Теорема о кратности-единице

В математической теории автоморфных представлений теорема о кратности единице результатом теории представлений адельной является редуктивной алгебраической группы . Кратность, о которой идет речь, — это количество раз, когда данное представление абстрактной группы реализуется в определенном пространстве функций, интегрируемых с квадратом , заданных конкретным образом.

относиться к результату об ограничении представления Теорема о группы G кратности единице может также до подгруппы H . В этом контексте пара ( G , H ) называется сильной парой Гельфанда .

Определение

Пусть G — редуктивная алгебраическая группа над числовым полем K и A обозначает адели поля K. пусть Пусть Z обозначает центр G и пусть $ω$ — непрерывный унитарный характер из Z ( K )\Z( A ) ^× до С ^×. Пусть L ²₀ ( G ( K )/ G ( A ), $ω$ ) обозначают пространство параболических форм с центральным характером ω на G ( A ). Это пространство разлагается в прямую сумму гильбертовых пространств.

L_{0}^{2}(G(K)\backslash G(\mathbf {A} ),\omega )={\widehat {\bigoplus }}_{(\pi ,V_{\pi })}m_{\pi }V_{\pi }

где сумма ведется по неприводимым подпредставлениям , а m _$π$ — целые неотрицательные числа .

кратности единицы , если любое гладкое Говорят, что группа адельных точек G , G ( A ), удовлетворяет неприводимое допустимое представление G ( A свойству ) встречается с кратностью не более одной в пространстве возвратных форм центрального характера $ω$ , т.е. m _$π$ равно 0 или 1 для всех таких $π$ .

Результаты

Тот факт, что линейная группа общая GL ( n ) обладает свойством кратности единицы, был доказан Жаке и Ленглендсом (1970) для n = 2 и независимо Пятецки-Шапиро (1979) и Шаликой ( 1974 ) для n > 2. используя уникальность модели Уиттекера . Кратность-единица также справедлива для SL (2) , но не для SL ( n ) при n > 2 ( Blasius 1994 ).

Сильная теорема о кратности

Сильная теорема о кратности один Пятецкого-Шапиро (1979) и Жаке и Шалики ( 1981a , 1981b ) утверждает, что два каспидальных автоморфных представления полной линейной группы изоморфны, если их локальные компоненты изоморфны для всех мест, кроме конечного числа.

См. также

Гипотеза Ган-Гросс-Прасада

Ссылки

Блазиус, Дон (1994), «О кратностях для SL( n )», Израильский журнал математики , 88 (1): 237–251, doi : 10.1007/BF02937513 , ISSN 0021-2172 , MR 1303497
Когделл, Джеймс В. (2004), «Лекции по L-функциям, обратным теоремам и функториальности для GL _n » , в Когделл, Джеймс В.; Ким, Генри Х.; Мурти, Марути Рам (ред.), Лекции по автоморфным L-функциям , Fields Inst. Моногр., вып. 20, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 1–96, ISBN. 978-0-8218-3516-6 , МР 2071506
Жаке, Эрве; Ленглендс, Роберт (1970), Автоморфные формы на GL (2) , Конспекты лекций по математике, том. 114, Шпрингер-Верлаг
Жаке, Х.; Шалика, Дж. А. (1981a), «О произведениях Эйлера и классификации автоморфных представлений. I» (PDF) , American Journal of Mathematics , 103 (3): 499–558, doi : 10.2307/2374103 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2374103 , MR 0618323 , получено 6 августа 2021 г.
Жаке, Х.; Шалика, Дж. А. (1981b), «О произведениях Эйлера и классификации автоморфных форм. II» (PDF) , American Journal of Mathematics , 103 (4): 777–815, doi : 10.2307/2374050 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2374050 , MR 0618323 , получено 6 августа 2021 г.
Пятецкий-Шапиро, II (1979), «Теоремы о кратности один», в Бореле, Армане ; Кассельман, В. (ред.), Автоморфные формы, представления и L-функции (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Корваллис, Орегон, 1977), Часть 1 , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., XXXIII, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 209–212, ISBN. 978-0-8218-1435-2 МР 0546599
Шалика, Дж. А. (1974), «Теорема о кратности один для GL _n », Annals of Mathematics , Second Series, 100 : 171–193, doi : 10.2307/1971071 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1971071 , MR 0348047