Теорема о параллельной оси

Теорема о параллельной оси , также известная как теорема Гюйгенса-Штайнера или просто теорема Штейнера , ^[1] названный в честь Христиана Гюйгенса и Якоба Штайнера , может использоваться для определения момента инерции или второго момента площади вокруг твердого тела любой оси, учитывая момент инерции тела относительно параллельной объекта оси, проходящей через центр тяжести и перпендикуляр расстояние между осями.

Момент инерции массы

Предположим, тело массы $m$ вращается вокруг оси $z,$ тела проходящей через центр масс . Тело имеет момент инерции $I см$ относительно этой оси. Теорема о параллельной оси утверждает, что если вместо этого тело заставить вращаться вокруг новой оси $z'$ , которая параллельна первой оси и смещена от нее на расстояние $d$ , то момент инерции $I$ по отношению к новой оси равен с $I см$ связано

I=I_{\mathrm {cm} }+md^{2}.

Явно $d$ — это расстояние по перпендикуляру между осями $z$ и $z'$ .

Теорему о параллельной оси можно применять вместе с правилом растяжения и теоремой о перпендикулярной оси, чтобы найти моменты инерции для различных форм.

Правило параллельных осей для момента инерции площади

Вывод

Мы можем предположить, не ограничивая общности, что в декартовой системе координат расстояние по перпендикуляру между осями лежит вдоль оси x и что центр масс находится в начале координат. момент инерции относительно оси z Тогда равен

I_{\mathrm {cm} }=\int (x^{2}+y^{2})\,dm.

Момент инерции относительно оси $z'$ , находящейся на расстоянии $D$ от центра масс по оси x , равен

I=\int \left[(x-D)^{2}+y^{2}\right]\,dm.

Раскрыв скобки, получим

I=\int (x^{2}+y^{2})\,dm+D^{2}\int dm-2D\int x\,dm.

Первый член равен $I см$ , а второй член становится $MD. 2$ . Интеграл в последнем члене кратен координате x центра масс , которая равна нулю, поскольку центр масс находится в начале координат. Итак, уравнение становится:

I=I_{\mathrm {cm} }+MD^{2}.

Тензорное обобщение

Теорема о параллельной оси может быть обобщена на вычисления с использованием тензора инерции . ^[2] Обозначим $через I ij$ тензор инерции тела, рассчитанный в центре масс. Тогда тензор инерции $J ij,$ рассчитанный относительно новой точки, равен

J_{ij}=I_{ij}+m\left(|\mathbf {R} |^{2}\delta _{ij}-R_{i}R_{j}\right),

где $\mathbf {R} =R_{1}\mathbf {\hat {x}} +R_{2}\mathbf {\hat {y}} +R_{3}\mathbf {\hat {z}} \!$ — вектор смещения от центра масс к новой точке, а $δ ij$ — дельта Кронекера .

Для диагональных элементов (когда $i = j$ ) смещения, перпендикулярные оси вращения, приводят к приведенной выше упрощенной версии теоремы о параллельной оси.

Обобщенная версия теоремы о параллельной оси может быть выражена в форме бескоординатной записи как

\mathbf {J} =\mathbf {I} +m\left[\left(\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} \right)\mathbf {E} _{3}-\mathbf {R} \otimes \mathbf {R} \right],

где E ₃ — 3 × 3 единичная матрица и $\otimes$ это внешний продукт .

Дальнейшее обобщение теоремы о параллельной оси дает тензор инерции относительно любого набора ортогональных осей, параллельных эталонному набору осей x, y и z, связанному с эталонным тензором инерции, независимо от того, проходят ли они через центр масс или нет. ^[2]

Второй момент площади

Правило параллельных осей также применяется ко второму моменту площади (моменту инерции площади) для плоской области D :

I_{z}=I_{x}+Ar^{2},

где $I z$ — момент инерции площади D относительно параллельной оси, $I x$ — момент инерции площади D относительно его центроида , $A$ — площадь плоской области D , а $r$ — расстояние от новой ось $z$ к центру тяжести плоской области D . Центр тяжести D . совпадает с центром тяжести физической пластины той же формы, имеющей однородную плотность

Полярный момент инерции для плоской динамики

Массовые свойства твердого тела, которое вынуждено двигаться параллельно плоскости, определяются его центром масс R = ( x , y ) в этой плоскости и его полярным моментом инерции I _R вокруг оси, проходящей через R , которая перпендикулярна в самолет. Теорема о параллельной оси обеспечивает удобную связь между моментом инерции IS _вокруг произвольной точки S и моментом инерции I _R относительно центра масс R .

