Теорема о пятиугольных числах

В математике теорема Эйлера о в пятиугольных числах связывает представления функции Эйлера виде произведения и ряда . В нем говорится, что

\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-x^{n}\right)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(-1\right)^{k}x^{k\left(3k-1\right)/2}=1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\left(x^{k(3k+1)/2}+x^{k(3k-1)/2}\right).

Другими словами,

(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\cdots =1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-\cdots .

Показатели степени 1, 2, 5, 7, 12, ... в правой части задаются формулой $g k = k (3 k - 1)/2$ для k = 1, −1, 2, −2, 3, ... и называются (обобщенными) пятиугольными числами (последовательность A001318 в OEIS ). (Постоянный член 1 соответствует $k=0$ .) Это справедливо как тождество сходящегося степенного ряда для $|x|<1$ , а также как тождество формального степенного ряда .

Яркой особенностью этой формулы является величина отмены при расширении продукта.

Связь с разделами

Тождество подразумевает повторение вычислений $p(n)$ количество разделов n , :

p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+\cdots

или более формально,

p(n)=\sum _{k\neq 0}(-1)^{k-1}p(n-g_{k})

где суммирование ведется по всем ненулевым целым числам k (положительным и отрицательным) и $g_{k}$ это К ^й обобщенное пятиугольное число. С $p(n)=0$ для всех $n<0$ , кажущийся бесконечным ряд справа имеет лишь конечное число ненулевых членов, что позволяет эффективно вычислить p ( n ).

Биективное доказательство Франклина

Теорему можно интерпретировать комбинаторно в терминах разбиений . В частности, левая часть представляет собой производящую функцию для количества разбиений n на четное количество различных частей минус количество разбиений n на нечетное число различных частей. Каждое разбиение n на четное количество различных частей вносит +1 в коэффициент при x. ^н; каждое разделение на нечетное количество отдельных частей дает -1. (В статье о неограниченных статистических суммах обсуждается этот тип производящей функции.)

Например, коэффициент при x ⁵ равно +1, поскольку существует два способа разделить 5 на четное количество различных частей (4 + 1 и 3 + 2), но только один способ сделать это для нечетного числа различных частей (разделение 5 из одной части) . Однако коэффициент x ¹² равно -1, потому что существует семь способов разделить 12 на четное число различных частей, но существует восемь способов разделить 12 на нечетное число различных частей, и 7 - 8 = -1.

Эта интерпретация приводит к доказательству тождества путем сокращения пар совпадающих термов ( метод инволюции ). ^{[ 1 ]} Рассмотрим диаграмму Феррера любого разбиения числа n на отдельные части. Например, на диаграмме ниже показано n = 20 и раздел 20 = 7 + 6 + 4 + 3.

Пусть m — количество элементов в самой маленькой строке диаграммы ( m в приведенном выше примере = 3). Пусть s — количество элементов в самой правой строке диаграммы под углом 45 градусов ( s = 2 точки красного цвета выше, поскольку 7 — 1 = 6, но 6 — 1 > 4). Если m > s , возьмите крайнюю правую линию под углом 45 градусов и переместите ее, чтобы сформировать новую строку, как на диаграмме соответствия ниже.

Если m ≤ s (как на нашей вновь сформированной диаграмме, где m = 2, s = 5), мы можем обратить процесс вспять, переместив нижнюю строку, чтобы сформировать новую линию под углом 45 градусов (добавив по 1 элементу в каждую из первых m строк), возвращая нас к первой диаграмме.

Небольшое размышление показывает, что этот процесс всегда меняет четность количества строк, и применение этого процесса дважды возвращает нас к исходной диаграмме. Это позволяет нам объединить диаграммы Феррера в пары, вносящие 1 и -1 в x ^н член ряда, в результате чего чистый коэффициент 0 для x ^н. Это справедливо для каждого члена, за исключением случаев, когда этот процесс не может быть выполнен на каждой диаграмме Феррера с n точками. Таких случаев два:

1) m = s и крайняя правая диагональ и нижний ряд пересекаются. Например,

Попытка выполнить операцию приведет нас к:

который не может изменить четность количества строк и не является обратимым в том смысле, что повторное выполнение операции не возвращает нас к исходной диаграмме. Если m в последней строке исходной диаграммы элементов, то

n=m+(m+1)+(m+2)+\cdots +(2m-1)={\frac {m(3m-1)}{2}}={\frac {k(3k-1)}{2}}

где новый индекс k принимается равным m . Обратите внимание, что знак, связанный с этим разделом, равен (-1). ^с, что по построению равно (−1) ^м и (-1) ^к.

2) m = s + 1 и крайняя правая диагональ и нижний ряд совпадают. Например,

Наша операция требует от нас переместить правую диагональ в нижнюю строку, но это приведет к образованию двух строк по три элемента, что запрещено, поскольку мы считаем разбиения на отдельные части. Это предыдущий случай, но на одну строку меньше, поэтому

n=m+(m+1)+(m+2)+\cdots +(2m-2)={\frac {(m-1)(3m-2)}{2}}={\frac {k(3k-1)}{2}},

где мы берем k = 1− m (отрицательное целое число). Здесь соответствующий знак (−1) ^с с s = m − 1 = − k , поэтому знак снова (−1) ^к.

