Интеграл Шоке

Интеграл Шоке — субаддитивный или супераддитивный интеграл, созданный французским математиком Гюставом Шоке в 1953 году. ^{[ 1 ]} Первоначально он использовался в статистической механике и теории потенциала . ^{[ 2 ]} но нашел свое применение в теории принятия решений в 1980-х годах, ^{[ 3 ]} где он используется как способ измерения ожидаемой полезности неопределенного события. Он применяется конкретно к функциям членства и возможностям . В неточной теории вероятностей интеграл Шоке также используется для вычисления нижнего математического ожидания, индуцированного 2-монотонной нижней вероятностью , или верхнего математического ожидания, индуцированного 2-чередующейся верхней вероятностью .

Использование интеграла Шоке для обозначения ожидаемой полезности функций убеждения, измеряемой емкостью, — это способ примирить парадокс Эллсберга и парадокс Алле . ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

Определение

Используются следующие обозначения:

$S$ – набор.
${\mathcal {F}}$ – совокупность подмножеств $S$ .
$f:S\to \mathbb {R}$ – функция.
$\nu :{\mathcal {F}}\to \mathbb {R} ^{+}$ – монотонная функция множества .

Предположим, что $f$ измеримо относительно ${\mathcal {F}}$ , то есть

\forall x\in \mathbb {R} \colon \{s\in S\mid f(s)\geq x\}\in {\mathcal {F}}

Тогда интеграл Шоке от $f$ относительно $\nu$ определяется:

(C)\int fd\nu :=\int _{-\infty }^{0}(\nu (\{s|f(s)\geq x\})-\nu (S))\,dx+\int _{0}^{\infty }\nu (\{s|f(s)\geq x\})\,dx

где интегралы в правой части представляют собой обычный интеграл Римана (подынтегральные выражения интегрируемы, поскольку они монотонны по $x$ ).

Характеристики

В общем случае интеграл Шоке не удовлетворяет аддитивности. Более конкретно, если $\nu$ не является вероятностной мерой, то может считаться, что

\int f\,d\nu +\int g\,d\nu \neq \int (f+g)\,d\nu .

для некоторых функций $f$ и $g$ .

Интеграл Шоке удовлетворяет следующим свойствам.

Монотонность

Если $f\leq g$ затем

(C)\int f\,d\nu \leq (C)\int g\,d\nu

Положительная однородность

Для всех $\lambda \geq 0$ он утверждает, что

(C)\int \lambda f\,d\nu =\lambda (C)\int f\,d\nu ,

Комонотонная аддитивность

Если $f,g:S\rightarrow \mathbb {R}$ являются комонотонными функциями, т. е. если для всех $s,s'\in S$ он утверждает, что

(f(s)-f(s'))(g(s)-g(s'))\geq 0

.

который можно рассматривать как

f

и

g

подниматься и падать вместе

затем

(C)\int \,fd\nu +(C)\int g\,d\nu =(C)\int (f+g)\,d\nu .

Субаддитивность

Если $\nu$ является 2-переменным, ^{[ нужны разъяснения ]} затем

(C)\int \,fd\nu +(C)\int g\,d\nu \geq (C)\int (f+g)\,d\nu .

Супераддитивность

Если $\nu$ является 2-монотонным, ^{[ нужны разъяснения ]} затем

(C)\int \,fd\nu +(C)\int g\,d\nu \leq (C)\int (f+g)\,d\nu .

Альтернативное представительство

Позволять $G$ обозначают кумулятивную функцию распределения такую, что $G^{-1}$ является $dH$ интегрируемый. Тогда следующую формулу часто называют интегралом Шоке:

\int _{-\infty }^{\infty }G^{-1}(\alpha )dH(\alpha )=-\int _{-\infty }^{a}H(G(x))dx+\int _{a}^{\infty }{\hat {H}}(1-G(x))dx,

где ${\hat {H}}(x)=H(1)-H(1-x)$ .