Напомним, что центр масс R обладает свойством

\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\,dV=0,

где r интегрировано по объему V тела. Полярный момент инерции тела, совершающего плоское движение, можно вычислить относительно любой точки отсчета S :

I_{S}=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {S} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {S} )\,dV,

где S — константа, а интегрировано по объёму V. r

Чтобы получить момент инерции через _IS момент инерции I _R , введем вектор d от S к центру масс R ,

{\begin{aligned}I_{S}&=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} +\mathbf {d} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {R} +\mathbf {d} )\,dV\\&=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {R} )dV+2\mathbf {d} \cdot \left(\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\,dV\right)+\left(\int _{V}\rho (\mathbf {r} )\,dV\right)\mathbf {d} \cdot \mathbf {d} .\end{aligned}}

Первый член — это момент инерции I _R , второй член равен нулю по определению центра масс, а последний член — это полная масса тела, умноженная на квадрат величины вектора d . Таким образом,

I_{S}=I_{R}+Md^{2},\,

которая известна как теорема о параллельности осей. ^[3]

Матрица моментов инерции

Матрица инерции жесткой системы частиц зависит от выбора точки отсчета. ^[4] Существует полезная связь между матрицей инерции относительно центра масс R и матрицей инерции относительно другой S. точки Это соотношение называется теоремой о параллельности осей.

Рассмотрим матрицу инерции [IS _] , полученную для жесткой системы частиц, измеренную относительно опорной точки S , заданную выражением

[I_{S}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-S][r_{i}-S],

где r _i определяет положение частицы P _i , i = 1, ..., n . Напомним, что [ r _i − S ] — кососимметричная матрица, выполняющая векторное произведение,

[r_{i}-S]\mathbf {y} =(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {S} )\times \mathbf {y} ,

для произвольного вектора y .

Пусть R — центр масс жесткой системы, тогда

\mathbf {R} =(\mathbf {R} -\mathbf {S} )+\mathbf {S} =\mathbf {d} +\mathbf {S} ,

где d вектор от опорной точки S до центра масс R. — Используйте это уравнение для вычисления матрицы инерции:

[I_{S}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R+d][r_{i}-R+d].

Разверните это уравнение, чтобы получить

[I_{S}]=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R][r_{i}-R]\right)+\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R]\right)[d]+[d]\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R]\right)+\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)[d][d].

Первый член — это матрица инерции [ I _R ] относительно центра масс. Второе и третье члены равны нулю по определению центра масс R ,

\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )=0.

И последнее слагаемое — это полная масса системы, умноженная на квадрат кососимметричной матрицы [ d ], построенной из d .

Результатом является теорема о параллельной оси:

[I_{S}]=[I_{R}]-M[d]^{2},

где d вектор от опорной точки S до центра масс R. — ^[4]

Тождества для кососимметричной матрицы

Для сравнения формулировок теоремы о параллельной оси с использованием кососимметричных матриц и тензорной формулировки полезны следующие тождества.

Пусть [ R ] будет кососимметричной матрицей, связанной с вектором положения R = ( x , y , z ), тогда произведение в матрице инерции становится

-[R][R]=-{\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}^{2}={\begin{bmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-yx&x^{2}+z^{2}&-yz\\-zx&-zy&x^{2}+y^{2}\end{bmatrix}}.

Этот продукт можно вычислить с помощью матрицы, образованной внешним продуктом [ R R ^Т] используя личность

-[R]^{2}=|\mathbf {R} |^{2}[E_{3}]-[\mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}]={\begin{bmatrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}&0&0\\0&x^{2}+y^{2}+z^{2}&0\\0&0&x^{2}+y^{2}+z^{2}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}x^{2}&xy&xz\\yx&y^{2}&yz\\zx&zy&z^{2}\end{bmatrix}},

где [ E ₃ ] — единичная матрица размером 3 × 3.

Также обратите внимание, что

|\mathbf {R} |^{2}=\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} =\operatorname {tr} [\mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}],

где tr обозначает сумму диагональных элементов внешней матрицы произведения, известную как ее след.

См. также

Ссылки

^ Артур Эрих Хаас (1928), Введение в теоретическую физику
^ Jump up to: ^а ^б Абдулгани, А.Р. (октябрь 2017 г.), «Обобщение теоремы о параллельных осях для инерции вращения», American Journal of Physics , 85 (10): 791–795, doi : 10.1119/1.4994835
^ Пол, Бертон (1979), Кинематика и динамика плоского оборудования , Прентис Холл , ISBN 978-0-13-516062-6
^ Jump up to: ^а ^б Кейн, ТР; Левинсон, Д.А. (2005), Динамика, теория и приложения , МакГроу-Хилл, Нью-Йорк

Внешние ссылки

[1] Артур Эрих Хаас (1928), Введение в теоретическую физику

[Abdulghany-2] Jump up to: ^а ^б Абдулгани, А.Р. (октябрь 2017 г.), «Обобщение теоремы о параллельных осях для инерции вращения», American Journal of Physics , 85 (10): 791–795, doi : 10.1119/1.4994835

[3] Пол, Бертон (1979), Кинематика и динамика плоского оборудования , Прентис Холл , ISBN 978-0-13-516062-6

[Kane-4] Jump up to: ^а ^б Кейн, ТР; Левинсон, Д.А. (2005), Динамика, теория и приложения , МакГроу-Хилл, Нью-Йорк

[1]

[2]

[3]

[4]