Четырехугольник Саккери

— Четырехугольник Саккери это четырёхугольник у которого две равные стороны перпендикулярны основанию , . Он назван в честь Джованни Джероламо Саккери , который широко использовал его в своей книге 1733 года «Euclides ab omni naevo vindicatus» ( «Евклид, освобожденный от всякого недостатка »), попытке доказать постулат о параллельности, используя метод доведения до абсурда . Такой четырехугольник иногда называют четырехугольником Хайяма-Саккери в честь персидского ученого Омара Хайяма, который описал их в своей книге XI века Рисала фи шарх ма ашкала мин мусадарат китаб Уклидис ( Объяснения трудностей в постулатах Евклида ). ^{[ 1 ]}

Для четырехугольника Саккери $ABCD,$ ноги $AD$ и $BC$ равны по длине и перпендикулярны основанию . $AB.$ Верх $CD$ называется вершиной , а углы при ней $C$ и $D$ называются углами вершины .

Преимущество использования четырехугольников Саккери при рассмотрении постулата параллельности состоит в том, что они ясно представляют три взаимоисключающих варианта: являются ли вершинные углы прямыми , тупыми или острыми углами ?

Сам Саккери не рассматривал возможность неевклидовой геометрии и считал, что как тупые, так и острые случаи могут оказаться противоречащими другим постулатам Евклида. Он действительно показал, что тупой случай противоречив, но не смог должным образом разобраться с острым случаем. ^{[ 2 ]}

Существование четырехугольника Саккери с прямыми углами при вершине для любого основания и сторон эквивалентно постулату параллельности, ведущему к евклидовой геометрии . В гиперболической геометрии , возникающей в результате отрицания постулата параллельности, вершинные углы всегда острые. В эллиптической или сферической геометрии (которые требуют некоторых модификаций других постулатов Евклида) ^{[ 3 ]} углы вершины всегда тупые.

История

Хотя четырехугольники названы в честь Саккери, они рассматривались в работах более ранних математиков. Первое предложение Саккери гласит, что если две равные линии $AC$ и $BC$ образовать с линией равные углы $AB,$ углы на $CD$ будут равняться друг другу; версия этого утверждения появляется в работах ученого девятого века Сабита ибн Курры . ^{[ 4 ]} , Абнера из Бургоса « Сефер Мейашер 'Аков» ( «Исправление искривленности Трактат XIV века, написанный в Кастилии ») основан на работе Сабита ибн Курры и также содержит описания четырехугольников Саккери. ^{[ 5 ]}

Омар Хайям (1048-1131) описал их в конце XI века в I книге « Объяснения трудностей постулатов Евклида» . ^{[ 1 ]} В отличие от многих комментаторов Евклида до и после него (в том числе Саккери), Хайям не пытался устранить параллельный постулат, а заменить его эквивалентным постулатом, сформулированным им из «принципов Философа» ( Аристотеля ):

Две сходящиеся прямые пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые расходились в направлении, в котором они сходятся. ^{[ 6 ]}

Затем Хайям рассмотрел три случая правильных, тупых и острых, которые могут принимать вершинные углы четырехугольника Саккери, и после доказательства ряда теорем о них он (правильно) опроверг тупой и острый случаи на основе своего постулата и, следовательно, вывел классический постулат Евклида.

Итальянский математик 17-го века Джордано Витале использовал четырехугольник в своем «Евклиде restituo» (1680, 1686), чтобы доказать, что если три точки равноудалены от основания $AB$ и саммит $CD,$ затем $AB$ и $CD$ везде равноудалены.

Сам Саккери основал все свое длинное и в конечном итоге ошибочное доказательство постулата параллельности вокруг четырехугольника и трех его случаев, попутно доказав множество теорем о его свойствах.

Четырехугольники Саккери в гиперболической геометрии

Позволять $ABCD$ быть четырехугольником Саккери, имеющим основание $AB,$ саммит $CD,$ и ноги $CA$ и $DB.$ Следующие свойства действительны в любом четырехугольнике Саккери в гиперболической геометрии : ^{[ 7 ]}

Углы вершины $C$ и $D$ равны и остры.
Вершина длиннее основания.
Два четырехугольника Саккери равны, если:
- сегменты основания и углы вершины конгруэнтны
- сегменты вершины и углы вершины совпадают.
Отрезок, соединяющий середину основания и середину вершины:
- Перпендикулярно основанию и вершине,
- — единственная линия симметрии четырёхугольника,
- это самый короткий отрезок, соединяющий основание и вершину,
- перпендикулярен линии, соединяющей середины сторон,
- делит четырехугольник Саккери на два четырехугольника Ламберта .
Отрезок, соединяющий середины сторон, не перпендикулярен ни одной из сторон.

