коническая штейнера

1. Определение штейнеровского поколения конического сечения.

Коника Штейнера или, точнее, поколение коники Штейнера , названное в честь швейцарского математика Якоба Штайнера , представляет собой альтернативный метод определения невырожденного проективного конического сечения на проективной плоскости над полем .

Обычное определение коники использует квадратичную форму (см. Квадрика (проективная геометрия) ). Другое альтернативное определение коники использует гиперболическую полярность . Это связано с КГК фон Штаудтом и иногда называется коникой фон Штаудта . Недостаток определения фон Штаудта состоит в том, что оно работает только тогда, когда основное поле имеет нечетные характеристики (т. е. $Char\neq 2$ ).

Определение коники Штейнера

Даны два карандаша $B(U),B(V)$ линий в двух точках $U,V$ (все строки, содержащие $U$ и $V$ соотв.) и проективное, но не перспективное картографирование. $\pi$ из $B(U)$ на $B(V)$ . Тогда точки пересечения соответствующих прямых образуют невырожденное проективное коническое сечение. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} (рисунок 1)

2. Перспективное отображение между линиями

Перспективное картографирование $\pi$ карандаша $B(U)$ на карандаш $B(V)$ является биекцией (соответствие 1-1), такой что соответствующие прямые пересекаются на фиксированной прямой $a$ , которая называется осью перспективы $\pi$ (рисунок 2).

Проективное . отображение — это конечное произведение отображений перспективы

Простой пример: если сместиться в первой точке диаграммы $U$ и его карандаш линий на $V$ и вращает сдвинутый карандаш вокруг $V$ под фиксированным углом $\varphi$ тогда сдвиг (перенос) и вращение порождают проективное отображение $\pi$ карандаша в точку $U$ на карандаш в $V$ . Из теоремы о вписанном угле получаем: Точки пересечения соответствующих прямых образуют окружность.

Примерами часто используемых полей являются действительные числа. $\mathbb {R}$ , рациональные числа $\mathbb {Q}$ или комплексные числа $\mathbb {C}$ . Конструкция также работает над конечными полями, предоставляя примеры в конечных проективных плоскостях .

Примечание: Основная теорема для проективных плоскостей гласит: ^{[ 5 ]} что проективное отображение в проективной плоскости над полем ( папповой плоскостью ) однозначно определяется заданием образов трёх прямых. Это означает, что для штейнеровского поколения конического сечения помимо двух точек $U,V$ необходимо дать только изображения в 3 строки. Эти 5 пунктов (2 точки, 3 линии) однозначно определяют коническое сечение.

Примечание: Обозначение «перспектива» связано с двойственным утверждением: проекция точек на линию. $a$ из центра $Z$ на линию $b$ называется перспективой (см. ниже ). ^{[ 5 ]}

Пример

Для следующего примера изображения линий $a,u,w$ (см. рисунок) даны: $\pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v$ . Проективное отображение $\pi$ является продуктом следующих перспективных отображений $\pi _{b},\pi _{a}$ : 1) $\pi _{b}$ это перспективное отображение карандаша в точке $U$ на карандаш в точку $O$ с осью $b$ . 2) $\pi _{a}$ это перспективное отображение карандаша в точке $O$ на карандаш в точку $V$ с осью $a$ . Сначала надо это проверить $\pi =\pi _{a}\pi _{b}$ имеет свойства: $\pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v$ . Следовательно, для любой строки $g$ изображение $\pi (g)=\pi _{a}\pi _{b}(g)$ могут быть построены и, следовательно, изображения произвольного набора точек. Линии $u$ и $v$ содержать только конические точки $U$ и $V$ соотв.. Следовательно $u$ и $v$ являются касательными к сгенерированному коническому сечению.

Доказательство того, что этот метод порождает коническое сечение , следует из перехода к аффинному ограничению с прямой $w$ как линия в бесконечности , точка $O$ как начало системы координат с точками $U,V$ как точки на бесконечности по осям x и y соответственно. и точка $E=(1,1)$ . Аффинная часть сгенерированной кривой выглядит как гипербола. $y=1/x$ . ^{[ 2 ]}

Примечание:

Генерация Штейнером конического сечения обеспечивает простые методы построения эллипсов , парабол и гипербол, которые обычно называют методами параллелограммов .
Фигура, появляющаяся при построении точки (рисунок 3), представляет собой 4-точечное вырождение теоремы Паскаля . ^{[ 6 ]}

Поколение Штейнера двойной коники.