Таким образом, было показано, что разбиения на четное количество различных частей и нечетное количество отдельных частей точно компенсируют друг друга, создавая нулевые члены 0 x ^н, за исключением случаев, когда n — обобщенное пятиугольное число $n=g_{k}=k(3k-1)/2$ , и в этом случае остается ровно одна диаграмма Феррера, образуя член (−1) ^кх ^н. Но именно это и должно произойти, как говорит правая сторона идентичности, так что мы закончили.

Повторение раздела

Мы можем перефразировать приведенное выше доказательство, используя целочисленные разбиения , которые мы обозначим как: $n=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{\ell }$ , где $\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \ldots \geq \lambda _{\ell }>0$ . Количество разделов n - это статистическая сумма p ( n ), имеющая производящую функцию:

\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }(1-x^{k})^{-1}

Обратите внимание, что это обратная величина продукта в левой части нашей личности:

\left(\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}\right)\cdot \left(\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})\right)=1

Обозначим расширение нашего продукта через $\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n},$ так что

\left(\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)=1.

Умножив левую часть и приравняв коэффициенты при обеих частях, получим а ₀ р (0) = 1 и $\sum _{i=0}^{n}p(n-i)a_{i}=0$ для всех $n\geq 1$ . Это дает рекуррентное соотношение, определяющее ( n ) через n _{, и} наоборот, рекуррентное отношение для n _p через p ( n ). Итак, наш желаемый результат:

a_{i}:={\begin{cases}1&{\text{ if }}i={\frac {1}{2}}(3k^{2}\pm k){\text{ and }}k{\text{ is even}}\\-1&{\text{ if }}i={\frac {1}{2}}(3k^{2}\pm k){\text{ and }}k{\text{ is odd }}\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}

для $i\geq 1$ эквивалентно тождеству $\sum _{i}(-1)^{i}p(n-g_{i})=0,$ где $g_{i}:=\textstyle {\frac {1}{2}}(3i^{2}-i)$ и я пробегает все целые числа такие, что $g_{i}\leq n$ (этот диапазон включает как положительные, так и отрицательные i, чтобы использовать оба вида обобщенных пятиугольных чисел). Это, в свою очередь, означает:

\sum _{i\mathrm {\ even} }p(n-g_{i})=\sum _{i\mathrm {\ odd} }p(n-g_{i}).

С точки зрения наборов разделов это эквивалентно утверждению, что следующие наборы имеют одинаковую мощность:

{\mathcal {X}}:=\bigcup _{i\mathrm {\ even} }{\mathcal {P}}(n-g_{i})

и

{\mathcal {Y}}:=\bigcup _{i{\text{ odd}}}{\mathcal {P}}(n-g_{i}),

где ${\mathcal {P}}(n)$ обозначает множество всех разделов $n$ . Все, что остается, - это дать биекцию одного множества в другое, что достигается функцией φ из X в Y , которая отображает разбиение ${\mathcal {P}}(n-g_{i})\ni \lambda :n-g_{i}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\dotsb +\lambda _{\ell }$ в раздел $\lambda '=\varphi (\lambda )$ определяется:

\varphi (\lambda ):={\begin{cases}\lambda ':n-g_{i-1}=(\ell +3i-2)+(\lambda _{1}-1)+\dotsb +(\lambda _{\ell }-1)&{\text{ if }}\ell +3i>\lambda _{1}\\\\\lambda ':n-g_{i+1}=(\lambda _{2}+1)+\dotsb +(\lambda _{\ell }+1)+\underbrace {1+\dotsb +1} _{\lambda _{1}-\ell -3i}&{\text{ if }}\ell +3i\leq \lambda _{1}.\end{cases}}

Это инволюция (самообратное отображение) и, следовательно, в частности биекция, которая доказывает наше утверждение и тождество.

См. также

Теорема о пятиугольных числах возникает как частный случай тройного произведения Якоби .

Q-ряды обобщают функцию Эйлера, которая тесно связана с эта-функцией Дедекинда и встречается при изучении модулярных форм . Модуль функции Эйлера (см . рисунок там) показывает симметрию фрактальной модулярной группы и встречается при изучении внутренней части множества Мандельброта .

Ссылки

^ Франклин, Ф. (1881). «По разработке продукта (1 – x )(1 – x ²)(1 − х ³) ...». Comtes Rendues Acad. Paris Ser A. 92 : 448–450.

Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 , МР 0434929 , Збл 0335.10001
Харди, штат Джорджия ; Райт, Э.М. (2008) [1938]. Введение в теорию чисел . Отредактировано Д. Р. Хит-Брауном и Дж. Х. Сильверманом . Предисловие Эндрю Уайлса . (6-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-921986-5 . МР 2445243 . Збл 1159.11001 .

Внешние ссылки

Джордан Белл (2005). «Эйлер и теорема пятиугольных чисел». arXiv : math.HO/0510054 .
О пятиугольной теореме Эйлера на MathPages
Последовательность OEIS A000041 (a(n) = количество разделов из n (номера разделов))
О замечательных свойствах пятиугольных чисел в Scholarly Commons.

[1] Франклин, Ф. (1881). «По разработке продукта (1 – x )(1 – x ²)(1 − х ³) ...». Comtes Rendues Acad. Paris Ser A. 92 : 448–450.

[ 1 ]