Условие компактности Пале – Смейла.

Условие компактности Пале-Смейла , названное в честь Ришара Пале и Стивена Смейла , является гипотезой для некоторых теорем вариационного исчисления . Это полезно для обеспечения существования определенных видов критических точек , в частности седловых точек . Условие Пале-Смейла — это условие функционала , который пытаются экстремизировать.

В конечномерных пространствах условие Пале – Смейла для непрерывно дифференцируемой вещественнозначной функции автоматически выполняется для правильных отображений : функций, которые не переводят неограниченные множества в ограниченные множества. В вариационном исчислении, где обычно интересуются бесконечномерными функциональными пространствами , это условие необходимо, поскольку некоторое дополнительное понятие компактности требуется , помимо простой ограниченности. См., например, доказательство теоремы о горном перевале в разделе 8.5 книги Эванса.

Сильная формулировка [ править ]

Непрерывно дифференцируемый по Фреше функционал $I\in C^{1}(H,\mathbb {R} )$ из гильбертова пространства H в действительные числа удовлетворяет условию Пале–Смейла, если каждая последовательность $\{u_{k}\}_{k=1}^{\infty }\subset H$ такой, что:

$\{I[u_{k}]\}_{k=1}^{\infty }$ ограничен, и
$I'[u_{k}]\rightarrow 0$ в час

имеет сходящуюся подпоследовательность в H .

Слабая формулировка [ править ]

Пусть X — банахово пространство и $\Phi \colon X\to \mathbf {R}$ — дифференцируемый функционал по Гато. Функционал $\Phi$ Говорят, что он удовлетворяет слабому условию Пале–Смейла, если для каждой последовательности $\{x_{n}\}\subset X$ такой, что

$\sup |\Phi (x_{n})|<\infty$ ,
$\lim \Phi '(x_{n})=0$ в $X^{*}$ ,
$\Phi (x_{n})\neq 0$ для всех $n\in \mathbf {N}$ ,

существует критическая точка ${\overline {x}}\in X$ из $\Phi$ с

\liminf \Phi (x_{n})\leq \Phi ({\overline {x}})\leq \limsup \Phi (x_{n}).

Ссылки [ править ]

Эванс, Лоуренс К. (1998). Уравнения в частных производных . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0772-2 .
Мауин, Джин ; Виллем, Мишель (2010). «Происхождение и эволюция состояния Пале – Смейла в теории критической точки». Журнал теории и приложений с фиксированной точкой . 7 (2): 265–290. дои : 10.1007/s11784-010-0019-7 . S2CID 122094186 .
Пале, РС; Смейл, С. (1964). «Обобщенная теория Морса» . Бюллетень Американского математического общества . 70 : 165–172. дои : 10.1090/S0002-9904-1964-11062-4 .