спад

Эта статья посвящена спаду при анализе электрических сетей. Чтобы узнать о мусорном контейнере, см. Roll-off (мусорный контейнер) .

Спад — это крутизна передаточной функции с частотой , особенно при анализе электрических сетей и особенно в схемах фильтров при переходе между полосой пропускания и полосой задерживания . Чаще всего он применяется к вносимым потерям в сети, но в принципе может применяться к любой соответствующей частотной функции и любой технологии, а не только к электронике. Обычно спад измеряют как функцию логарифмической частоты; следовательно, единицами спада являются либо децибелы на декаду (дБ/декада), где декада представляет собой десятикратное увеличение частоты, либо децибелы на октаву (дБ/8ве), где октава представляет собой двукратное увеличение частоты.

Концепция спада вытекает из того факта, что во многих сетях спад имеет тенденцию к постоянному градиенту на частотах, находящихся далеко от точки среза частотной кривой. Спад позволяет снизить эффективность отсечки такой сети фильтров до одного числа. Обратите внимание, что спад может происходить как с уменьшением частоты, так и с увеличением частоты, в зависимости от формы полосы рассматриваемого фильтра: например, фильтр нижних частот будет спадать с увеличением частоты, а фильтр верхних частот или более низкий Полоса задерживания полосового фильтра будет спадать с уменьшением частоты. Для краткости в этой статье описаны только фильтры нижних частот. Это следует понимать в духе прототипов фильтров ; те же принципы можно применить к фильтрам верхних частот, поменяв местами такие фразы, как «выше частоты среза» и «ниже частоты среза».

Спад первого порядка

RC-фильтра первого порядка . фильтра нижних частот Схема

Спад фильтра нижних частот первого порядка на уровне 6 дБ/октава (20 дБ/декада)

Простая сеть первого порядка, такая как RC-цепь, будет иметь спад 20 дБ/декада. Это примерно равно (в пределах нормальной инженерно-требуемой точности) 6 дБ/октаву и является более обычным описанием этого спада. В этом можно убедиться, рассмотрев функцию передачи напряжения RC - A цепи:

$A={\frac {V_{o}}{V_{i}}}={\frac {1}{1+i\omega RC}}$

Масштабирование частоты до ω _c = 1/ RC = 1 и формирование коэффициента мощности дает:

$|A|^{2}={\frac {1}{1+\left({\omega \over \omega _{c}}\right)^{2}}}={\frac {1}{1+\omega ^{2}}}$

В децибелах это будет:

$10\log \left({\frac {1}{1+\omega ^{2}}}\right)$

или выражено как потеря,

$L=10\log \left({1+\omega ^{2}}\right)\ \mathrm {dB}$

На частотах значительно выше ω = 1 это упрощается до:

$L\approx 10\log \left(\omega ^{2}\right)=20\log \omega \ \mathrm {dB}$

Спад определяется по формуле:

$\Delta L=20\log \left({\omega _{2} \over \omega _{1}}\right)\ \mathrm {dB/interval_{2,1}}$

В течение десятилетия это так;

$\Delta L=20\log 10=20\ \mathrm {dB/decade}$

и для октавы,

$\Delta L=20\log 2\approx 20\times 0.3=6\ \mathrm {dB/8ve}$

Сети высшего порядка

RC-фильтр множественного порядка с буферизацией между каскадами.

График спада фильтров нижних частот высшего порядка, показывающий различные скорости спада

Сеть более высокого порядка может быть построена путем каскадного объединения секций первого порядка. Если буферный усилитель с единичным коэффициентом усиления между каждой секцией размещен (или используется какая-либо другая активная топология ), взаимодействие между каскадами отсутствует. В этом случае для n идентичных секций первого порядка в каскаде передаточная функция напряжения всей сети определяется выражением;

$A_{\mathrm {T} }=A^{n}\$

следовательно, общий спад определяется выражением

$\Delta L_{\text{T}}=n\,\Delta L=6n{\text{ dB/8ve}}$

Аналогичного эффекта можно достичь в цифровой сфере , многократно применяя к сигналу один и тот же алгоритм фильтрации.

LC низкочастотная лестничная схема. Каждый элемент (то есть L или C) добавляет порядок к фильтру и полюс к сопротивлению точки возбуждения .

Вычисление передаточной функции становится несколько сложнее, если не все секции идентичны или когда лестничной топологии для реализации фильтра используется популярная конструкция . В лестничном фильтре каждая секция фильтра оказывает влияние на своих непосредственных соседей и меньшее влияние на более удаленные секции, поэтому ответ не является простым A. ^н даже если все разделы идентичны. Для некоторых классов фильтров, таких как фильтр Баттерворта , вносимые потери по-прежнему монотонно возрастают с частотой и быстро асимптотически сходятся к спаду 6 н дБ/8ве, но в других, таких как фильтр Чебышева или эллиптический фильтр, скатывание вблизи частоты среза происходит намного быстрее, а в других местах отклик совсем не монотонный. Тем не менее, все классы фильтров теоретически в конечном итоге сходятся к спаду 6 n дБ/8ve на какой-то сколь угодно высокой частоте, но во многих приложениях это будет происходить в полосе частот, не представляющей интереса для приложения, и паразитные эффекты вполне могут начать доминировать. задолго до того, как это произойдет.

Приложения

Фильтры с высоким спадом были впервые разработаны для предотвращения перекрестных помех между соседними каналами в телефонных системах FDM . Спад также важен для кроссоверных фильтров аудиодинамиков : здесь нужен не столько высокий спад, сколько то, чтобы спад высокочастотной и низкочастотной частей был симметричным и дополняющим друг друга. Интересная потребность в высоком спаде возникает в аппаратах ЭЭГ . Здесь фильтры в основном обходятся базовым спадом 6 дБ/8ve, однако некоторые инструменты оснащены переключаемым фильтром 35 Гц на высокочастотном конце с более быстрым спадом, чтобы помочь отфильтровать шум, создаваемый мышечной активностью.

См. также

• График Боде

Ссылки

• Дж. Уильям Хелтон, Орландо Мерино, Классическое управление с использованием методов H [бесконечности]: введение в проектирование , страницы 23–25, Общество промышленной и прикладной математики, 1998 г. ISBN   0-89871-424-9 .
• Тодд К. Хэнди, Потенциалы, связанные с событиями: справочник по методам , страницы 89–92, 107–109, MIT Press, 2004 г. ISBN   0-262-08333-7 .
• Фэй С. Тайнер, Джон Рассел Нотт, В. Брем Майер (редактор), «Основы технологии ЭЭГ: основные концепции и методы» , страницы 101–102, Липпинкотт Уильямс и Уилкинс, 1983 г. ISBN   0-89004-385-X .