Производный тест

В исчислении тест производную использует производные функции на , чтобы найти критические точки функции и определить, является ли каждая точка локальным максимумом , локальным минимумом или седловой точкой . Производные тесты также могут дать информацию о вогнутости функции.

Полезность производных для поиска экстремумов математически доказывается теоремой Ферма о стационарных точках .

Тест первой производной

свойства функции Тест первой производной исследует монотонные (когда функция увеличивается или уменьшается ), фокусируясь на определенной точке ее области определения . Если функция «переключается» с увеличения на уменьшение в этой точке, то в этой точке функция достигнет максимального значения. Аналогично, если функция «переключается» с уменьшения на увеличение в этой точке, то в этой точке она достигнет наименьшего значения. Если функции не удается «переключиться» и она продолжает увеличиваться или продолжает уменьшаться, то ни наибольшее, ни наименьшее значение не достигается.

Можно проверить монотонность функции без исчисления. Однако исчисление обычно полезно, поскольку существуют достаточные условия , гарантирующие указанные выше свойства монотонности, и эти условия применимы к подавляющему большинству функций, с которыми можно столкнуться.

Точная формулировка свойств монотонности.

Точнее говоря, предположим, что f — вещественная функция, определенная на некотором открытом интервале, содержащем точку x, и предположим, что непрерывна в f точке x .

Если существует положительное число r > 0 такое, что f слабо возрастает на $(x - r, x]$ и слабо убывает на $[x, x + r)$ , то f имеет локальный максимум в точке x .
Если существует положительное число r > 0 такое, что f строго возрастает на $(x - r, x]$ и строго возрастает на $[x, x + r)$ , то f строго возрастает на $(x - r, x + r)$ и не имеет локального максимума или минимума в точке x .

Обратите внимание, что в первом случае f не обязана строго возрастать или строго убывать слева или справа от x , а в последнем случае f должна строго возрастать или строго убывать. Причина в том, что при определении локального максимума и минимума неравенство не обязательно должно быть строгим: например, каждое значение постоянной функции считается как локальным максимумом, так и локальным минимумом.

Точная формулировка теста первой производной

Тест первой производной зависит от «теста возрастания-убывания», который сам по себе в конечном итоге является следствием теоремы о среднем значении . Это прямое следствие способа определения производной и ее связи с локальным уменьшением и увеличением функции в сочетании с предыдущим разделом.

Предположим, f — действительная функция действительной переменной, определенная на некотором интервале, содержащем критическую точку a . Далее предположим, что f непрерывна в точке a и дифференцируема на некотором открытом интервале, содержащем a , за исключением, возможно, самой точки a .

Если существует положительное число r > 0 такое, что для каждого x в ( a − r , a ) имеем f ′ ( x ) ≥ 0, а для каждого x в ( a , a + r ) имеем f ′ ( x ) ≤ 0, то f имеет локальный максимум в точке a .
Если существует положительное число r > 0 такое, что для каждого x в ( a − r , a ) имеем f ′ ( x ) ≤ 0, а для каждого x в ( a , a + r ) имеем f ′ ( x ) ≥ 0, то f имеет локальный минимум в точке a .
Если существует положительное число r > 0 такое, что для каждого x в ( a − r , a ) ∪ ( a , a + r ) имеем f ′ ( x ) > 0, то f строго возрастает в точке a и не имеет ни нет ни локального максимума, ни локального минимума.
Если ни одно из вышеперечисленных условий не выполняется, тест не пройден. (Такое условие не является пустым ; существуют функции, которые не удовлетворяют ни одному из первых трех условий, например f ( x ) = x ² грех(1/ х )).

Опять же, в соответствии с комментариями в разделе о свойствах монотонности, заметим, что в первых двух случаях неравенство не обязательно должно быть строгим, а в третьем требуется строгое неравенство.

Приложения

Тест первой производной полезен при решении задач оптимизации в физике, экономике и технике. В сочетании с теоремой об экстремальных значениях ее можно использовать для нахождения абсолютного максимума и минимума действительной функции, определенной на замкнутом и ограниченном интервале. В сочетании с другой информацией, такой как вогнутость, точки перегиба и асимптоты , ее можно использовать для построения графика функции .

Критерий второй производной (одна переменная)

После установления критических точек функции тест второй производной использует значение второй производной в этих точках, чтобы определить, являются ли такие точки локальным максимумом или локальным минимумом . ^[1] Если функция f дважды дифференцируема в критической точке x (т.е. точке, где f ′ ( x ) = 0), то:

Если $f''(x)<0$ , затем $f$ имеет локальный максимум при $x$ .
Если $f''(x)>0$ , затем $f$ имеет локальный минимум в $x$ .
Если $f''(x)=0$ , тест неубедителен.

В последнем случае теорема Тейлора иногда может использоваться для определения поведения f вблизи x с использованием высших производных .

Доказательство теста второй производной

Предположим, у нас есть $f''(x)>0$ (доказательство для $f''(x)<0$ аналог). По предположению, $f'(x)=0$ . Затем

0<f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)}{h}}.

Таким образом, при достаточно малом h получаем

{\frac {f'(x+h)}{h}}>0,

это означает, что $f'(x+h)<0$ если $h<0$ (интуитивно f убывает по мере приближения $x$ слева), и это $f'(x+h)>0$ если $h>0$ (интуитивно f увеличивается по мере движения вправо от x ). Теперь, по критерию первой производной , $f$ имеет локальный минимум в $x$ .