Определения и двойное поколение

Дуализация (см. двойственность (проективная геометрия) ) проективной плоскости означает замену точек с прямыми и операции пересечения и соединения . Двойственная структура проективной плоскости также является проективной плоскостью. Двойственная плоскость паппова плоскости является папповской и также может быть координирована однородными координатами. Невырожденное двойственное коническое сечение аналогично определяется квадратичной формой.

Двойственная коника может быть создана двойным методом Штейнера:

Учитывая наборы точек из двух линий $u,v$ и проективное, но не перспективное картографирование $\pi$ из $u$ на $v$ . Тогда прямые, соединяющие соответствующие точки, образуют двойственное невырожденное проективное коническое сечение.

Перспективное картографирование $\pi$ набора точек линии $u$ на набор точек линии $v$ является биекцией (соответствие 1-1) такой, что соединительные линии соответствующих точек пересекаются в фиксированной точке $Z$ , который называется центром перспективы $\pi$ (см. рисунок).

Проективное отображение — это конечная последовательность перспективных отображений.

Обычно, когда речь идет о двойственных и общих конических сечениях, общее коническое сечение называют точечной коникой , а двойственную конику - прямой коникой .

В случае, если базовое поле имеет $\operatorname {Char} =2$ все касательные к точечной конике пересекаются в точке, называемой узлом (или ядром ) коники. Таким образом, двойственная к невырожденной точечной конике является подмножеством точек двойственной прямой, а не овальной кривой (в двойственной плоскости). Итак, только в том случае, если $\operatorname {Char} \neq 2$ является двойственной невырожденной точечной конике невырожденной прямой конике.

Примеры

Двойная коника Штейнера, определяемая двумя перспективами. $\pi _{A},\pi _{B}$

пример штейнеровского поколения двойственной коники

(1) Проективность, определяемая двумя точками зрения:
Две линии $u,v$ с точкой пересечения $W$ заданы и проективность $\pi$ от $u$ на $v$ с двух точек зрения $\pi _{A},\pi _{B}$ с центрами $A,B$ . $\pi _{A}$ линия карты $u$ на третью линию $o$ , $\pi _{B}$ линия карты $o$ на линию $v$ (см. схему). Точка $W$ не должен лежать на линиях ${\overline {AB}},o$ . Проективность $\pi$ представляет собой композицию двух точек зрения: $\ \pi =\pi _{B}\pi _{A}$ . Отсюда и точка $X$ отображается на $\pi (X)=\pi _{B}\pi _{A}(X)$ и линия $x={\overline {X\pi (X)}}$ является элементом двойственной коники, определяемой формулой $\pi$ .
(Если $W$ будет фиксированной точкой, $\pi$ было бы перспективно. ^{[ 7 ]})

(2) Даны три точки и их изображения:
Следующий пример является двойственным, приведенным выше для коники Штейнера.
Изображения точек $A,U,W$ даны: $\pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V$ . Проективное отображение $\pi$ может быть представлено произведением следующих перспектив $\pi _{B},\pi _{A}$ :

$\pi _{B}$ - перспектива набора точек линии $u$ на набор точек линии $o$ с центром $B$ .
$\pi _{A}$ - перспектива набора точек линии $o$ на набор точек линии $v$ с центром $A$ .

Легко проверяется, что проективное отображение $\pi =\pi _{A}\pi _{B}$ выполняет $\pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V$ . Следовательно, для любой произвольной точки $G$ изображение $\pi (G)=\pi _{A}\pi _{B}(G)$ можно построить и выровнять ${\overline {G\pi (G)}}$ является элементом невырожденного двойственного конического сечения. Потому что точки $U$ и $V$ содержатся в строках $u$ , $v$ соответственно, баллы $U$ и $V$ являются точками коники и прямых $u,v$ касательные к $U,V$ .

Внутренние коники в геометрии линейного падения.

Конструкция Штейнера определяет коники в плоской линейной геометрии инцидентности (две точки определяют не более одной прямой, а две прямые пересекаются не более чем в одной точке) внутренне , то есть с использованием только группы коллинеации. Конкретно, $E(T,P)$ это коника в точке $P$ предоставляемый коллинеацией $T$ , состоящий из пересечений $L$ и $T(L)$ для всех линий $L$ через $P$ . Если $T(P)=P$ или $T(L)=L$ для некоторых $L$ то коника вырождена . Например, в реальной координатной плоскости аффинный тип (эллипс, парабола, гипербола) $E(T,P)$ определяется следом и определителем матричной составляющей $T$ , независимо от $P$ .

