Уиллмор Энерджи

В дифференциальной геометрии является энергия Уиллмора количественной мерой того, насколько данная поверхность отклоняется от круглой сферы . Математически энергия Уиллмора гладкой замкнутой поверхности, заключенной в трехмерном евклидовом пространстве, определяется как интеграл квадрата средней кривизны минус гауссова кривизна . Назван в честь английского геометра Томаса Уиллмора .

Определение

Выражаясь символически, энергия Уиллмора S равна:

{\mathcal {W}}=\int _{S}H^{2}\,dA-\int _{S}K\,dA

где $H$ средняя кривизна , $K$ — гауссова кривизна , а dA форма площади S. — Для замкнутой поверхности по теореме Гаусса – Бонне интеграл гауссовой кривизны можно вычислить через эйлерову характеристику. $\chi (S)$ поверхности, поэтому

\int _{S}K\,dA=2\pi \chi (S),

который является топологическим инвариантом и, следовательно, не зависит от конкретного вложения в $\mathbb {R} ^{3}$ это было выбрано. Таким образом, энергию Уиллмора можно выразить как

{\mathcal {W}}=\int _{S}H^{2}\,dA-2\pi \chi (S)

Альтернативная, но эквивалентная формула:

{\mathcal {W}}={1 \over 4}\int _{S}(k_{1}-k_{2})^{2}\,dA

где $k_{1}$ и $k_{2}$ – главные кривизны поверхности.

Характеристики

Энергия Уиллмора всегда больше или равна нулю. Круглая сфера имеет нулевую энергию Уиллмора.

Энергию Уиллмора можно рассматривать как функционал в пространстве вложений данной поверхности в смысле вариационного исчисления , и можно варьировать вложение поверхности, оставляя ее топологически неизменной.

Критические точки

Основная задача вариационного исчисления — найти критические точки и минимумы функционала.

Для данного топологического пространства это эквивалентно нахождению критических точек функции

\int _{S}H^{2}\,dA

поскольку эйлерова характеристика постоянна.

Можно найти (локальные) минимумы энергии Уиллмора с помощью градиентного спуска , который в данном контексте называется потоком Уиллмора.

Для вложений сферы в трехмерное пространство критические точки были классифицированы: ^{[ 1 ]} все они являются конформными преобразованиями минимальных поверхностей , круглая сфера является минимальной, а все остальные критические значения являются целыми числами, большими 4. $\pi$ . Их называют поверхностями Уиллмора.

Уиллмор Флоу

Поток Уиллмора — это геометрический поток , соответствующий энергии Уиллмора; это $L^{2}$ - градиентное течение .

e[{\mathcal {M}}]={\frac {1}{2}}\int _{\mathcal {M}}H^{2}\,\mathrm {d} A

где H обозначает кривизну многообразия среднюю ${\mathcal {M}}$ .

Линии тока удовлетворяют дифференциальному уравнению:

\partial _{t}x(t)=-\nabla {\mathcal {W}}[x(t)]\,

где $x$ — точка, принадлежащая поверхности.

Этот поток приводит к проблеме эволюции в дифференциальной геометрии : поверхность ${\mathcal {M}}$ развивается во времени, чтобы следить за изменениями наискорейшего спуска энергии. Как и поверхностная диффузия, это реакция четвертого порядка. потока, поскольку изменение энергии содержит четвертые производные.

Приложения

Клеточные мембраны имеют тенденцию располагаться так, чтобы минимизировать энергию Уиллмора. ^{[ 2 ]}
Энергия Уиллмора используется при построении класса оптимальных сферических выворотов — минимаксных выворотов .

См. также

Гипотеза Уиллмора

Примечания

^ Брайант, Роберт Л. (1984), «Теорема двойственности для поверхностей Уиллмора» , Журнал дифференциальной геометрии , 20 (1): 23–53, doi : 10.4310/jdg/1214438991 , MR 0772125 .
^ Мюллер, Стефан; Рёгер, Матиас (май 2014 г.). «Замкнутые конструкции с наименьшей энергией изгиба» . Журнал дифференциальной геометрии . 97 (1): 109–139. arXiv : 1308.2530 . дои : 10.4310/jdg/1404912105 .

Ссылки

Уиллмор, Т.Дж. (1992), «Обзор погружений Уиллмора», Геометрия и топология подмногообразий, IV (Лёвен, 1991) , River Edge, Нью-Джерси: World Scientific, стр. 11–16, MR 1185712 .

[1] Брайант, Роберт Л. (1984), «Теорема двойственности для поверхностей Уиллмора» , Журнал дифференциальной геометрии , 20 (1): 23–53, doi : 10.4310/jdg/1214438991 , MR 0772125 .

[2] Мюллер, Стефан; Рёгер, Матиас (май 2014 г.). «Замкнутые конструкции с наименьшей энергией изгиба» . Журнал дифференциальной геометрии . 97 (1): 109–139. arXiv : 1308.2530 . дои : 10.4310/jdg/1404912105 .

[ 1 ]

[ 2 ]