Дерево Ароншайна

В теории множеств дерево Ароншайна — это дерево несчетной высоты, не имеющее несчетных ветвей и несчетных уровней. Например, каждое дерево Суслина является деревом Ароншайна. В более общем смысле, для кардинала κ -дерево κ Ароншайна — это дерево высоты κ, в котором все уровни имеют размер меньше κ , а все ветви имеют высоту меньше κ (поэтому деревья Ароншайна такие же, как и $\aleph _{1}$ -Ароншайнские деревья). Они названы в честь Нахмана Ароншайна , который построил дерево Ароншайна в 1934 году; его конструкция описана Курепой (1935) .

Говорят, что кардинал κ , для которого не существует κ -деревьев Ароншайна, обладает свойством дерева условие регулярности и несчетности κ (иногда включается ).

Существование κ-деревьев Ароншайна

Лемма Кенига утверждает, что $\aleph _{0}$ -Деревьев Ароншайна не существует.

Существование деревьев Ароншайна ( $=\aleph _{1}$ -деревья Ароншайна) был доказан Нахманом Ароншайном и означает, что аналог леммы Кенига не справедлив для несчетных деревьев.

Существование $\aleph _{2}$ -Деревья Ароншайна неразрешимы в ZFC: точнее, гипотеза континуума предполагает существование $\aleph _{2}$ -Дерево Ароншайна, а Митчелл и Сильвер показали, что непротиворечиво ( относительно существования слабо компактного кардинала ), что нет $\aleph _{2}$ - Деревья Ароншайна существуют.

Йенсен доказал, что из V = L следует, что существует κ -дерево Ароншайна (фактически κ - дерево Суслина ) для каждого бесконечного кардинала-преемника κ .

Каммингс и Форман (1998) показали (используя большую кардинальную аксиому), что непротиворечиво то, что нет $\aleph _{n}$ -Деревья Ароншайна существуют для любого конечного n, отличного от 1.

Если κ слабо компактно, то κ -деревьев Ароншайна не существует. Обратно, если κ недоступно κ и не существует κ -деревьев Ароншайна, то слабо компактно.

Особые деревья Ароншайна

Дерево Ароншайна называется специальным , если существует функция f, переводящая дерево в рациональные числа такая, что f ( x ) < f ( y ) всякий раз, когда x < y . Аксиома Мартина MA( $\aleph _{1}$ ) подразумевает, что все деревья Ароншайна особенные, и это утверждение иногда сокращается до EATS . Более сильная аксиома собственного форсинга подразумевает более сильное утверждение о том, что для любых двух деревьев Ароншайна существует такой клубный набор уровней, что ограничения деревьев на этот набор уровней изоморфны, что говорит о том, что в некотором смысле любые два дерева Ароншайна существенно изоморфны. ( Авраам и Шела, 1985 ). С другой стороны, существование неспециальных деревьев Ароншайна является последовательным, и это также согласуется с гипотезой обобщенного континуума плюс гипотезой Суслина ( Shlindwein 1994 ).

Строительство специального дерева Ароншайна

Специальное дерево Ароншайна можно построить следующим образом.

Элементами дерева являются определенные упорядоченные множества рациональных чисел с верхней границей, которая является рациональной или -∞. Если x и y — два из этих наборов, мы определяем x ≤ y (в порядке дерева), что означает, что x является начальным сегментом упорядоченного множества y . Для каждого счетного ординала α будем обозначать U _α элементы дерева уровня α, так что элементы U _α представляют собой определенные множества рациональных чисел с типом порядка α. Специальное дерево Ароншайна T представляет собой объединение множеств U _α для всех счетных α.

Мы строим счетные уровни U _α трансфинитной индукцией по α следующим образом, начиная с пустого множества как U ₀ :

Если α + 1 является преемником, то U _{α +1} состоит из всех расширений последовательности x в U _α рациональным числом, большим, чем sup x . U _{α + 1} счетно, поскольку оно состоит из счетного числа расширений каждого из счетного числа элементов из U _α .
Если α — предел, то пусть T _α — дерево всех точек уровня меньше α . Для каждого x в T _α и для каждого рационального числа q, большего, чем sup x уровня α , выберите ветвь T _α, содержащую x с супремумом q . Тогда U _α состоит из этих ветвей. U _α счетен, поскольку он состоит из счетного числа ветвей для каждого из счетного числа элементов из T _α .

Функция f ( x ) = sup x является рациональной или −∞ и обладает тем свойством, что если x < y , то f ( x ) < f ( y ). Любая ветвь в T счетна, поскольку f инъективно отображает ветви в −∞ и рациональные числа. T несчетен, поскольку он имеет непустой уровень U _α для каждого счетного ординала α, составляющего первый несчетный ординал . Это доказывает, что T — особое дерево Ароншайна.

Эту конструкцию можно использовать для построения κ -деревьев Ароншайна всякий раз, когда κ является преемником регулярного кардинала и верна обобщенная гипотеза континуума, путем замены рациональных чисел более общим η множеством .

См. также

Ссылки

Авраам, Ури; Шела, Сахарон (1985), «Типы изоморфизма деревьев Ароншайна», Израильский математический журнал , 50 : 75–113, doi : 10.1007/BF02761119
Каммингс, Джеймс; Форман, Мэтью (1998), «Свойство дерева», Успехи в математике , 133 (1): 1–32, doi : 10.1006/aima.1997.1680 , MR 1492784
Кунен, Кеннет (2011), Теория множеств , Исследования по логике, том. 34, Лондон: Публикации колледжа, ISBN 978-1-84890-050-9 , Збл 1262.03001
Курепа, Г. (1935), "Упорядоченные и разветвленные множества" , Опубл. математика. унив. Белград , 4 :1–138, JFM 61.0980.01 , Zbl 0014.39401
Шлиндвейн, Чаз (1994), «Непротиворечивость гипотезы Суслина, неспециального дерева Ароншайна и GCH», Журнал символической логики , 59 (1), Журнал символической логики, Vol. 59, № 1: 1–29, номер документа : 10.2307/2275246 , JSTOR 2275246.
Шлиндвейн, Ч. (2001) [1994], «Дерево Ароншайна» , Математическая энциклопедия , EMS Press
Шлиндвейн, Чаз (1989), «Особый неспециальный $\aleph _{1}$ -деревья», Теория множеств и ее приложения , 1401 : 160–166, doi : 10.1007/BFb0097338
Тодорчевич, С. (1984), «Деревья и линейно упорядоченные множества», Справочник по теоретико-множественной топологии , Амстердам: Северная Голландия, стр. 235–293, MR 0776625.

Внешние ссылки

ПланетаМатематика