Напротив, группа коллинеации реальной гиперболической плоскости $\mathbb {H} ^{2}$ состоит из изометрий. Следовательно, внутренние коники составляют небольшое, но разнообразное подмножество общих коник , кривых, полученных в результате пересечения проективных коник с гиперболической областью. Далее, в отличие от евклидовой плоскости, здесь нет перекрытия прямых $E(T,P);$ $T$ сохраняет ориентацию – и наоборот $E(T,P);$ $T$ меняет ориентацию. Прямой случай включает центральные (две перпендикулярные линии симметрии) и нецентральные коники, тогда как каждая противоположная коника является центральной. Хотя прямые и противоположные центральные коники не могут быть конгруэнтны, они связаны квазисимметрией, определяемой через дополнительные углы параллелизма. Таким образом, в любой инверсной модели $\mathbb {H} ^{2}$ , каждая прямая центральная коника бирационально эквивалентна противоположной центральной конике. ^{[ 8 ]} Фактически, центральные коники представляют все кривые рода 1 с инвариантом реальной формы. $j\geq 1$ . Минимальный набор представителей получается из центральных прямых коник с общим центром и осью симметрии, при этом инвариант формы является функцией эксцентриситета , определяемого через расстояние между $P$ и $T(P)$ . Ортогональные траектории этих кривых представляют все кривые рода 1 с $j\leq 1$ , которые проявляются либо как неприводимые кубики, либо как бикруговые квартики. Используя закон сложения эллиптических кривых на каждой траектории, каждая общая центральная коника в $\mathbb {H} ^{2}$ однозначно разлагается как сумма двух внутренних коник путем добавления пар точек, в которых коники пересекают каждую траекторию. ^{[ 9 ]}

Примечания

^ Коксетер 1993 , с. 80
^ Jump up to: ^а ^б Хартманн , с. 38
^ Мерсерве 1983 , с. 65
^ Лекции Якоба Штайнера по синтетической геометрии , Б. Г. Тойбнер, Лейпциг, 1867 г. (из Google Books: (немецкий) Часть II следует за Частью I ), Часть II, стр. 96
^ Jump up to: ^а ^б Хартманн , с. 19
^ Хартманн , с. 32
^ Х. Ленц: Лекции по проективной геометрии , BI, Мангейм, 1965, стр. 49.
^ Сарли, Джон (апрель 2012 г.). «Коники в гиперболической плоскости, присущие группе коллинеаций» . Журнал геометрии . 103 (1): 131–148. дои : 10.1007/s00022-012-0115-5 . ISSN 0047-2468 . S2CID 119588289 .
^ Сарли, Джон (22 октября 2021 г.). «Разложение центральных коник по эллиптическим кривым в вещественной гиперболической плоскости» (препринт). дои : 10.21203/rs.3.rs-936116/v1 .

Ссылки

Коксетер, HSM (1993), Реальная проекционная плоскость , Springer Science & Business Media
Хартманн, Эрих, Геометрия плоского круга, введение в плоскости Мебиуса, Лагерра и Минковского (PDF) , получено 20 сентября 2014 г. (PDF; 891 КБ).
Мерсерв, Брюс Э. (1983) [1959], Фундаментальные концепции геометрии , Дувр, ISBN 0-486-63415-9

[1] Коксетер 1993 , с. 80

[Hartmann1-2] Jump up to: ^а ^б Хартманн , с. 38

[3] Мерсерве 1983 , с. 65

[4] Лекции Якоба Штайнера по синтетической геометрии , Б. Г. Тойбнер, Лейпциг, 1867 г. (из Google Books: (немецкий) Часть II следует за Частью I ), Часть II, стр. 96

[Hartmann2-5] Jump up to: ^а ^б Хартманн , с. 19

[6] Хартманн , с. 32

[7] Х. Ленц: Лекции по проективной геометрии , BI, Мангейм, 1965, стр. 49.

[8] Сарли, Джон (апрель 2012 г.). «Коники в гиперболической плоскости, присущие группе коллинеаций» . Журнал геометрии . 103 (1): 131–148. дои : 10.1007/s00022-012-0115-5 . ISSN 0047-2468 . S2CID 119588289 .

[9] Сарли, Джон (22 октября 2021 г.). «Разложение центральных коник по эллиптическим кривым в вещественной гиперболической плоскости» (препринт). дои : 10.21203/rs.3.rs-936116/v1 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]