}_{D}(2K)$, поэтому $K|_{D}$ является специальным делителем , и применяется неравенство Клиффорда , что дает

$h^{0}(K|_{D})-1\leq {\frac {1}{2}}\deg _{D}(K)={\frac {1}{2}}K^{2}.$

В общем, по существу тот же аргумент применяется при использовании более общей версии неравенства Клиффорда для локальных полных пересечений с дуализирующим линейным расслоением и одномерными сечениями в тривиальном линейном расслоении. Этим условиям для кривой D удовлетворяет формула присоединения и численная D. связность

Ссылки

• Барт, Вольф П.; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные комплексные поверхности , результаты математики и ее пограничные области. 3-я серия, том. 4, Шпрингер-Верлаг, Берлин, ISBN  978-3-540-00832-3 , МР   2030225
• Лидтке, Кристиан (2008), «Алгебраические поверхности общего типа с малыми c ₁ ² в положительной характеристике» , Nagoya Math. J. , 191 : 111–134.
• Нётер, Макс (1875), «К теории единственных соответствий алгебраических структур», Ann. , 8 (4): 495–533, doi : 10.1007/BF02106598