Уравнения

В гиперболической плоскости постоянной кривизны $-1$ , саммит $s$ четырехугольника Саккери можно вычислить по катету $l$ и база $b$ используя формулы ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

{\begin{aligned}\cosh s&=\cosh b\cdot \cosh ^{2}l-\sinh ^{2}l\\[5mu]\sinh {\tfrac {1}{2}}s&=\cosh l\,\sinh {\tfrac {1}{2}}b\end{aligned}}

Доказательство находится в «Страницы Кабри Уилсона Стотерса» .

Тайлинги в модели диска Пуанкаре

Существуют плитки модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости, имеющие четырехугольники Саккери в качестве фундаментальных областей . Помимо двух прямых углов, эти четырехугольники имеют острые углы вершины. Мозаики демонстрируют $симметрию *nn22$ ( орбифолдное обозначение ) и включают:

*3322 симметрия	*∞∞22 симметрия

См. также

Четырехугольник Ламберта

Примечания

^ Перейти обратно: ^а ^б Борис Абрамович Розенфельд (1988). История неевклидовой геометрии: эволюция концепции геометрического пространства (перевод Эйба Шеницера). Спрингер. п. 65. ИСБН 0-387-96458-4 .
^ Фабер 1983 , стр. 145
^ Коксетер 1998 , стр. 11
^ Бравер, Сет (2011). Лобачевский Иллюминированный . Американское математическое общество . п. 58. ИСБН 9781470456405 .
^ «Исправление искривленности» Альфонсо: еврейский геометрическо-философский трактат четырнадцатого века . Перевод Рут Гласнер. Спрингер. 2020. с. 113-114.
^ Борис А. Розенфельд и Адольф П. Юшкевич (1996), Геометрия , стр. 467 в Рошди Рашид, Режис Морелон (1996), Энциклопедия истории арабской науки , Routledge, ISBN 0-415-12411-5 .
^ Фабер 1983 , стр. 146–147.
^ П. Бузер и Х. Керхер. Почти плоские многообразия Громова. Звездочка 81 (1981), стр. 104.
^ Гринберг, Марвин Джей (2003). Евклидова и неевклидова геометрия: развитие и история (3-е изд.). Нью-Йорк: Фриман. п. 411. ИСБН 9780716724469 .

Ссылки

Коксетер, HSM (1998), Неевклидова геометрия (6-е изд.), Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, ISBN 0-88385-522-4
Фабер, Ричард Л. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии , Нью-Йорк: Марсель Деккер, ISBN 0-8247-1748-1
М. Дж. Гринберг , Евклидова и неевклидова геометрии: развитие и история , 4-е издание, WH Freeman, 2008.
Джордж Э. Мартин, Основы геометрии и неевклидова плоскость , Springer-Verlag, 1975 г.

[Rozenfeld-1] Перейти обратно: ^а ^б Борис Абрамович Розенфельд (1988). История неевклидовой геометрии: эволюция концепции геометрического пространства (перевод Эйба Шеницера). Спрингер. п. 65. ИСБН 0-387-96458-4 .

[2] Фабер 1983 , стр. 145

[3] Коксетер 1998 , стр. 11

[4] Бравер, Сет (2011). Лобачевский Иллюминированный . Американское математическое общество . п. 58. ИСБН 9781470456405 .

[5] «Исправление искривленности» Альфонсо: еврейский геометрическо-философский трактат четырнадцатого века . Перевод Рут Гласнер. Спрингер. 2020. с. 113-114.

[6] Борис А. Розенфельд и Адольф П. Юшкевич (1996), Геометрия , стр. 467 в Рошди Рашид, Режис Морелон (1996), Энциклопедия истории арабской науки , Routledge, ISBN 0-415-12411-5 .

[7] Фабер 1983 , стр. 146–147.

[8] П. Бузер и Х. Керхер. Почти плоские многообразия Громова. Звездочка 81 (1981), стр. 104.

[9] Гринберг, Марвин Джей (2003). Евклидова и неевклидова геометрия: развитие и история (3-е изд.). Нью-Йорк: Фриман. п. 411. ИСБН 9780716724469 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]