выбирать $H(x):=x$ получить $\int _{0}^{1}G^{-1}(x)dx=E[X]$ ,
выбирать $H(x):=1_{[\alpha ,x]}$ получить $\int _{0}^{1}G^{-1}(x)dH(x)=G^{-1}(\alpha )$

Приложения

Интеграл Шоке применялся в обработке изображений, видеообработке и компьютерном зрении. В теории поведенческих решений Амос Тверски и Дэниел Канеман используют интеграл Шоке и связанные с ним методы в своей формулировке теории кумулятивных перспектив. ^{[ 6 ]}

См. также

Примечания

^ Шоке, Ж. (1953). «Теория емкостей» . Анналы Института Фурье . 5 : 131–295. дои : 10.5802/aif.53 .
^ Деннеберг, Д. (1994). Неаддитивная мера и интеграл . Клювер Академик. ISBN 0-7923-2840-Х .
^ Грабиш, М. (1996). «Применение нечетких интегралов при принятии многокритериальных решений». Европейский журнал операционных исследований . 89 (3): 445–456. дои : 10.1016/0377-2217(95)00176-X .
^ Шатонеф, А.; Коэн, доктор медицины (2010). «Кардинальные расширения модели ЕС на основе интеграла Шоке». В Буису, Дени; Дюбуа, Дидье; Пирлот, Марк; Прад, Генри (ред.). Процесс принятия решений: концепции и методы . стр. 401–433. дои : 10.1002/9780470611876.ch10 . ISBN 9780470611876 .
^ Срибунчита, С.; Вонг, ВК; Домпонгса, С.; Нгуен, ХТ (2010). Стохастическое доминирование и приложения к финансам, риску и экономике . ЦРК Пресс. ISBN 978-1-4200-8266-1 .
^ Тверский, А.; Канеман, Д. (1992). «Достижения в теории перспектив: кумулятивное представление неопределенности». Журнал риска и неопределенности . 5 (4): 297–323. дои : 10.1007/bf00122574 . S2CID 8456150 .

Дальнейшее чтение

Гильбоа, И.; Шмейдлер, Д. (1994). «Аддитивные представления неаддитивных мер и интеграл Шоке». Анналы исследования операций . 52 : 43–65. дои : 10.1007/BF02032160 .
Эвен, Ю.; Лерер, Э. (2014). «Интеграл разложения: объединение Шоке и вогнутых интегралов». Экономическая теория . 56 (1): 33–58. дои : 10.1007/s00199-013-0780-0 . МР 3190759 . S2CID 1639979 .

[1] Шоке, Ж. (1953). «Теория емкостей» . Анналы Института Фурье . 5 : 131–295. дои : 10.5802/aif.53 .

[2] Деннеберг, Д. (1994). Неаддитивная мера и интеграл . Клювер Академик. ISBN 0-7923-2840-Х .

[3] Грабиш, М. (1996). «Применение нечетких интегралов при принятии многокритериальных решений». Европейский журнал операционных исследований . 89 (3): 445–456. дои : 10.1016/0377-2217(95)00176-X .

[4] Шатонеф, А.; Коэн, доктор медицины (2010). «Кардинальные расширения модели ЕС на основе интеграла Шоке». В Буису, Дени; Дюбуа, Дидье; Пирлот, Марк; Прад, Генри (ред.). Процесс принятия решений: концепции и методы . стр. 401–433. дои : 10.1002/9780470611876.ch10 . ISBN 9780470611876 .

[5] Срибунчита, С.; Вонг, ВК; Домпонгса, С.; Нгуен, ХТ (2010). Стохастическое доминирование и приложения к финансам, риску и экономике . ЦРК Пресс. ISBN 978-1-4200-8266-1 .

[6] Тверский, А.; Канеман, Д. (1992). «Достижения в теории перспектив: кумулятивное представление неопределенности». Журнал риска и неопределенности . 5 (4): 297–323. дои : 10.1007/bf00122574 . S2CID 8456150 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]