Тест на вогнутость

Связанное, но отдельное использование вторых производных заключается в определении того, является ли функция вогнутой вверх или вогнутой вниз в определенной точке. Однако он не предоставляет информации о точках перегиба . В частности, дважды дифференцируемая функция f является вогнутой вверх, если $f''(x)>0$ и вогнутый вниз, если $f''(x)<0$ . Обратите внимание, что если $f(x)=x^{4}$ , затем $x=0$ имеет нулевую вторую производную, но не является точкой перегиба, поэтому сама по себе вторая производная не дает достаточно информации, чтобы определить, является ли данная точка точкой перегиба.

Критерий производной высшего порядка

Тест производной высшего порядка или общий тест производной позволяет определить, являются ли критические точки функции максимумами, минимумами или точками перегиба для более широкого спектра функций, чем тест производной второго порядка. Как показано ниже, тест второй производной математически идентичен частному случаю n = 1 в тесте производной более высокого порядка.

Пусть f — вещественная, достаточно дифференцируемая функция на интервале $I\subset \mathbb {R}$ , позволять $c\in I$ , и пусть $n\geq 1$ быть натуральным числом . Также пусть все производные f в точке c равны нулю до n -й производной включительно, но при этом ( n + 1)-я производная не равна нулю:

f'(c)=\cdots =f^{(n)}(c)=0\quad {\text{and}}\quad f^{(n+1)}(c)\neq 0.

Существует четыре возможности: первые два случая, когда c является экстремумом, вторые два, когда c является (локальной) седловой точкой:

Если n нечетно и $f^{(n+1)}(c)<0$ , то c — локальный максимум.
Если n нечетно и $f^{(n+1)}(c)>0$ , то c — локальный минимум.
Если n четное и $f^{(n+1)}(c)<0$ , то c — строго убывающая точка перегиба.
Если n четное и $f^{(n+1)}(c)>0$ , то c — строго возрастающая точка перегиба.

Поскольку n должно быть либо нечетным, либо четным, этот аналитический тест классифицирует любую стационарную точку f до тех пор, пока в конечном итоге не появится ненулевая производная.

Пример

Допустим, мы хотим выполнить общий тест производной функции $f(x)=x^{6}+5$ в точку $x=0$ . Для этого мы вычисляем производные функции, а затем оцениваем их в интересующей точке, пока результат не станет отличным от нуля.

f'(x)=6x^{5}

,

f'(0)=0;

f''(x)=30x^{4}

,

f''(0)=0;

f^{(3)}(x)=120x^{3}

,

f^{(3)}(0)=0;

f^{(4)}(x)=360x^{2}

,

f^{(4)}(0)=0;

f^{(5)}(x)=720x

,

f^{(5)}(0)=0;

f^{(6)}(x)=720

,

f^{(6)}(0)=720.

Как показано выше, в точке $x=0$ , функция $x^{6}+5$ имеет все свои производные при 0, равные 0, за исключением 6-й производной, которая положительна. Таким образом, n = 5, и согласно тесту существует локальный минимум в 0.

Многопараметрический случай

Для функции более чем одной переменной тест второй производной обобщается до теста, основанного на собственных значениях функции матрицы Гессе в критической точке. В частности, если предположить, что все частные производные второго порядка от f непрерывны в окрестности критической точки x , то если все собственные значения гессиана в точке x положительны, то x является локальным минимумом. Если все собственные значения отрицательны, то x является локальным максимумом, а если некоторые из них положительны, а некоторые отрицательны, то точка является седловой точкой . Если матрица Гессе сингулярна , то тест второй производной не дает результатов.

См. также

Теорема Ферма (стационарные точки)
Максимумы и минимумы
Условия Каруша – Куна – Такера
Фазовая линия - практически идентичная диаграмма, используемая при исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений.
Гессен с границей
Оптимизация (математика)
Дифференцируемость
Выпуклая функция
Второй тест частной производной
Седловая точка
Точка перегиба
Стационарная точка

Дальнейшее чтение

Чан, Альфа К. (1984). Фундаментальные методы математической экономики (Третье изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 231–267 . ISBN 0-07-010813-7 .
Марсден, Джеррольд ; Вайнштейн, Алан (1985). Исчисление I (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. стр. 139–199. ISBN 0-387-90974-5 .
Шокли, Джеймс Э. (1976). Краткое исчисление: с приложениями в социальных науках (2-е изд.). Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. стр. 77–109. ISBN 0-03-089397-6 .
Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: ранние трансценденталисты (6-е изд.). Брукс Коул Сенгедж Обучение. ISBN 978-0-495-01166-8 .
Уиллард, Стивен (1976). Исчисление и его приложения . Бостон: Приндл, Вебер и Шмидт. стр. 103–145. ISBN 0-87150-203-8 .

Ссылки

^ Чан, Альфа К. (1984). МакГроу-Хилл (ред.). Фундаментальные методы математической экономики . п. 231 –267. ISBN 0-07-010813-7 .

Внешние ссылки

[1] Чан, Альфа К. (1984). МакГроу-Хилл (ред.). Фундаментальные методы математической экономики . п. 231 –267. ISBN 0-07-010813-7 .

[1]